Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a

Transcrição

1 Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a Santos Alberto Enriquez Remigio Março de 2018

2 Notação Seja y = f (x) a regra de correspondência da função f, então: 1. x tende a a, signica que x se aproxima de a e denota-se por: x a; 2. Limite de f quando x tende a a é denotado por: lim x a f (x)

3 Tendência do valor de uma função ou limite de uma função Vejamos alguns exemplos

4 Exemplo 1 Determinar a que valor tende a função f (x) = x quando x tende para 1.

5 1. O domínio da função f é todo R. 2. x tende a 1 signica que x se aproxima de 1 (x 1). Para esta função, tal aproximação de x para 1 acontece de duas formas: x se aproxima a 1, com valores menores que 1; x se aproxima a 1, com valores maiores que 1.

6 Calculando os valores de f Para x se aproximando de 1 com x < 1, temos por exemplo os seguintes valores para f (x) x 0,900 0,990 0,999 0,9995 0,9996 f (x) 1,810 1,980 1, Parece que f (x) se aproxima de 2

7 Para x se aproximando de 1 com x > 1, temos por exemplo os seguintes valores para f (x) x 1,1 1,01 1,001 1,0005 1,00001 f (x) Parece que f (x) se aproxima de 2

8 Gracamente: Observamos que quando x tende a 1, f (x) tende a 2. Figura: y = x 2 + 1, x [ 1, 2].

9 Exemplo 2 Determine numericamente o limite da função: f (x) = x3 1 x 1, quando x 1. Observemos: 1. O domínio de f é Domf= R {1} 2. A expressão x 1 signica que x se aproxima de 1 e não que x = 1. Portanto, podemos analisar a tendência dos valores de f (x) quando x 1.

10 Para x se aproximando de 1 com x < 1, temos por exemplo os seguintes valores para f (x) x f (x) Parece que f (x) se aproxima de 3

11 Para x se aproximando de 1 com x < 1, temos por exemplo os seguintes valores para f (x) x f (x) Parece que f (x) se aproxima de 3

12 O esboço do gráco de f é mostrado abaixo no intervalo [ 2, 2]

13 Exemplo 3 Determine numericamente o limite da função g quando x 1. { x 3 1 x 1 g(x) =, x 1 4 x = 1 Observemos: 1. O domínio de g é Domg= R 2. A expressão x 1 signica que x se aproxima de 1 e não que x = 1. Portanto, podemos analisar a tendência dos valores de g(x) quando x 1.

14 Para x se aproximando de 1 com x < 1, temos: x g(x) Parece que g(x) se aproxima de 3

15 Para x se aproximando de 1 com x > 1, temos: x g(x) Parece que g(x) se aproxima de 3

16 O esboço do gráco de y = g(x) é:

17 Exemplo 4 Determine numericamente o limite da função h quando x 1. Observemos: 1. O domínio de h é Domh= R h(x) = x 2 + x A expressão x 1 signica que x se aproxima de 1 e não que x = 1. Portanto, podemos analisar a tendência dos valores de h(x) quando x 1.

18 Para x se aproximando de 1 com x < 1, temos: x h(x) Parece que h(x) se aproxima de 3

19 Para x se aproximando de 1 com x > 1, temos: x h(x) Parece que h(x) se aproxima de 3

20 O esboço do gráco de h é:

21 Podemos observar no Exemplo 2, 3,e 4 que, à medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1 ou (x 1), os valores de y tornam-se cada vez mais próximos de 3 ou (y 3), independentemente da sucessão de valores de x usados.

22 Esse mesmo exemplo pode ser analisado de outra forma, mais conveniente para a introdução da denição formal de limite. Pode-se observar que é possível tornar o valor de y tão próximo de 3 quanto desejamos, desde que tornemos x suciente próximo de 1(x 1).

23 A idéia tornar o valor de y tão próximo de 3 quanto desejarmos, é traduzida matematicamente pela desigualdade: y 3 < ɛ, (1) y3 < ɛ sendo ɛ um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa imaginar. A idéia "desde que tornemos x sucientemente próximo de 1 (x 1)" signica que deve existir um intervalo aberto de raio δ > 0 e centro a = 1, tal que se x (x 1) variar nesse intervalo (isto é, se 0 < x1 < δ), então deve valer a desigualdade (1).

24 Ideia de limite de uma função Dizemos que uma função f (x) tem limite L quando x tende para a, se é possível tornar f (x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x,x a sucientemente próximos de a Y lim f (x) = L x a f(a) L x a x X

25 Denição Seja y = f (x) denida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos lim f (x) = L x a se, para todoɛ > 0, existe um δ > 0, tal que f (x)l < ɛ sempre que 0 < x a < δ.

