LÓGICA EM COMPUTAÇÃO

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1 CEC CENTRO DE ENGENHARIA E COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS LÓGICA EM COMPUTAÇÃO TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIA VERSÃO: MARÇO DE 2017 Professor: Luís Rodrigo Site:

2 Administração de Sistemas de Informação 3 Lógica Computacional Parte II Tautologia Equivalência e Inferência

3 Parte II - Tautologia e Contradição 3 Uma Tautologia é intrinsecamente verdadeira. Independentemente do valor lógico atribuído às letras das proposições, a formula sempre é Verdade. Já uma Contradição é uma formula, ou proposição, que sempre assume o valor Falso, independentemente dos valores das letras proposicionais.

4 Administração de Sistemas de Informação Lógica Computacional Parte II (1) Equivalências Tautológicas

5 1.1) Relação de Implicação 5 Sendo duas proposições p e q Quando a sentença p q é uma tautologia Podemos dizer que há uma relação de implicação entre p e q, ou seja: p q

6 1.1) Relação de Implicação 6 O símbolo indica uma operação ao passo que O símbolo indica uma relação Uma relação não cria uma nova proposição, mas uma operação sim.

7 1.1) Relação de Implicação 7 Todo Teorema é uma implicação na forma: Hipótese Tese Desta forma, ao demonstrarmos a Hipótese, significa dizer que: não há um caso onde a Hipótese seja verdadeira e a Tese não Neste caso, a Verdade da Hipótese é suficiente para garantir a Verdade da Tese.

8 1.2) Relação de Equivalência 8 A proposição p é equivalente à q, quando: elas implicam uma na outra: P Q bem como, a bicondicional é uma tautologia. Neste caso, podemos usar a representação abaixo para denotas que ambas são equivalentes P Q

9 1.2) Relação de Equivalência 9 Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela verdade Duas proposições são equivalentes quando expressam a mesma ideia, diferenciando-se apenas o formato

10 Administração de Sistemas de Informação Lógica Computacional Parte II Exercícios

11 1.3) Exercícios 11 Verifique se as proposições abaixo possuem relação de Equivalência, de Implicação ou não possuem relação entre elas: a) p ^ q p v q b) (p q) ( ( p q ) ^ ( q p )) c) ~(p q) p ^ ~q d) (p q) (~q ~p)

12 1.3) Exercícios 12 Sendo f uma contradição, determine: a) (p ^ ~q f) ( p q)

13 Administração de Sistemas de Informação Lógica Computacional Parte II (2) Propriedades de Equivalência

14 2) Principais propriedades de Equivalência 14 1) Simetria: Se p q

15 2) Principais propriedades de Equivalência 15 1) Simetria: Se p q Então q p

16 2) Principais propriedades de Equivalência 16 2) Transitiva: Se p q e q r

17 2) Principais propriedades de Equivalência 17 2) Transitiva: Se p q e q r Então p r

18 2) Principais propriedades de Equivalência 18 3) Comutatividade: n p ^ q??? n p v q???

19 2) Principais propriedades de Equivalência 19 3) Comutatividade: n p ^ q q ^ p n p v q q v p

20 2) Principais propriedades de Equivalência 20 4) Associatividade: n (p ^ q) ^ r??? n (p v q) v r???

21 2) Principais propriedades de Equivalência 21 4) Associatividade: n (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) n (p v q) v r q v (p v r)

22 2) Principais propriedades de Equivalência 22 5) Distributividade n p (q r)??? n p (q r)???

23 2) Principais propriedades de Equivalência 23 5) Distributividade n p (q r) (p q) (p r) n p (q r) (p q) (p r)

24 2) Principais propriedades de Equivalência 24 6) Elemento Neutro n p? p n p? p

25 2) Principais propriedades de Equivalência 25 6) Elemento Neutro n p F p n p V p

26 2) Principais propriedades de Equivalência 26 7) Complemento n p ~p??? n p ~p???

27 2) Principais propriedades de Equivalência 27 7) Complemento n p ~p F n p ~p V

28 2) Principais propriedades de Equivalência 28 8) Indepotência n p p??? n p p??? Em matemática e ciência da computação, a idempotência é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser aplicadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação inicial. - Idempotência Wikipédia, a enciclopédia livre

29 2) Principais propriedades de Equivalência 29 8) Indepotência n p p p n p p p Logo:

30 2) Principais propriedades de Equivalência 30 8) Indepotência n p p p n p p p Logo: n p p p p

31 2) Principais propriedades de Equivalência 31 9) Dupla negação n ~(~p)???

