Proposições simples e compostas

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1 Revisão Lógica

2 Proposições simples e compostas Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Exemplos de proposições simples: p : O número 2 é primo. (V) q : 15 : 3 = 6 (F) r : O retângulo é um polígono regular. (F)

3 Proposições simples e compostas A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como: e (conectivo de conjunção), ou (conectivo de disjunção), e os condicionais se... então, se e somente se.

4 Proposições simples e compostas Exemplos: p : A Lua é um satélite da Terra e Recife é a capital de Pernambuco. q : Carlos é solteiro ou Pedro é estudante. r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango. s: Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango.

5 Proposições simples e compostas Exemplos: p : A Lua é um satélite da Terra e Recife é a capital de Pernambuco. q : Carlos é solteiro ou Pedro é estudante. r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango. s: Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango.

6 Proposições simples e compostas Conjunção p q ( e ). p q p q V V V V F F F V F F F F

7 Proposições simples e compostas Disjunção Inclusiva p V q ( ou ). p q p V q V V V V F V F V V F F F

8 Proposições simples e compostas Disjunção Exclusiva p V q ( ou, ou ). p q p V q V V F V F V F V V F F F

9 Proposições simples e compostas Condicional p > q ( se, então ). p q p > q V V V V F F F V V F F V

10 Proposições simples e compostas Bicondicional p q ( se, e somente se ). p q p q V V V V F F F V F F F V

11 Construção da tabela Verdade p q ~ q (p Λ ~q) ~(p Λ ~q) V V F F V F V F

12 Negação da Conjunção ( p q ) Como negar esta conjunção? ~ ( p q ) ou com a cantoneira ( p q ) Para negar uma conjunção se aplica uma disjunção! ( p q ) => ~ ( p q ) => (~ p V ~ q ) => ~ ( p V q ) Para negar a conjunção qualquer negar a primeira preposição simples troco o conectivo de conjunção para disjunção e negar a segunda proposição simples!

13 Negação da Conjunção ( p q ) Como negar esta conjunção? ~ ( p q ) ou com a cantoneira ( p q ) Para negar uma conjunção se aplica uma disjunção! ( p q ) => ~ ( p q ) => (~ p V ~ q ) => ~ ( p V q ) Para negar a conjunção qualquer negar a primeira preposição simples troco o conectivo de conjunção para disjunção e negar a segunda proposição simples!

14 Negação da Conjunção Exemplo: P: Ana é bonita e Adilson estuda. p: Ana é bonita. q: Adilson estuda. Como negarmos esta conjunção? ~( p q ) => ~p V ~ q, ficando: Ana não é bonita ou Adilson não estuda!

15 Negação da Disjunção ( p V q ) Como negar esta disjunção? ~ ( p V q ) ou com a cantoneira ( p V q ) Para negar uma disjunção se aplica uma conjunção! ( p V q ) => ~ ( p V q ) => (~ p ~ q ) => ~ ( p q ) Para negar a disjunção qualquer negar a primeira preposição simples troco o conectivo de disjunção para conjunção e negar a segunda proposição simples!

16 Negação da Disjunção Mas se a primeira proposição simples já estiver com o sinal de negação? (~ p V q)? R: negação de negação é uma afirmação! ~(~p ~ q) => p ~q

17 Negação da Disjunção Exemplo: P: Manuela é rubro-negro ou 2+2=5. p: Manuela é rubro-negro. q: = 5. Como negarmos esta disjunção? ~( p V q ) => ~p ~ q, ficando: Manuela não é rubro-negro e

18 Negação da Condicional (p > q) Como negar uma Condicional? ~ (p > q) ou com a cantoneira (p > q) A negação da condicional é obtida através da conjunção! ( p > q ) => ~ ( p > q ) => p ~ q Para negar a Condicional afirmar a primeira preposição simples troco o conectivo de condicional para conjunção e negar a segunda proposição simples!

19 Negação da Condicional Exemplo: P: Se faz sol, vou à praia. p: Faz sol. q: Vou a praia. Como negar esta condicional? ~( p > q ) => p ~ q, ficando: Faz sol e não vou à praia.

