Lógica de Predicados. Correção dos Exercícios Regras de Inferência

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1 Lógica de Predicados Correção dos Exercícios Regras de Inferência

2 O que foi visto até agora... Predicado Proposição Quantificadores Conjuntos Quantificadores com restrição Operações Lógicas com predicados Quantificadores Agrupados Negando Quantificadores Equivalências Lógicas Tradução

3 Rosen 58 1) Transcreva as proposições abaixo para o português, em que o domínio para cada variável consista nos números reais. a) x y (x<y) b) x y (((x x y z (xy = z)

4 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos

5 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos Existe alguém que ama todo mundo x y L(x,y) Se isso não for verdade então Ninguém ama todos

6 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos ~ x y L(x,y) Existe alguém que ama todo mundo x y L(x,y) Se isso não for verdade então Ninguém ama todos

7 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos ~ x y L(x,y) e) Há alguém a quem Lídia não ama Reescrevendo: Lidia não ama alguém: y ~L(Lidia,y)

8 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos ~ x y L(x,y) e) Há alguém a quem Lídia não ama y ~L(Lidia,y) f) Há alguém a quem ninguém ama Reescrevendo: Há alguém a quem todos não amam y x ~L(x,y)

9 Rosen (61) 30) Reescrever cada uma das proposições para que as negações apareçam apenas inseridas nos predicados (ou seja, nenhuma negação esteja do lado de fora de um quantificador ou de uma expressão que envolva conectivos lógicos). Aplicação direta das leis de De Morgan

10 Regras de Inferências Regras de Inferências para sentença quantificadas: Instanciação Universal Generalização Universal Instanciação Existencial Generalização Existencial

11 Instanciação Universal Premissa: xp(x) é verdade Conclusão: P(a) é verdade, onde a é um elemento qualquer do domínio.

12 Instanciação Universal Premissa 1: Todo homem é mortal Premissa 2: Sócrates é homem Logo...

13 Instanciação Universal Premissa 1: Todo homem é mortal Premissa 2: Sócrates é homem Logo... Sócrates é mortal

14 Generalização Universal Premissa: P(a) é verdade para um a qualquer Conclusão: xp(x) é verdade Pode ocasionar raciocínios incorretos.

15 Instanciação Existencial Premissa: xp(x) é verdade Conclusão: P(a) é verdade, onde a é um elemento selecionado do domínio.

16 Generalização Existencial Premissa: P(a) é verdade para um a especifico. Conclusão: xp(x) é verdade

17 Provando Argumentos P1: Todos os alunos da classe de Fundamentos 1 estão no curso de Computação. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo...

18 Provando Argumentos P1: Todos os alunos da classe de Fundamentos 1 estão no curso de Computação. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo x(d(x)c(x))

19 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: Diego é um aluno da classe de Fundamentos 1. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo...

20 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: Diego é um aluno da classe de Fundamentos 1. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo D(Diego)

21 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: D(Diego). Aplicar Instanciação Universal em P1...

22 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) Aplicar Modus Ponens em P2 e 3.

23 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) 4: C(Diego) Concluímos que... D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação

24 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) 4: C(Diego) Concluímos que: Diego está no curso de computação

25 Provando Argumentos P1: x(d(x)c(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) 4: C(Diego) Modus Ponens Universal Concluímos que: Diego está no curso de computação

26 Exercício Um estudante desta classe não tem lido o livro. Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Mostre que o argumento é válido.

27 Exercício Um estudante desta classe não tem lido o livro. Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1 Traduzindo a Premissa 1

28 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1

29 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1 Traduzindo a Premissa 2

30 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1

31 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1 Traduzindo a Conclusão

32 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1

33 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3)?????? 1 Instanciação Existencial

34 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial

35 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4)??? 3 Simplificação

36 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação

37 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5)???? 3 Simplificação

38 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação

39 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6)??? 2 Instanciação Universal

40 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal

41 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal 7)??? 4,6 Modus Ponens

42 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens

43 Exercício Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8)???? 5,7 Conjunção

44 Exercício Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção

45 Exercício 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção 9)??? 8 General. Existencial

46 Exercício 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção 9) x(p(x) ^ ~B(x)) 8 General. Existencial

47 Exercício 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a)P(a) 2 Instanciação Universal Onde queríamos chegar 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção 9) x(p(x) ^ ~B(x)) 8 General. Existencial

48 Perguntas????

49 Exercícios para a mente. Rosen pg 73 Exercício 16

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