Elementos de Lógica Matemática p. 1/2

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1 Elementos de Lógica Matemática Uma Breve Iniciação Gláucio Terra Departamento de Matemática IME - USP Elementos de Lógica Matemática p. 1/2

2 Vamos aprender a falar aramaico? ǫ > 0 ( δ > 0 ( x(0 < x < δ x 2 < ǫ) )) Elementos de Lógica Matemática p. 2/2

3 Proposições Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso; Elementos de Lógica Matemática p. 3/2

4 Proposições Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso; Toda proposição é verdadeira ou falsa (princípio do terceiro excluído); Elementos de Lógica Matemática p. 3/2

5 Proposições Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso; Toda proposição é verdadeira ou falsa (princípio do terceiro excluído); Uma proposição não pode ser verdadeira E falsa (princípio da não-contradição). Elementos de Lógica Matemática p. 3/2

6 Exemplos de Proposições 2 > 1 (V); Elementos de Lógica Matemática p. 4/2

7 Exemplos de Proposições 2 > 1 (V); 5 = 1 (F). Elementos de Lógica Matemática p. 4/2

8 Conectivos Lógicos Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos: Elementos de Lógica Matemática p. 5/2

9 Conectivos Lógicos Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos: ou! (negação); Elementos de Lógica Matemática p. 5/2

10 Conectivos Lógicos Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos: ou! (negação); (conectivo e ); Elementos de Lógica Matemática p. 5/2

11 Conectivos Lógicos Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos: ou! (negação); (conectivo e ); (conectivo ou ); Elementos de Lógica Matemática p. 5/2

12 Conectivos Lógicos Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos: ou! (negação); (conectivo e ); (conectivo ou ); (conectivo implica ); Elementos de Lógica Matemática p. 5/2

13 Conectivos Lógicos Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos: ou! (negação); (conectivo e ); (conectivo ou ); (conectivo implica ); (conectivo se, e somente se ). Elementos de Lógica Matemática p. 5/2

14 Conectivos Lógicos Sejam P e Q proposições. Elementos de Lógica Matemática p. 6/2

15 Conectivos Lógicos Sejam P e Q proposições. P é verdadeira se P for falsa, e vice-versa; Elementos de Lógica Matemática p. 6/2

16 Conectivos Lógicos Sejam P e Q proposições. P é verdadeira se P for falsa, e vice-versa; P e Q é verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso contrário; Elementos de Lógica Matemática p. 6/2

17 Conectivos Lógicos Sejam P e Q proposições. P é verdadeira se P for falsa, e vice-versa; P e Q é verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso contrário; P ou Q é verdadeira se pelo menos uma delas for verdadeira, e falsa caso contrário. Elementos de Lógica Matemática p. 6/2

18 Conectivos Lógicos P Q é a mesma coisa que ( P) ou Q ; ou seja, é falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: Elementos de Lógica Matemática p. 7/2

19 Conectivos Lógicos P Q é a mesma coisa que ( P) ou Q ; ou seja, é falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); Elementos de Lógica Matemática p. 7/2

20 Conectivos Lógicos P Q é a mesma coisa que ( P) ou Q ; ou seja, é falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); 2 > 1 1 > 3 (F); Elementos de Lógica Matemática p. 7/2

21 Conectivos Lógicos P Q é a mesma coisa que ( P) ou Q ; ou seja, é falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); 2 > 1 1 > 3 (F); 5 = 2 0 = 1 (V); Elementos de Lógica Matemática p. 7/2

22 Conectivos Lógicos P Q é a mesma coisa que ( P) ou Q ; ou seja, é falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); 2 > 1 1 > 3 (F); 5 = 2 0 = 1 (V); P Q é a mesma coisa que P Q e Q P, ou seja, é verdadeira se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Elementos de Lógica Matemática p. 7/2