32 2) Principais propriedades de Equivalência 32 9) Dupla negação n ~(~p) p

33 2) Principais propriedades de Equivalência 33 10) Equivalência da Implicação n (p q)???

34 2) Principais propriedades de Equivalência 34 10) Equivalência da Implicação n (p q) (~p q) Prove construindo a Tabela Verdade

35 2) Principais propriedades de Equivalência 35 11) Contraposição Se João estudar, será aprovado é equivalente à Se João não estudar, não será aprovado

36 2) Principais propriedades de Equivalência 36 11) Contraposição Se João estudar, será aprovado é equivalente à Se João não estudar, não será aprovado n (p q) (~p ~q) Prove construindo a Tabela Verdade

37 2) Principais propriedades de Equivalência 37 12a) Lei da Bicondicional n (p q)???

38 2) Principais propriedades de Equivalência 38 12a) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (q p)

39 2) Principais propriedades de Equivalência 39 12a) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (q p) Prove construindo a Tabela Verdade

40 2) Principais propriedades de Equivalência 40 12a) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (q p) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero

41 2) Principais propriedades de Equivalência 41 12a) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (q p) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero Equivale á: (p q) (q p) Se um número terminar por zero, então é múltiplo de 10, e se for múltiplo de 10, então ele termina por zero

42 2) Principais propriedades de Equivalência 42 12b) Lei da Bicondicional n (p q)???

43 2) Principais propriedades de Equivalência 43 12b) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (~q ~p)

44 2) Principais propriedades de Equivalência 44 12b) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (~q ~p) Prove construindo a Tabela Verdade

45 2) Principais propriedades de Equivalência 45 12b) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (~q ~p) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero

46 2) Principais propriedades de Equivalência 46 12b) Lei da Bicondicional n (p q) (p q) (~q ~p) Exemplo: (p q) Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero Equivale á: Ou o número é múltiplo de 10 e terminado em zero, ou, não é múltiplo de 10 e não termina em zero

47 2) Principais propriedades de Equivalência 47 13) Prova Condicional n p (q r) (p q) r Prove construindo a Tabela Verdade

48 2) Principais propriedades de Equivalência 48 14) Lei de De Morgan 1 n ~(p q) ~p ~q n ~(p q) ~p ~q Prove construindo a Tabela Verdade 1 Augustus De Morgam, matemático Inglês do séc XIX; foi o primeiro à enunciar estas leis

49 2) Principais propriedades de Equivalência 49 14) Lei de De Morgan 1 n ~(p q) ~p ~q* n ~(p q) ~p ~q é falso que João foi ao cinema e ao teatro equivale à ou João não foi ao cinema ou João não foi ao teatro 1 Augustus De Morgam, matemático Inglês do séc XIX; foi o primeiro à enunciar estas leis

50 2) Principais propriedades de Equivalência 50 15) Condicional n p q ~p q Prove construindo a Tabela Verdade

51 2) Principais propriedades de Equivalência 51 15) Condicional n p q ~p q Se continuar chovendo, o rio vai transbordar equivale à ou para de chover ou o rio vai transbordar

52 2) Principais propriedades de Equivalência 52 16) Lei da Absorção n p p q p q Prove construindo a Tabela Verdade

53 2) Principais propriedades de Equivalência 53 17) Lei de Clavius n ~p p p Prove construindo a Tabela Verdade

54 2) Principais propriedades de Equivalência 54 18) Lei do Dilema n (p q) (~p q) q Prove construindo a Tabela Verdade

55 2) Principais propriedades de Equivalência 55 18) Lei do Dilema n (p q) (~p q) q Se eu for aprovado então vou viajar, e, senão for aprovado também vou viajar equivale à vou viajar

56 2) Principais propriedades de Equivalência 56 19) Lei da Refutação por absurdo n (p q) (p ~q) ~p Prove construindo a Tabela Verdade

57 2) Principais propriedades de Equivalência 57 20) Lei da Demonstração por absurdo (onde F é uma contradição) n (p ~q) F p q Prove construindo a Tabela Verdade

58 2) Principais propriedades de Equivalência 58 22) Negação da Condicional n ~(p q) p ~q Prove construindo a Tabela Verdade

59 2) Principais propriedades de Equivalência 59 23) Negação da bicondicional n ~(p q) (p ~q) (~p q) Prove construindo a Tabela Verdade

60 2) Principais propriedades de Equivalência 60 24) Contradição Tautológica n p T p n p T T n p (~p) T n p (~p) F n p F F n p F p n ~T F n ~F T

61 Administração de Sistemas de Informação (2.1) Lógica Computacional Parte II Reescrevendo as proposições

62 2.1) Reescrevendo as proposições 62 Com o conceito de equivalência torna-se possível a construção de qualquer expressão condicional com apenas o uso da negação (~), da disjunção ( ) e/ou da conjunção ( ).

