Cálculo proposicional

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1 O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais e regras gerais do pensamento correto e verdadeiro, independentemente dos conteúdos pensados; regras para demonstração científica verdadeira; regras para pensamento não científicos; regras sobre o modo de expor o conhecimento; regras para verificação da verdade ou falsidade de um pensamento etc. (Chauí, 2002, apud Souza, 2002) Abordagens introdutórias: Lógica proposicional Lógica de predicados 1

2 Argumento: sequência de afirmações para demonstrar a validade de uma asserção. Forma de um argumento: conceito central da lógica dedutiva. Como saber que a conclusão obtida de um argumento é válida? As afirmações que compõem o argumento são aceitas como válidas, ou podem ser deduzidas de afirmações anteriores. Em lógica, forma de um argumento é diferente de seu conteúdo. Análise lógica não determina a validade do conteúdo de um argumento. Análise lógica determina se a verdade de uma conclusão pode ser obtida da verdade de argumentos propostos. Lógica: Ciência do Raciocínio 2

3 Argumento (definição): - Um argumento é uma sequencia de afirmações; - Todas as afirmações, exceto a última, são chamadas de premissas ou suposições ou hipótese; - A última afirmação é chamada de conclusão. Alguns fatos sobre argumentos do ponto de vista da matemática e da lógica: - Um argumento não é uma disputa; - Um argumento é uma sequencia de comandos que termina numa conclusão; - Um argumento válido significa que a conclusão pode ser obtida necessariamente das afirmações que o precedem; Em geral utiliza-se o símbolo ( - de onde se conclui ), para indicar a conclusão. 3

4 Forma de um Argumento x Seu Conteúdo Se a sintaxe de um programa esta errada ou Se a execução do programa resulta numa divisão por zero, então o computador irá gerar uma mensagem de erro. Computador não gera uma mensagem de erro Sintaxe do programa está correta e Execução do programa não resulta em divisão por zero. 4

5 Formas de um argumento x seu conteúdo Nos exemplos, temos que o conteúdo dos argumentos é diferente. No entanto, a forma lógica é a mesma. Argumentos na forma lógica são normalmente representados por letras minúsculas do alfabeto. Ex.: p, q. r,... Em geral, as definições da lógica formal estão de acordo com a lógica natural ou intuitiva das pessoas de bom senso. O formalismo é introduzido para evitar ambiguidades e garantir consistência. 5

6 Proposições. Em toda teoria matemática, usam-se termos já definidos na concepção de novas definições. Mas como fazer com os termos mais primitivos? - termos primitivos ou iniciais não são definidos. - em lógica, os termos primitivos são: sentenças, verdadeiro, e falso. Definição: Uma afirmação ou proposição é uma sentença que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas. 6

7 Proposições. 7

8 Proposições compostas. Usaremos as letras minúsculas (ex.: p, q, r,...) para representar proposições. Os seguintes símbolos podem ser usados para definir expressões lógicas mais complexas, a partir de expressões mais simples: a) ou ~ ou barra sobre a letra ou linha : representam o não y: lê-se não y outras formas ~y, y e ȳ a) Λ: representa o conectivo e, conjunção de p e q p Λ q: lê-se p e q a) v : representa o conectivo ou, disjunção de p e q p v q: lê-se p ou q Usaremos o termo fórmula (indicado por : α, β,...) para as proposições simples (p, q, r) e compostas (p v q; ~p; p r, [(p v q) q]...). Ao resultado do valor lógico atribuído a cada fórmula, denominaremos interpretação e indicaremos por I. 8

9 Proposições compostas. Tradução da linguagem natural para a algébrica 9

10 Para uma sentença ser uma proposição é necessário ter um valor-verdade bem definido, isto é, V ou F. 10

11 Construa a tabela verdade para a expressão:. O ponto fundamental em assinalar valores-verdade para proposições compostas é permitir o uso da lógica para decidir a verdade de uma proposição usando somente o conhecimento das partes. A lógica não ajuda a determinar a verdade ou falsidade de uma afirmação em si, ou seja, seu conteúdo. 11

12 Equivalência lógica. Definição: duas proposições p e q são equivalentes logicamente se e somente se os valores-verdade obtidos forem idênticos para cada combinação possível das variáveis que formam as proposições. Exemplo: Como verificar se duas proposições são equivalentes logicamente? 12

13 Sejam as afirmações: - p = João é alto. - q = José é ruivo. A proposição (p Λ q) é verdadeira se somente se os componentes forem verdadeiras. Quando a proposição é falsa? - quando um dos componentes ou ambos forem falsos, ou seja, quando: Mostre as seguintes equivalências: Essas equivalências ( ) são conhecidas como Lei de De Morgan, que foi o primeiro a expressá-las em termos matemáticos. 13

14 Apesar das leis da lógica serem extremamente úteis, elas devem ser usadas como uma ajuda ao raciocínio e não como um substituto mecânico a inteligência. Equivalência lógica é muito útil na construção de argumentos. 14

15 Proposição condicional ou implicação. - Se p então q (ou p implica q) é representado simbolicamente por p q, - onde p é chamado de hipótese e q de conclusão. Essa sentença é denominada de condicional. Esse tipo de sentença é usado tanto na linguagem natural quanto em raciocínio matemático para dizer que a verdade da proposição q (conclusão) está condicionada a verdade da proposição p (hipótese). - Ex. se (48 é divisível por 6) =[p], então (48 é divisível por 3) =[q]. - Se João estuda =[p], então sai bem na prova =[q]. 15

