Usando as regras de Morgan, de a negação das proposições:

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Prof. Esp. Fabiano Taguchi EXERCÍCIOS Usando as regras de Morgan, de a negação das proposições: a) É falso que não está frio ou que está chovendo b) Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que a mãe e gaúcha c) Não é verdade que Jorge estuda física, mas não química. 1

2 EXERCÍCIOS Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. EXERCÍCIOS Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista, é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 2

3 EXERCÍCIOS Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. EXERCÍCIOS Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) Rodrigo é culpado. b) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. c) Rodrigo mentiu. d) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 3

4 EXERCÍCIOS Se você se esforçar, então irá vencer. Logo: a) Mesmo que se esforce, você não vencerá. b) Seu esforço é condição necessária para vencer. c) Se você não se esforçar, então não irá vencer. d) Você vencerá só se se esforçar. e) Seu esforço é condição suficiente para vencer. IMPLICAÇÃO LÓGICA Sejam duas fórmulas a e b. Dizemos que uma proposição p implica logicamente uma proposição q, se q é verdadeira todas as vezes que p é verdadeira. Dizemos então que p implica q e escrevemos: p => q 4

5 IMPLICAÇÃO LÓGICA Seja p = Lula é prefeito de Garanhuns Seja q = Garanhuns é mais rica que Recife p -> q = Se Lula for prefeito de Garanhuns, então, Garanhuns será mais rica que Recife p -> q é verdadeiro ou falso? IMPLICAÇÃO LÓGICA Se Lula não for prefeito de Garanhuns (p é falso), consideramos p -> q como verdadeiro. p ~p q p -> q V F V V V F F F F V V V F V F V 5

6 PROPRIEDADES MODUS PONENS p ^ (p -> q) => q (Forma clássica) (p -> q) ^ p => q (p => q) p implica em q, ou seja, acontecendoo, q necessariamente ocorrerá. PROPRIEDADES MODUS TOLLENS ~q ^ (p -> q) => ~p (Forma clássica) (p -> q) ^ ~q => ~p (p -> q) p implica em q, ou seja, se q não ocorreu, então também não ocorreu p. 6

7 EXEMPLO p q p ^ q p v q p <-> q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V p ^ q => p v q p ^ q => p <-> q EXEMPLO p <-> q, p -> q, q -> p p q p <-> q p -> q q -> p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V p <-> q => p -> q p <-> q => q -> p 7

8 EXEMPLO (p -> q) ^ p p q p -> q (p -> q) ^ p V V V V V F F F F V V F F F V F p -> q ^ p => q EXEMPLO (p -> q) ^ ~q e ~p p q p -> q ~q (p -> q) ^ ~q ~p V V V F F F V F F V F F F V V F F V F F V V V V p -> q ^ ~q => ~p 8

9 EXERCÍCIO Três pessoas prestam depoimento e o que dizem está registrado abaixo: Bernardo: João é culpado e Saul é inocente. João: Se Bernardo é culpado, Saul também é culpado. Saul Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros é culpado. EXERCÍCIO RESOLUÇÃO João é culpado (p) Saul é culpado (q) Bernardo é culpado (r) Bernardo João é culpado e Saul é inocente p ^ ~q João Se Bernardo é culpado, Saul também é culpado r -> q Saul Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros é culpado. ~q ^ p ~q ^ r ~q ^ (p ^ r) 9

10 Lógica de predicados LÓGICA DE PREDICADOS Segundo a gramática: Predicado é a parte da sentença que fornece informação sobre um determinado sujeito. Segundo a lógica: Pode ser obtido removendo substantivos de uma proposição. 10

11 EXEMPLOS É um estudante na UFMG (p) É um estudante no IFMT (q) p e q são símbolos de predicados x um estudante na y (p) x um estudante na y (q) x e y passam a ser de variáveis de predicados LÓGICA DE PREDICADOS Vejamos os exemplos abaixo: Todos os alunos estudam Existe um aluno que não estuda Se existe um aluno que não estuda, então não é verdade que todos os alunos estudam. 11

