Lógica de Predicados

Transcrição

1 Lógica de Predicados

2 Conteúdo Correção dos Exercícios (Rosen 47) Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Predicados com duas variáveis. Equivalências lógicas (Rosen 39) Negando expressões com quantificadores (Rosen 39)

3 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x))

4 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta.

5 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x))

6 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam

7 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são c) x(r(x) H(x)) coelhos e saltam

8 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam c) x(r(x) H(x)) Existe um animal que se é coelho então ele salta.

9 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam c) x(r(x) H(x)) Existe um animal que se é coelho então ele salta. d) x(r(x) ^ H(x))

10 Exercícios Rosen 47 8)Transcreva estas proposições para o português, em que R(x) é x é um coelho e H(x) é x salta e o domínio são todos os animais. a) x(r(x) H(x)) Todo coelho salta. b) x(r(x) ^ H(x)) Todos os animais são coelhos e saltam c) x(r(x) H(x)) Existe um animal que se é coelho então ele salta. d) x(r(x) ^ H(x)) Existe um coelho que salta

11 Exercícios Rosen 47 9) Considere P(x) como a proposição x fala russo e considere Q(x) como a proposição x sabe a linguagem computacional C++. Expresse cada uma dessas sentenças em termos de P(x), Q(x), quantificadores e conectivos lógicos. O domínio para quantificadores são todos os estudantes de sua escola.

12 Exercícios Rosen 47 9) Considere P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++.

13 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++. x (P(x) ^ Q(x))

14 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} b) Há um estudante em sua escola que fala russo mas não sabe C++.

15 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} b) Há um estudante em sua escola que fala russo mas não sabe C++. x (P(x) ^ ~Q(x))

16 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++.

17 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++. x (P(x) v Q(x))

18 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++.

19 Exercícios Rosen 47 9)P(x) = x fala russo Q(x)= x sabe a linguagem C++. Domínio ={todos os estudantes de sua escola} d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++. x ~(P(x) v Q(x))

20 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x))

21 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) Isso nos mostra o conceito de variável ligada

22 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) E o conceito de escopo de uma variável

23 Variável Ligada x (x+y = 1) x é ligada Quando um quantificador é usado na variável x, dizemos que essa ocorrência da variável é ligada.

24 Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Uma ocorrência de uma variável que não é ligada por um quantificador ou não representa um conjunto de valores particulares é chamada de variável livre (y).

25 Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Não é uma proposição, pois y é variável livre Todas as variáveis que ocorrem em um função proposicional devem ser ligadas ou devem representar um conjunto de valores particulares para ser uma proposição.

26 Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x) Escopo não se sobrepõe. Escopo Escopo É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.

27 Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v y R(y) Escopo Escopo Escopo não se sobrepõe. Pode ser y ao invés de x. É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado. Uma variável é livre se não está sob o escopo de algum quantificador.

28 Dúvidas!!! Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada e Escopo????

29 Refrescar a Mente!!! Na aula passada traduzimos as seguintes sentenças: Todo estudante desta classe estudou lógica e Todo estudante da classe visitou Canadá ou México!!!

30 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Vamos reformular nossa primeira frase: Todo estudante desta classe estudou lógica

31 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Domínio 1: {estudantes desta classe} x C(x)

32 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Domínio 1: {estudantes desta classe} x C(x) Domínio 2: {todas as pessoas} x (S(x) C(x))

33 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Agora vamos definir uma novo predicado!!! Q(x,y) = estudante x estudou matéria y

34 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. Q(x,y) = estudante x estudou matéria y Domínio 1: {estudantes desta classe} x Q(x,lógica)

35 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. Q(x,y) = estudante x estudou matéria y Domínio 1: {estudantes desta classe} x Q(x,lógica) Domínio 2: {todas as pessoas} x (S(x) Q(x, lógica))

36 Predicados com duas variáveis Algum estudante da classe visitou Canadá ou México. V(x,y) = x visitou o país y x (V(x,México) v V(x,Canadá))

37 Equivalências (S T) Sentenças que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes se e somente se elas têm o mesmo valor verdade quaisquer que sejam os predicados substituídos nessas sentenças e qualquer que seja o domínio para as variáveis nessas funções proposicionais.

38 Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x)

39 Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) CUIDADO!!!! x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x)

40 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x)

41 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x) Podemos reformular a frase para: Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x)

42 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x) Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x) Ilustramos que: ~x P(x) x ~P(x)

43 Negando Expressões Quantificadas Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo. x P(x) Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x)

44 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x) Podemos reformular a frase para: Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x)

45 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x) Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x) Ilustramos que: ~x P(x) x ~P(x)

46 Negando Expressões Quantificadas As regras para negações de quantificadores são chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores. ~x P(x) x ~P(x) ~x P(x) x ~P(x)

47 Exercícios 1) Quais as negações de: a) Existe um político honesto b) Todos os brasileiros comem churrasco 3) Negar x (x 2 > x) 4) Negar x (x 2 = x) 5) Mostre que: ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x))

48 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} Como fica a proposição???

49 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x)

50 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x)

51 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x) Sabemos que ~x H(x) x ~P(x) Então podemos dizer que:...

52 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x) Sabemos que ~x H(x) x ~P(x) Então podemos dizer que: Todos os políticos são desonestos.

53 Exercícios 1) Quais as negações de: a) Existe um político honesto b) Todos os brasileiros comem churrasco 3) Negar x (x 2 > x) 4) Negar x (x 2 = x) 5) Mostre que: ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) 6) Rosen pg 47 exercícios: 6c, 6d, 6e, 6f 7) Rosen pg 48 exercício 34