63 2.1) Reescrevendo as proposições 63 a) Eliminando a Bicondicional n(p q) b) Eliminando a Condicional n(p q)

64 2.1) Reescrevendo as proposições 64 a) Eliminando a Bicondicional n(p q) (p q) (~p ~q) *15 b) Eliminando a Condicional n(p q)

65 2.1) Reescrevendo as proposições 65 a) Eliminando a Bicondicional n(p q) (p q) (~p ~q) *15 b) Eliminando a Condicional n(p q) ~p q *10

66 2.1) Reescrevendo as proposições 66 c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunção n(p q) d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunção n(p q)

67 2.1) Reescrevendo as proposições 67 c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunção n(p q) ~(~p ~q) *13b d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunção n(p q)

68 2.1) Reescrevendo as proposições 68 c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunção n(p q) ~(~p ~q) *13b d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunção n(p q) ~(~p ~q) *13a

69 Administração de Sistemas de Informação (2.2) Lógica Computacional Parte II Exercícios

70 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 70 Escreva a proposição abaixo em termos da negação e disjunção (p q) ~p

71 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 71 a) Removendo a condicional ( ) (p q) ~p Original

72 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 72 a) Removendo a condicional ( ) (p q) ~p Original ~ (p q) ~p (1)

73 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 73 b) Removendo a Bicondicional ( ) ~ (p q) ~p (1) ~[(p q) (~p ~q)] ~p (2)

74 2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições 74 c) Removendo a Conjunçao ( ) ~[(p q) (~p ~q)] ~p (2) ~[~(~p ~q) ~(p q)] ~p (3)

75 Administração de Sistemas de Informação (3) Lógica Computacional Parte II Inferência Lógica

76 3) Inferência Lógica 76 É uma tautologia com a seguinte forma: p q Onde: p é chamado de antecedente e q de consequente. Sendo representada na seguinte forma: p q

77 3) Inferência Lógica 77 As regras de inferência são formas válidas de raciocínio que nos permitem concluir o consequente baseado na verdade do antecedente. Elas podem ser caracterizadas pelo uso dos termos: n logo n portanto n em consequência n E sinónimos destes

78 3) Inferência Lógica 78 As regras de inferência podem ser provadas construindo-se suas tabelas verdade; Se o resultado da coluna da condicional for uma Tautologia, logo, teremos uma inferência.

79 3.1) Regra se Inferência 79 1) Transitiva Se: (p q) e (q r) Então:???

80 3.1) Regra se Inferência 80 1) Transitiva Se: (p q) e (q r) Então: p r

81 3.1) Regra se Inferência 81 2) Modus Ponens (MP)* (p q) p q * A maneira que afirma o afirmativo - Latin

82 3.1) Regra se Inferência 82 3) Regra da Adição p p q vou ao cinema, logo, vou ao cinema ou ao teatro

83 3.1) Regra se Inferência 83 4) Regras da Simplificação p q p fui ao cinema e ao teatro, logo fui ao cinema

84 3.1) Regra se Inferência 84 5) Regra da Simplificação Disjunta: (p q) (p ~q) p Ou estudo ou trabalho; ou estudo ou não trabalho; logo, estudo

85 3.1) Regra se Inferência 85 6) Regra da Absorção: (p q) p (p q) Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro

86 3.1) Regra se Inferência 86 7) Regra do * Silogismo Hipotético (ou condicional): (p q) (q r) p r Se trabalho, ganho direito, e se ganho dinheiro, vou viajar; logo se trabalho vou viajar * É o raciocínio lógico estruturado formalmente a partir de duas proposições/premissas, das quais se obtém por inferência uma terceira (conclusão)

87 3.1) Regra se Inferência 87 8) Regra do Silogismo Disjuntivo (ou Alternativo): (p q) ~p q Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo estudo

88 3.1) Regra se Inferência 88 9) Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade): ~(p q) q ~p É falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho; logo não estudo