12 LÓGICA DE PREDICADOS Para transformar predicados em proposições, devemos: 1. Atribuir valores específicos para as variáveis 2. Usar quantificadores LÓGICA DE PREDICADOS Também conhecida como lógica de primeira ordem FOL, é uma extensão da lógica proposicional, que introduz novos símbolos e proporciona uma melhor representação de ideias. 12

13 CONCEITOS QUANTIFICADORES Todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, etc... Quantificadores podem estar ligados a variáveis. OBJETOS Elementos de um universo sobre o qual se aplicam os quantificadores. CONCEITOS FUNÇÕES E PREDICADOS Operações sobre os objetos. Retornam outros objetos ou valores verdade. Precisamos conhecer o alfabeto da lógica de predicados. 13

14 ALFABETO Símbolos de pontuação, Símbolos de verdade false, true Símbolos para variáveis x, y, z, w, x1,y1, x2,z2 Símbolos para funções f, g, h, f1, g1, f2, g2 Símbolos para predicados p, q, r, s, p1, q1, r1, s1 Conectivos proposicionais, v, ^, ->, <->, Ǝ, ᵾ TERMOS E ÁTOMOS Qual a capital do Brasil? A resposta retorna um objeto, todo objeto é chamado de termo. A capital do Brasil é Brasília? Deve ser retornando um valor-verdade, que por sua vez é chamado de átomo. 14

15 QUANTIFICADORES UNIVERSAL A leitura desse símbolo pode ser feita como: Todo; Para todo; Qualquer que seja Para cada. QUANTIFICADORES (ᵾx) (x + 6 = 10) Para todo x, tal que x mais 6 é igual a 10. Analisando a expressão, a resposta é falsa. Para que a expressão seja verdadeira X precisa ser apenas 4. 15

16 QUANTIFICADORES (ᵾx) (x 0 = 1) Para todo x, tal que x elevado a 0 é igual a 1. Analisando a expressão, a resposta é verdadeira. Toda base diferente de 0, elevado a 0 é 1. QUANTIFICADORES EXISTENCIAL Ǝ A leitura desse símbolo pode ser feita como: Existe; Algum; Existe pelo menos um; Existe um. 16

17 QUANTIFICADORES (Ǝx) (x/2 E N) Existe x, tal que x sobre 2 pertence aos naturais. Analisando a expressão, a resposta é verdade. Um número atribuído a X dividido por 2 estará no grupo dos números naturais. QUANTIFICADORES EXISTENCIAL ÚNICO Ǝ! O quantificador existencial único, se refere a um único elemento de um conjunto. 17

18 QUANTIFICADORES (Ǝ!x) (x + 7 = 9) Existe x único, tal que x + 7 seja igual a 9. Analisando a expressão, a resposta é verdade. Existe um único valor (2) para que X mais 7 seja igual a 9. QUANTIFICADORES (Ǝ!x) (x + 10 < 18) Existe x único, tal que x + 10 seja maior que 18. Analisando a expressão, a resposta é falsa. Existe mais valores que somados a 10 são menores que

19 QUANTIFICADORES (Ǝ!n) (n + 1 = 2) Existe n único, tal que n + 1 seja igual a 2. Analisando a expressão, a resposta é verdade. Existe apenas um valor (1) que somado a 1 tem como resposta o número 2. NEGAÇÃO Para negar expressões fazemos a operação ao contrário: Universal é negado com existencial Existencial é negado com universal. 19

20 EXEMPLO Todo marinheiro gosta de mar. Para realizar a negação: Existe marinheiro que não gosta de mar. Existe pelo menos um marinheiro que não gosta de mar. Algum marinheiro não gosta de mar. EXEMPLO Existe pelo menos um brasileiro que não gosta de futebol. Para realizar a negação: Todos brasileiros gostam de futebol. 20

21 EXERCÍCIOS 01 Qual é a negação de não há quem goste de futebol? 02 Qual é a negação de todas as portas estão abertas? 03 Qual a negação de existem funcionários públicos que não são eficientes? 21