23 Variáveis Livres Seja P uma expressão na qual ocorre uma ou mais variáveis x, y, z,... Dizemos que uma dada ocorrência de uma variável x na expressão P é livre se x não está no escopo de algum quantificador (quantificador universal) ou (quantificador existencial). Elementos de Lógica Matemática p. 8/2

24 Variáveis Livres Exemplos: Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

25 Variáveis Livres Exemplos: x > 0 Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

26 Exemplos: Variáveis Livres x > 0 (x é variável livre); Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

27 Variáveis Livres Exemplos: x > 0 (x é variável livre); y(y > x) Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

28 Variáveis Livres Exemplos: x > 0 (x é variável livre); y(y > x) (x é livre, y é não-livre); Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

29 Exemplos: Variáveis Livres x > 0 (x é variável livre); y(y > x) (x é livre, y é não-livre); x ( y(y > x) ) Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

30 Variáveis Livres Exemplos: x > 0 (x é variável livre); y(y > x) (x é livre, y é não-livre); x ( y(y > x) ) (nenhuma das variáveis é livre); Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

31 Variáveis Livres Exemplos: x > 0 (x é variável livre); y(y > x) (x é livre, y é não-livre); x ( y(y > x) ) (nenhuma das variáveis é livre); ǫ ( δ(0 < x a < δ x 2 a 2 < ǫ) ) Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

32 Variáveis Livres Exemplos: x > 0 (x é variável livre); y(y > x) (x é livre, y é não-livre); x ( y(y > x) ) (nenhuma das variáveis é livre); ǫ ( δ(0 < x a < δ x 2 a 2 < ǫ) ) (x e a são livres, ǫ e δ são não-livres). Elementos de Lógica Matemática p. 9/2

33 Sentenças abertas Uma expressão proposicional ou sentença aberta é uma expressão P na qual ocorre uma ou mais variáveis x, y, z,..., sendo pela menos uma ocorrência livre. Elementos de Lógica Matemática p. 10/2

34 Sentenças abertas Uma expressão proposicional ou sentença aberta é uma expressão P na qual ocorre uma ou mais variáveis x, y, z,..., sendo pela menos uma ocorrência livre. Usaremos daqui em diante a notação P(x 1,...,x n ) para designar uma sentença aberta na qual as variáveis livres são x 1,...,x n. Elementos de Lógica Matemática p. 10/2

35 Expressões Proposicionais e Proposições Podemos construir proposições (i.e. sentenças que podem assumir valor lógico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentença aberta P, de duas maneiras: Elementos de Lógica Matemática p. 11/2

36 Expressões Proposicionais e Proposições Podemos construir proposições (i.e. sentenças que podem assumir valor lógico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentença aberta P, de duas maneiras: atribui-se valores às variáveis livres de P, i.e. substitui-se as variáveis livres de P por elementos de um dado conjunto, o universo das variáveis; Elementos de Lógica Matemática p. 11/2

37 Expressões Proposicionais e Proposições Podemos construir proposições (i.e. sentenças que podem assumir valor lógico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentença aberta P, de duas maneiras: atribui-se valores às variáveis livres de P, i.e. substitui-se as variáveis livres de P por elementos de um dado conjunto, o universo das variáveis; quantifica-se as variáveis livres de P, usando-se os quantificadores ou. Elementos de Lógica Matemática p. 11/2

38 O Quantificador Existencial ( ) Sejam x uma variável cujo universo é um dado conjunto U, e P(x) uma sentença aberta. Considere a proposição: x ( P(x) ) Elementos de Lógica Matemática p. 12/2

39 O Quantificador Existencial ( ) Sejam x uma variável cujo universo é um dado conjunto U, e P(x) uma sentença aberta. Considere a proposição: x ( P(x) ) Por definição, a proposição acima é verdadeira se existir algum elemento do conjunto U tal que a substituição da variável livre x de P(x) por este elemento resulte numa proposição verdadeira. Caso contrário, diz-se que x ( P(x) ) é uma proposição falsa. Elementos de Lógica Matemática p. 12/2

40 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

41 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). x(x > 0) Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

42 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). x(x > 0) (V); Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