26 Proposição (Unicidade do limite) Se lim x a f (x) = L 1 e lim x a f (x) = L 2, então L 1 = L 2

27 Propriedades de limite 1. lim x c b = b 2. lim x c x = c 3. lim x c x n = c n 4. lim x c x 1 n = c 1 n (Se n for par, então c deve ser positivo)

28 Propriedades de limite Suponha que f e g sejam funções com os seguintes limites em c, respectivamente: lim f (x) = L e lim g(x) = K. x c x c Onde L e K são números reais. Também, suponha que a e b são dois números reais. Então: lim x c af (x) = a lim x c f (x) = al lim x c (f (x) + g(x)) = lim x c f (x) + lim x c g(x) = L + K lim x c f (x)g(x) = (lim x c f (x)) (lim x c g(x)) = LK f (x) limx c f (x) lim x c g(x) = lim x c g(x) = L K, desde que K 0.

29 Exemplo. Determinar os seguintes limites: a) lim x 2 (x 2 3) b) lim x 2 (x 2 + 2x 3) c) lim x 1 (x 3 + 2x 2 3)

30 Propriedade (Limite de uma função polinomial) Se P = P(x) é uma função polinomial e c é qualquer número real, então: lim P(x) = P(c) x c Exemplo. Calcular o seguinte limite: lim (x x 20 x 5 + 2x 3 4) x 0

31 Limites laterais Limite pela esquerda: lim x c x < c f (x) = L Lê-se: o limite de f (x), quando x tende a c pela esquerda. Denição. Procurar a denição matemática

32 Limite pela direita: lim x c + x > c f (x) = K Lê-se: o limite de f (x), quando x tende a c pela direita. Denição. Procurar a denição matemática

33 Exemplo. Seja O esboço do gráco da função f é mostrado abaixo:

34 Exemplo. Calcular os limites laterais lim x 1 f (x) e lim x 1 + f (x), onde: { x + 1, x 1 f (x) = 2, x > 1

35 Exemplo de função f (x) sem limite em a Existem os valores de lim x a f (x) e lim x a + f (x), porém lim f (x) lim f (x) x a x a + Y L 2 L 1 x a x X

36 Cálculo de limites A primeira ação na hora de calcular o limite de uma função y = f (x) em a, é avaliar a função em x = a. Pode acontecer que nesse processo apareçam indeterminações, isto é: 0 0,,, 0x,, 00,, 0,, 1 O que signica isto? Vejamos, por exemplo, o caso 0 0.

37 Exemplo 1 Sejam f e g duas funções tais que: lim x a f (x) = 0 e lim x a g(x) = 0. O que podemos dizer do seguinte limite: f (x) lim x a g(x)? Estamos no caso indeterminado 0 0. Resposta: Precisamos analisar o problema para saber o valor do límite.

38 Para f (x) = x 3 e g(x) = x 2. Temos que: lim x 0 lim x 0 f (x) = 0 g(x) = 0 f (x) Então, aparentemente o lim x 0 g(x) está no caso de forma indeterminada 0. 0 Vamos analisar o limite e calcular o seu limite, caso seja possível. f (x) lim x 0 g(x) = lim x 3 x 0 x = lim x = 0 2 x 0

39 Para f (x) = x 2 e g(x) = 2x 2. Temos que: lim x 0 lim x 0 f (x) = 0 g(x) = 0 f (x) Então, aparentemente o lim x 0 g(x) está no caso de forma indeterminada 0. 0 Vamos analisar o limite e calcular o seu limite, caso seja possível. f (x) lim x 0 g(x) = lim x 2 x 0 2x = lim 1 2 x 0 2 = 1 2

40 Exemplo. Calcular o limite lim x 1 f (x), onde: Solução. f (x) = x 3 1 x 1 f (x) = x 3 1 x 1 Simplicando a expressão da função f : f (x) = (x 1)(x 2 + x + 1) (x 1) Dom (f ) = R {1} = x 2 + x + 1, x 1

41 Por outro lado: Então, temos: lim (x 2 + x + 1) = 3 x 1 lim f (x) = 3 x 1

42 Observe que as funções f e g, denidas por: f (x) = x 3 1 x 1 g(x) = (x 2 + x + 1)

43 O que acontece com os grácos da função f e g do exemplo anterior? (a) f (x) = x3 1 x 1 (b) g(x) = x 2 + x + 1 Figura: Esboço do gráco das funções f e g.

44 Exercícios Calcular os seguintes limites: a) lim x 2 x 3 8 x 2 b) lim x 1 x 1 x 1 c) lim x 3 x 2 +x 6 x+3 d) lim x 3 x 2 +x 12 x 3 e) lim x 1 x+1 1 x