20 Negação da Condicional Exemplo2: P: Se uma pessoa é mineira, então come queijo. p: Uma pessoa é mineira. q: Come queijo. Como negar esta condicional? ~( p > q ) => p ~ q, ficando: Uma pessoa é mineira e não come queijo.

21 Negação da Disjunção Exclusiva (p v q) Como negar uma Disjunção Exclusiva? ~ (p v q) ou com a cantoneira (p v q) A negação da disjunção exclusiva tem duas formas: 1º ( p v q ) => ~ ( p v q ) => ~p ~ q 2º ( p v q ) => ~ ( p v q ) => p q Geral = ( p v q ) => ~ ( p v q ) => ~p ~ q ou p q

22 Negação da Disjunção Exclusiva Exemplo: P: Ou Ana é médica ou advogada. p: Ana é médica. q: Ana é advogada. Como negar esta disjunção exclusiva? ~( p v q ) => ~p ~ q ou p q, ficando: Ana não é médica e Ana não é advogada ou Ana é médica e Ana é advogada.

23 Negação da Bicondicional (p q) Como negar uma Bicondicional? ~ (p q) ou com a cantoneira (p q) A negação da Bicondicional tem duas formas: 1º ( p q ) => ~ ( p q ) => p ~ q 2º ( p q ) => ~ ( p q ) => ~p q Geral = ( p q ) => ~ ( p q ) => p ~ q ou ~p q

24 Negação da Bicondicional Exemplo: P: Jonas irá a Europa se, e somente se o dólar cair. p: Jonas irá a Europa. q: Dólar cair. Como negar esta Bicondicional? ~( p q ) => p ~ q ou ~p q, ficando: Jonas irá a Europa e o dólar não irá cair ou Jonas não irá a Europa e o dólar cairá.

25 Negação da Bicondicional Exemplo: P: Jonas irá a Europa se, e somente se o dólar cair. p: Jonas irá a Europa. q: Dólar cair. Como negar esta Bicondicional? ~( p q ) => p ~ q ou ~p q, ficando: Jonas irá a Europa e o dólar não irá cair ou Jonas não irá a Europa e o dólar cairá.

26 Exercícios Negação 1º P: Pimenta nos olhos dos outros é refresco ou colírio. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Pimenta nos olhos dos outros. q: Colírio. ~( p V q ) => ~p ~ q, ficando: Pimenta nos olhos dos outros não é refresco e não é colírio.

27 Exercícios Negação Qual a negação da seguinte sentença? 2º P: Se vergonha matasse, Gabriella já teria morrido. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Vergonha matasse. q: Gabriella já teria morrido. ~( p > q ) => p ~ q, ficando: Vergonha mata e Gabriella não morre.

28 Exercícios Negação Qual a negação da seguinte sentença? 3º P: Ou vai ou racha. Dica (Descubra o conectivo usado na sentença). p: Vai. q: Racha. ~( p v q ) =>~ p ~ q ou p q, ficando: Não vai e não racha. Ou Vai e racha.

29 TAUTOLOGIA Reelembrando que: Vimos que o número de linhas de uma tabela-verdade é 2n (em que n é o número de proposições simples). Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição (p r) > (~q V r).

30 TAUTOLOGIA Vamos construir a tabela verdade: p q r ~q p r ~q V r (p r ) > (~q V r)

31 Contradição Vamos construir a tabela verdade: p q p q p V q (p q ) (p V q)

32 Contigência Vamos construir a tabela verdade: p q p > q p V q (p > q) (p V q) V V F F V F V F

33 Equivalência de Proposições Equivalência nada mais é que o encontro de preposições equivalentes a uma outra proposição dada. Obs: não é igualdade, mas sim estruturas equivalentes! Exemplo: Dupla negação: ~~p => Outro exemplo: Não é verdade que colômbo não descobriu a américa. Logo: Então, as duas proposições são equivalentes, querem dizer a mesma coisa!

34 Equivalência de Proposições Olhando a propriedade comutativa pela matemática, tanto faz 7 x 5 = 35, como 5 X 7 = 35. E na lógica? p q q p, são a mesma coisa! Exemplo: Jurandir é engenheiro e Ana é professora! É comutativa a: Ana é professora e Jurandir é engenheiro!