43 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). x(x > 0) (V); x(x 2 < 0) Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

44 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). x(x > 0) (V); x(x 2 < 0) (F); Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

45 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). x(x > 0) (V); x(x 2 < 0) (F); x ( y(y + 1 < x) ) Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

46 Exemplos Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R dos números reais). x(x > 0) (V); x(x 2 < 0) (F); x ( y(y + 1 < x) ) (V). Elementos de Lógica Matemática p. 13/2

47 O Quantificador Universal ( ) Sejam x uma variável cujo universo é um dado conjunto U, e P(x) uma sentença aberta. Considere a proposição: x ( P(x) ) Elementos de Lógica Matemática p. 14/2

48 O Quantificador Universal ( ) Sejam x uma variável cujo universo é um dado conjunto U, e P(x) uma sentença aberta. Considere a proposição: x ( P(x) ) Por definição, a proposição acima é verdadeira se a substituição da variável livre x de P(x) por qualquer elemento do conjunto universo U resultar numa proposição verdadeira. Caso contrário, diz-se que x ( P(x) ) é uma proposição falsa. Elementos de Lógica Matemática p. 14/2

49 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

50 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

51 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

52 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

53 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

54 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); x ( y(x > y) ) Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

55 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); x ( y(x > y) ) (F); Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

56 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); x ( y(x > y) ) (F); x ( y(x > y) ) Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

57 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); x ( y(x > y) ) (F); x ( y(x > y) ) (V); Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

58 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); x ( y(x > y) ) (F); x ( y(x > y) ) (V); y ( x(x > y) ) Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

59 Exemplos Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. x(x > 0) (F); x(x 2 0) (V); x ( y(x > y) ) (F); x ( y(x > y) ) (V); y ( x(x > y) ) (F). Elementos de Lógica Matemática p. 15/2

60 Implicações Lógicas Sejam P(x 1,...,x n ) e Q(x 1,...,x n ) sentenças abertas e U um conjunto. Elementos de Lógica Matemática p. 16/2

61 Implicações Lógicas Sejam P(x 1,...,x n ) e Q(x 1,...,x n ) sentenças abertas e U um conjunto. Diz-se que P implica logicamente Q, no universo U, e escreve-se P Q, se a seguinte proposição for verdadeira, tomando-se U como universo das variáveis x 1,...,x n : x 1 ( xn (P(x 1,...,x n ) Q(x 1,...,x n )) ). Elementos de Lógica Matemática p. 16/2

62 Implicações Lógicas Noutras palavras, isto significa que quaisquer valores de x 1,...,x n no universo U que tornam P verdadeira também tornam Q verdadeira. Elementos de Lógica Matemática p. 17/2

63 Implicações Lógicas Noutras palavras, isto significa que quaisquer valores de x 1,...,x n no universo U que tornam P verdadeira também tornam Q verdadeira. Diz-se que P é logicamente equivalente a Q, e escreve-se P Q, se P Q e Q P. Elementos de Lógica Matemática p. 17/2

64 Exemplos Seja U o conjunto dos triângulos do plano. Então: T retângulo o quadrado de um dos lados de T é a soma dos quadrados dos outros dois. Elementos de Lógica Matemática p. 18/2

65 Exemplos Seja U o conjunto dos triângulos do plano. Então: T retângulo o quadrado de um dos lados de T é a soma dos quadrados dos outros dois. Com efeito, no universo U, a seguinte proposição é verdadeira: T(T retângulo o quadrado de um dos lados de T é a soma dos quadrados dos outros dois). Elementos de Lógica Matemática p. 18/2

66 Exemplos Em U = R, 0 x 2 x 2 4, mas x x 2. Elementos de Lógica Matemática p. 19/2

67 Exemplos Em U = R, 0 x 2 x 2 4, mas x x 2. Um teorema é um enunciado da forma H T, onde H e T são sentenças chamadas, respectivamente, de hipótese e tese. Elementos de Lógica Matemática p. 19/2

