Limites e Continuidade

Transcrição

1 MAT111 p. 1/2 Limites e Continuidade Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP

2 Revisão MAT111 p. 2/2

3 MAT111 p. 3/2 Limite de uma Função num Ponto DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, a pto. de acumulação de A, L R. lim f(x) = L significa: ǫ > 0, δ > 0, x A, 0 < x a < δ f(x) L < ǫ

4 MAT111 p. 4/2 Regras para Calcular Limites lim c = c lim x = a lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x) lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) lim f(x) = lim f(x) g(x) lim g(x) ( lim ) f(x) n = ( lim f(x) ) n lim n f(x) = n lim f(x)

5 MAT111 p. 5/2 Continuidade DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, a A. Diz-se que f é contínua em a se lim f(x) = f(a). Isto é equivalente a: ǫ > 0, δ > 0, x A, x a < δ f(x) f(a) < ǫ

6 MAT111 p. 5/2 Continuidade DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, a A. Diz-se que f é contínua em a se lim f(x) = f(a). Isto é equivalente a: ǫ > 0, δ > 0, x A, x a < δ f(x) f(a) < ǫ Diz-se que f é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

7 MAT111 p. 6/2 Propriedades das Funções Contínuas TEOREMA Somas, diferenças, produtos e quocientes de funções contínuas são funções contínuas.

8 MAT111 p. 6/2 Propriedades das Funções Contínuas TEOREMA Somas, diferenças, produtos e quocientes de funções contínuas são funções contínuas. A composta de funções contínuas é uma função contínua.

9 MAT111 p. 7/2 Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais;

10 MAT111 p. 7/2 Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais;

11 MAT111 p. 7/2 Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Funções trigonométricas;

12 MAT111 p. 7/2 Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Funções trigonométricas; Funções raízes.

13 Limites Laterais, Limites no Infinito, Limites Infinitos MAT111 p. 8/2

14 MAT111 p. 9/2 Pontos de Acumulação DEFINIÇÃO Sejam A R e a R. Diz-se que a é: ponto de acumulação de A se, δ > 0, (a) A. V δ

15 MAT111 p. 9/2 Pontos de Acumulação DEFINIÇÃO Sejam A R e a R. Diz-se que a é: ponto de acumulação de A se, δ > 0, (a) A. V δ ponto de acumulação à direita de A se, δ > 0, (a,a + δ) A.

16 MAT111 p. 9/2 Pontos de Acumulação DEFINIÇÃO Sejam A R e a R. Diz-se que a é: ponto de acumulação de A se, δ > 0, (a) A. V δ ponto de acumulação à direita de A se, δ > 0, (a,a + δ) A. ponto de acumulação à esquerda de A se, δ > 0, (a δ,a) A.

17 MAT111 p. 10/2 Limites Laterais Sejam f : A R R, a pto. de acumulação à direita de A, L R. significa: lim f(x) = L +

18 MAT111 p. 10/2 Limites Laterais Sejam f : A R R, a pto. de acumulação à direita de A, L R. lim f(x) = L + significa: ǫ > 0, δ > 0, x A,x (a,a + δ) f(x) L < ǫ.

19 MAT111 p. 11/2 Analogamente, se a for pto. de acumulação à esquerda de A, lim f(x) = L significa: ǫ > 0, δ > 0, x A,x (a δ,a) f(x) L < ǫ

20 Limite de uma função num ponto e limites laterais MAT111 p. 12/2

21 MAT111 p. 12/2 Limite de uma função num ponto e limites laterais TEOREMA Sejam f : A R R, a pto. de acumulação à esquerda e à direita de A, L R. Então, são equivalentes:

22 MAT111 p. 12/2 Limite de uma função num ponto e limites laterais TEOREMA Sejam f : A R R, a pto. de acumulação à esquerda e à direita de A, L R. Então, são equivalentes: lim f(x) = L;

23 MAT111 p. 12/2 Limite de uma função num ponto e limites laterais TEOREMA Sejam f : A R R, a pto. de acumulação à esquerda e à direita de A, L R. Então, são equivalentes: lim f(x) = L; lim f(x) = L e lim f(x) = L. +

24 Limites no Infinito MAT111 p. 13/2

25 MAT111 p. 13/2 Limites no Infinito DEFINIÇÃO Sejam A R ilimitado superiormente, f : A R, L R. significa: lim f(x) = L x +

26 MAT111 p. 13/2 Limites no Infinito DEFINIÇÃO Sejam A R ilimitado superiormente, f : A R, L R. lim f(x) = L x + significa: ǫ > 0, M > 0, x A,x > M f(x) L < ǫ

27 MAT111 p. 14/2 Analogamente, se A for ilimitado inferiormente, lim x f(x) = L significa: ǫ > 0, M > 0, x A,x < M f(x) L < ǫ

28 Regras para Cálculo de Limites Laterais e Limites no Infinito MAT111 p. 15/2

29 MAT111 p. 15/2 Regras para Cálculo de Limites Laterais e Limites no Infinito Valem as mesmas regras já vistas para o cálculo do limite de uma função num ponto, bastando substituir-se lim por lim ou lim ou + lim x + ou lim x.

30 Limites Infinitos MAT111 p. 16/2

31 MAT111 p. 16/2 Limites Infinitos DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, a pto. de acumulação de A. lim f(x) = + significa:

32 MAT111 p. 16/2 Limites Infinitos DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, a pto. de acumulação de A. lim f(x) = + significa: M > 0, δ > 0, x A, 0 < x a < δ f(x) > M

33 MAT111 p. 16/2 Limites Infinitos DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, a pto. de acumulação de A. lim f(x) = + significa: M > 0, δ > 0, x A, 0 < x a < δ f(x) > M lim f(x) = significa: M > 0, δ > 0, x A, 0 < x a < δ f(x) < M

34 MAT111 p. 17/2 Limites Infinitos OBSERVAÇÃO: lim f(x) = ± significa, em particular, lim f(x)

35 MAT111 p. 18/2 Propriedades dos Limites Infinitos 1. Se lim f(x) = + e g for limitada inferiormente numa vizinhança de a, então lim (f + g)(x) = +.

36 MAT111 p. 18/2 Propriedades dos Limites Infinitos 1. Se lim f(x) = + e g for limitada inferiormente numa vizinhança de a, então lim (f + g)(x) = Se lim f(x) = + e c > 0 tal que g c numa vizinhança de a, então lim (f g)(x) = +.

37 Exercícios MAT111 p. 19/2

38 MAT111 p. 20/2 Exercício 1 Calcule: lim x + 5x 4 + x 3 x x 4 + 6x 2 + 3

39 MAT111 p. 21/2 Exercício 2 Calcule: lim x + 5x 4 + x 3 x x 3 + 6x 2 + 3