89 3.1) Regra se Inferência 89 10) Dilema construtivo (p q) (r s) (p r) q s Se eu vou a festa, fico cansado; se eu vejo televisão, durmo; ou vou a festa ou fico vendo televisão; logo ou fico cansado ou durmo

90 3.1) Regra se Inferência 90 11) Dilema Destrutivo (p q) (r s) (~q ~s) ~p ~r Se vou a festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou não fico cansado ou não vou dormir; logo, ou não vou à festa ou não vejo televisão

91 3.1) Regra se Inferência 91 12) Regra da Inconsistência *1 (p ~p) p O avião está voando; o avião não está voando; logo, eu sou o Rei da Inglaterra *1- De uma contradição se conclui qualquer proposição

92 3.1) Regra se Inferência 92 13) Modus Ponens (p q) p q Se ganhar na loteria, fico rico; ganhei na loteria; logo fiquei rico

93 3.1) Regra se Inferência 93 14) Modus Tollens (p q) ~q ~p Se ganhar na loteria, fico rico; não fiquei rico; logo, não ganhei na loteria

94 3.1) Regra se Inferência 94 15) Regra da Atenuação p q p q r Se eu ganhar na loteria fico rico; logo se eu ganhar na loteria fico rico ou vou viajar

95 3.1) Regra se Inferência 95 16) Regra de Retorsão ~p q p Se eu não trabalhar, trabalho; logo trabalho

96 Administração de Sistemas de Informação (3.1) Lógica Computacional Parte II Inferência Lógica Exercícios

97 97 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso, qual a lei de equivalência está sendo usada. 1. ~(~(P Q)) P Q. 2. (P Q) ~R ~R (P Q) 3. [P (Q R)] [P (Q R)] [P (Q R)] 4. ~(~(~P)) ~P 5. P (Q R) (Q R) P. 6. ~P (Q S) ~(Q S) P.

98 98 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso, qual a lei de equivalência está sendo usada. 7. (P ~Q) (~R S) [(P ~Q) ~R] S. 8. ~P Q ~(P ~Q). 9. [P (Q R) (P ~P)] P (Q R). 10. (P R) (R Q) R (P Q). 11. (P Q) ~R ~(P Q R). 12. P Q ~(~P ~Q).

99 99 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso, qual a lei de equivalência está sendo usada. 13. [(P R) S] ~Q Q ~(P R) S. 14. (P ~Q) (P Q) (P ~P). 15. (~P ~Q) (Q ~Q) P P. 16. ~(~P (Q R)) ~((~P Q) (~P R)). 17. ~(P Q) R ~(~R (P Q)). 18. (P Q) (~Q ~P) ((P Q) ~Q) ~P.

100 100 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso, qual a lei de equivalência está sendo usada. 19. (Q ~R) (R ~R) Q ~R. 20. ~P (Q R) P (Q R).

101 101 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada 1. ~P Q ~P. 2. (P ~Q) Q P. 3. (P ~Q) P ~Q. 4. (~P Q) (Q ~R) (~P ~R). 5. ~P Q ~P. 6. (P (P Q)) P (P Q).

102 102 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada 7. (P ~Q) (Q ~R) (P Q) (~Q ~R). 8. (~P Q) ~Q P. 9. (~P Q) ~Q ~Q. 10. (~P Q) ~P Q. 11. ((P Q) R) ~R (P Q). 12. P ~P R S ~Q.

103 103 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada 13. ((P Q) (P R)) (S R) (~R ~(P R)) (~S ~(P Q)). 14. ((P Q) (R S)) ((R S) ~P) (P Q) ~P. 15. (P Q) (Q R) (Q R). 16. P P ~P. 17. ((R S) R) (R S) R.

104 104 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada 18. (P (P Q)) ~(P Q) ~P. 19. (P Q) (R S) P Q R S. 20. ((P Q) R) ~S R ~R. 21. ((P Q) R) (R (Q P)) (P Q) (Q P). 22. (~(P Q) (Q R) ~(Q P)) (P Q).

105 105 Inferência/Equivalência Lógica - Exercícios Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada 23. ((P Q) R) ~(P Q) R. 24. (~P ~Q) ~P ~Q. 25. (P Q) R (P Q).

106 CEC CENTRO DE ENGENHARIA E COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS LÓGICA EM COMPUTAÇÃO TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIA VERSÃO: MARÇO DE 2017 Professor: Luís Rodrigo Site:

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