68 Exercícios Elementos de Lógica Matemática p. 20/2

69 Como dizer não Sejam, P, Q proposições. Verifique que são verdadeiras: Elementos de Lógica Matemática p. 21/2

70 Como dizer não Sejam, P, Q proposições. Verifique que são verdadeiras: ( (P Q) ) ( ( P) ( Q) ) Elementos de Lógica Matemática p. 21/2

71 Como dizer não Sejam, P, Q proposições. Verifique que são verdadeiras: ( (P Q) ) ( ( P) ( Q) ) ( (P Q) ) ( ( P) ( Q) ) Elementos de Lógica Matemática p. 21/2

72 Como dizer não Sejam, P, Q proposições. Verifique que são verdadeiras: ( (P Q) ) ( ( P) ( Q) ) ( (P Q) ) ( ( P) ( Q) ) ( P Q) ( ( Q) ( P) ) Elementos de Lógica Matemática p. 21/2

73 Como dizer não Sejam, P(x),Q(x) sentenças abertas, U o universo de x. Verifique que são verdadeiras: Elementos de Lógica Matemática p. 22/2

74 Como dizer não Sejam, P(x),Q(x) sentenças abertas, U o universo de x. Verifique que são verdadeiras: ( ( x(p(x))) ) ( x( P(x)) ) Elementos de Lógica Matemática p. 22/2

75 Como dizer não Sejam, P(x),Q(x) sentenças abertas, U o universo de x. Verifique que são verdadeiras: ( ( x(p(x))) ) ( x( P(x)) ) ( ( x(p(x))) ) ( x( P(x))) ) Elementos de Lógica Matemática p. 22/2

76 Encontre a negação das seguintes proposições. A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas (todas as variáveis são reais); justifique. 1. x ( y(y > x) ). ( 2. ǫ > 0 δ > 0 ( x(0 < x < δ 5x < ǫ) )). OBS.: usa-se correntemente as abreviações: δ > 0 ( P(δ) ) para δ ( δ > 0 P(δ) ) ; δ A ( P(δ) ) para δ ( δ A P(δ) ) ; ǫ > 0 ( P(ǫ) ) para ǫ ( ǫ > 0 P(ǫ) ), etc. Elementos de Lógica Matemática p. 23/2

77 Respostas: 1. Verdadeira; dado x R qualquer, tome y = x + 2 > x. Negação: x ( y(y x) ). 2. Verdadeira; dado ǫ > 0 qualquer, tome δ = ǫ/5. ( Negação: ǫ > 0 δ > 0 ( x(0 < x < δ 5x ǫ) )). Elementos de Lógica Matemática p. 24/2

78 Encontre a negação das seguintes proposições. A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas (todas as variáveis são reais); justifique. ( 1. ǫ > 0 δ > 0 ( x(0 < x < δ x 2 < ǫ) )). ( 2. ǫ > 0 δ > 0 ( x(0 < x < δ x 2 1 < ǫ) )). Elementos de Lógica Matemática p. 25/2

79 Respostas: 1. Verdadeira: dado ǫ > 0 qualquer, tome δ = ǫ. ( Negação: ǫ > 0 δ > 0 ( x(0 < x < δ x 2 ǫ) )). 2. Falsa (sugestão: verifique que a negação é verdadeira). ( Negação: ǫ > 0 δ > 0 ( x(0 < x < δ x 2 1 ǫ) )). Elementos de Lógica Matemática p. 26/2

80 Referências Jaime Ferreira de Campos, Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos, in Lições de Análise Real, Instituto Superior Técnico, Lisboa, jmatos/ltc/ltc.pdf Edgar de Alencar Filho, Iniciação à Lógica Matemática, Nobel, São Paulo, Elementos de Lógica Matemática p. 27/2

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Elementos de Lógica Matemática. Uma Breve Iniciação Elementos de Lógica Matemática Uma Breve Iniciação Proposições Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Exemplos de Proposições 2 > 1 (V); 5 = 1 (F). Termos

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