Lógica Proposicional

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1 Slides da disciplina Lógica para Computação, ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. entre 2007 e Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto (adolfo@utfpr.edu.br) Versão original disponível em

2 Linguagem informal x linguagem formal (1.1); Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas; Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso); Conectivos: conjunção (E), disjunção(ou), negação (NÃO), implicação (SE ENTÃO ); Não trata de relações sobre elementos de um conjunto, como todos, algum, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 2

3 A linguagem proposicional (1.2): Alfabeto: Símbolos proposicionais, variáveis proposicionais ou átomos: P = {p 0, p 1, p 2, }; Conectivos: unário: negação: (NÃO); binários: conjunção: (E), disjunção: (OU), implicação: (SE ENTÃO ); Símbolos de pontuação: parênteses ( e ). 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 3

4 A linguagem proposicional (1.2.1): Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf): definidas indutivamente como o menor conjunto L LP com as seguintes regras de formação: Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P L LP ; Caso indutivo 1: Se A L LP então A L LP ; Caso indutivo 2: Se A, B L LP então (A B) L LP, (A B) L LP, e (A B) L LP. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 4

5 Fbf s Exemplos Regras para a omissão de parênteses; Precedência entre os conectivos. Subfórmulas (1.2.2); Tamanho das fórmulas (1.2.3); Expressando idéias (1.2.4); Exercícios: pp (* 1.6) 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 5

6 Semântica (= significado, 1.3): Em lógica proposicional consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem; Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0); Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V: P {0,1}. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 6

7 Para as fórmulas complexas: V ( A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ; V (A B) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1; V (A B) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1; V (A B) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1. Matrizes dos conectivos Exercícios (pg.16). 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 7

8 Satisfazibilidade, Validade, Tabelasverdade (1.4): Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração V de seus átomos tal que V (A ) = 1; Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração V de seus átomos tem-se que V (A ) = 0; Uma fbf A é válida (ou tautologia) sse toda valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 1; Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 0. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 8

9 Resultados (1.4): Toda fbf válida é também satisfazível; Toda fbf insatisfazível é falsificável; Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável: neste caso é dita contingente; Uma fbf não pode ser válida e falsificável; também não pode ser insatisfazível e satisfazível; Se A é válida, A é insatisfazível e reciprocamente; Se A é satisfazível, A é falsificável e reciprocamente. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 9

10 Tabelas-verdade ASA CALC PRO ; ; borowski.com/truth/. Mais na página da disciplina na Wiki do DAINF UTFPR Exercícios (pg. 20). 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 10

11 Conseqüência lógica (1.5): Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A, denotando-se A = B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1; De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf Γ ={ A 1, A 2 A n }, denotando-se por Γ = B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de Γ também satisfaz B. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 11

12 Conseqüência lógica: Exemplo: Modus ponens: p, (p q) = q. Teorema da dedução: Γ, A = B sse Γ = A B. Mais exemplos 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 12

13 Equivalência lógica: Duas fbf A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A B sse A = B e B = A; Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; Definição: A B (A B ) (B A ) Teorema: A B sse A B é tautologia. 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 13

14 Equivalência lógica (1.5.1): Algumas equivalências notáveis: p p (dupla negação); p q p q (definição de em função de e ); (p q ) ( p q ) e (p q ) ( p q ); (Leis de De Morgan) p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade de sobre ); p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade de sobre ). 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 14

15 Equivalência lógica (1.5.2): (Re)definições de conectivos em função de e : p q p q ( p q); p q ( p q ). É possível se definir todos os conectivos em função de um só? 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 15

16 Ver Barras de Sheffer ou conectivos de Sheffer são simbolizados por: # (negação conjunta) e (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela: p q p # q p q /06/09 Prof. Celso A A Kaestner 16

17 Fazendo: p = (p # p), e p q =((p # q) # (q # q)), pode-se definir os conectivos e a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses. Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e podem ser definidos por: p # q = (p q) e p q = (p q): 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 17

18 Exercícios (pg. 27). 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 18

19 Desafios da (1.6) SAT Problemas NP-completos P=NP? (1 milhão de dólares!) Chute vs. solução bem pensada Vários problemas, todos redutíveis uns aos outros 12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 19

20 Referências SILVA, Flávio S. C. da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. V. de. Lógica para Computação. São Paulo: Thomson Learning, Os números em vermelho (por exemplo 1.6) ao lado de um tema indicam onde encontrar (capítulo e seção) neste livro o tema.