35 Equivalência de Proposições p V q q V p, são a mesma coisa! Exemplo: Jurandir é engenheiro ou Ana é professora! É comutativa a: Ana é professora ou Jurandir é engenheiro!

36 Outras formas de Equivalência. p q q p, são a mesma coisa! Exemplo: Chove se, e somente se faz sol. É comutativa a: Faz sol se, e somente se chove.

37 Outras formas de Equivalência. A definição da bicondicional: p q Gera uma outra proposição equivalente a bicondicional. Significa que: (p > q) (q > p). Exemplo: Chove se, e somente se faz sol. Equivalente a: Se chove, faz sol e se faz sol, chove.

38 Proposição Contrapositiva. p > q ~ q > ~ p Exemplo: P: Se a procura aumenta, então o preço sobe. Será equivalente a: P: Se o preço não sobe, então a procura não aumenta.

39 Negação da negação de condicional (p > q) ~ p V q Exemplo: Se chove então faz frio. p q Vamos então encontra as duas formas: 1ºforma (proposição contrapositiva). ~ q > ~ p Como vai ficar? P: Se não faz frio, então não chove. 2ºforma (negação da negação da condicional). ~ p V q Como vai ficar? P: Não chove ou faz frio. As três são equivalentes!

40 Negação da negação de condicional Mas qual a razão da negação da negação da condicional? Nega-se a condicional e depois nega o resultado! 1º nega a expressão. 2º nega o resultado, e chegará na expressão seguinte: (p > q) ~ p V q

41 Negação da negação de condicional p > q (vamos negar) (p ~ q) Agora vamos negar a conjunção: p ~ q (vamos negar a conjunção) ~p V q Resumindo logicamente: p > q => (p ~ q) => ~ (p ~ q) => (~p V q)

42 Negação da negação de condicional p > q (vamos negar) (~p V q) Vamos a um exemplo prático...: P: Se a procura aumenta, então o preço sobe. É equivalente a? P: Se a procura não aumenta ou o preço sobe.

43 Exercicio Se Brasília é a Capital do Brasil então Santiago é a Capital do Chile (p q) Se Santiago não é a capital do Chile então Brasília não é a Capital do Brasil.( q p) Vejamos as tabelas verdade de ambas às proposições compostas:

44 Exercicíos Vejamos as tabelas verdade de ambas às proposições compostas: Condicional: q p Condicional: q p 44 Podemos verificar que as duas proposições possuem a mesma tabela verdade (valoração), portanto são equivalentes. P Q <=> Q P (Representação da equivalência lógica ) Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

45 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (LPO) Na lógica de primeira ordem (LPO), existem dois tipos de quantificadores: 1º quantificador Universal e; 2º quantificador Existencial.

46 Quantificador Universal Quantificador Universal é indicado pelo símbolo, que se lê: todo, para todo, qualquer que seja e para cada (outros sinônimos). 46 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

47 Quantificador Universal 47 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

48 48 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

49 Quantificador Existencial existe, algum, existe pelo menos um e existe um (outros sinônimos). 49 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

50 Quantificador Existencial 50 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

51 Quantificador Existencial ÚNICO. 51 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

52 A Negação do quantificador Universal e Existencial Regra Geral Para negar expressões que estão escritas no quantificador universal, utiliza-se o quantificador existencial. Para negar expressões que estão escritas no quantificador existencial, utiliza-se o quantificador universal. 52 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

53 A Negação do quantificador Universal e Existencial 53 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

54 A Negação do quantificador Universal e Existencial 54 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

55 A Negação do quantificador Universal e Existencial 1. Qual é a negação de não há quem não goste de futebol?. (o mesmo que dizer que todos gostam de futebol). a) Não há quem goste de futebol. b) Ninguém gosta de futebol. c) Todos gostam de futebol.(pegadinha é sinonima) d) Há quem goste de futebol. e) Há quem não goste de futebol. 55 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

56 A Negação do quantificador Universal e Existencial 2. Todos os números inteiros são positivos é: a) Nenhum número inteiro é positivo. b) Nenhum número inteiro é negativo. c) Todos os números inteiros são negativos. d) Alguns números positivos não são inteiros. e) Alguns números inteiros não são positivos. 56 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

57 57 Aula de Lógica - Professor Renê F Felix

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