16 Proposição condicional. 16

17 Por equivalência mostre: 17

18 Mostre por equivalência lógica, usando tabela verdade, que é possível representar : a) b) c) A proposição contrapositiva de ou Atenção: 18

19 Bicondição de duas proposições p e q p q, lê-se: p se somente se q Definição Chama-se bicondicional uma proposição representada por «p se e somente se q» ou «p q», cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas, verdadeiras ou falsas. A sentença bicondicional entre p e q é expressa por p q, tem a seguinte tabela da verdade: 19

20 Por equivalência mostre que: 20

21 Definição: a) Admitindo que uma fórmula tenha um valor V numa certa interpretação. Nesse caso, diz-se que a formula é verdadeira nessa interpretação. b) Admitindo que uma fórmula seja verdadeira segundo alguma interpretação. Nesse caso, diz-se que a fórmula é satisfatível (ou consistente). c) Admitindo que uma fórmula tenha um valor F numa interpretação. Neste caso, diz-se que a fórmula é falsa segundo essa interpretação. d) Uma fórmula é válida quando é verdadeira em todas as suas interpretações. As fórmulas válidas no cálculo proposicional são denominadas tautologias. 21

22 Definição: e) Uma formula será insatisfatível (ou inconsistente) quando for falsa segundo qualquer interpretação. As fórmulas insatisfatíveis do cálculo proposicional são também chamadas de contradições. Note que uma contradição é a negação de uma tautologia. e) Uma fórmula será inválida quando for falsa segundo alguma interpretação. Conclusões: 1. Uma fórmula é válida sss sua negação for insatisfatível; 2. Uma fórmula é insatisfatível (inconsistente) sss sua negação for válida; 3. Uma fórmula é inválida sss existir pelo menos uma interpretação em que ela é falsa; 4. Uma fórmula é satisfatível (consistente) sss existir pelo menos uma interpretação segundo a qual ela é verdadeira; 5. Se uma fórmula for válida, então é satisfatível; 6. Se uma fórmula for insatisfatível, então é inválida. 22

23 Argumentos válidos e inválidos Ex.: Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal. Escrevendo em termos de variáveis: p = Sócrates é um ser humano; q = Sócrates é mortal Em forma simbólica teríamos: Se p então q; p; q. A forma de um argumento é válida se, somente se: - Para todas as combinações de argumentos que levam as premissas verdadeiras então a conclusão também é verdadeira. A verdade da conclusão é obtida analisando os valores-verdade da forma lógica em si. 23

24 Como analisar a validade dos argumentos? A validade da forma de um argumento pode ser feita seguindo os seguintes passos: 1. Identifique as premissas e conclusão do argumento. 2. Construa a tabela da verdade identificando as colunas das premissas e da conclusão. 3. Identifique as linhas onde todas as premissas são verdadeiras (linhas críticas). 4. Para cada linha crítica verifique se a conclusão do argumento é verdadeira. (a) Se for verdadeira para todas as linhas críticas então a forma do argumento é válida. (b) Se existir pelo menos uma linha crítica com conclusão falsa então a forma do argumento é inválida. 24

25 Ex.: Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade das proposições: Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. (Tautologia) Todas as linhas, exceto as críticas, são irrelevantes para verificar a validade dos argumentos. 25

26 Para o exemplo: Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal. Em lógica: Se p então q; p; q. Tabela verdade das proposições premissas conclusão p q p q p q 1 V V V V V 2 V F F V 3 F V V F 4 F F V F Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. (Tautologia) 26

27 Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade das proposições Para todas as linhas críticas, exceto a 4, a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo as interpretações: I 1, I 7 e I 8 27

28 Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade dos argumentos: Existem duas linhas críticas, em uma delas a conclusão é falsa. Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo a interpretação I 1 28

29 Analise a validade dos argumentos: (p p v q) ~ (p p v q) Tabela verdade das proposições premissas conclusão p q p v q p q v q ~(p q v q) 1 V V V V F 2 V F V V F 3 F V V V F 4 F F V V F Para todas as linhas criticas a conclusão é falsa. Logo o argumento é uma contradição. (Insatisfatível) 29

30 30 Validade de sentenças pode ser verificada de duas maneiras Tabelas-Verdade É uma representação para todos os valores lógicos possíveis para uma proposição simples e a combinação de várias proposições simples. É utilizada para verificar o valor lógico de uma proposição composta, a partir de proposições simples. Regras de inferência capturam padrões de inferências (sintáticos!!!) sempre que algum fato nas premissas casar com o padrão da sentença acima, a regra de inferência conclui o padrão da sentença abaixo. uma regra de inferência preserva a verdade, se a conclusão é verdade, em todos os casos onde as premissas são verdadeiras.

31 Ex.: Mostre que: a) (p q) Λ (p ~q) ~p é uma tautologia. Algumas equivalências lógicas: 31

32 Consequência lógica é o elo entre o que o agente acredita e aquilo que é explicitamente representado e sua base de conhecimento. A tabela verdade é um método semântico que permite verificar consequências lógicas. Este método tem a vantagem de ser conceitualmente simples; mas como o número de linhas da tabela verdade cresce exponencialmente em função do número de proposições na formula, seu uso nem sempre é viável. O raciocínio automatizado vem como uma alternativa mais eficiente para verificação de consequência lógica, isto é, a validação de argumentos. 32

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