Lógica Proposicional Parte 2

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1 Lógica Proposicional Parte 2 Como vimos na aula passada, podemos usar os operadores lógicos para combinar afirmações criando, assim, novas afirmações. Com o que vimos, já podemos combinar afirmações conhecidas e interpretar o seu resultado em linguagem natural. Exemplo 1: Seja p a proposição Maria aprende matemática discreta e seja q a proposição Maria sabe escrever bem Nesse caso, o que a proposição p q afirma? o Se Maria aprender matemática discreta, então ela vai conseguir escrever bem E o que a proposição q p representa? o Maria sabe escrever bem se e somente se ela aprendeu matemática discreta E o que a proposição q p representa? o Tente você mesmo... Agora, vamos falar um pouco do inverso: como partir de afirmações em linguagem natural e obter uma fórmula composta a partir de proposições mais simples. Frases afirmativas escritas de maneira clara em linguagem natural (em português) podem ser traduzidas para fórmulas da lógica proposicional. Para fazer essa tradução, precisamos: 1. Analisar a frase e encontrar as afirmações básicas que a formam 2. Usar uma variável proposicional distinta para cada afirmação básica 3. Representar a frase original como uma proposição composta usando os operadores lógicos e as afirmações básicas 1

2 Exemplo 2: Você pode acessar a internet aqui se você for um hacker ou se não for novato. As afirmações básicas que formam essa frase são: o Você pode acessar a internet aqui usaremos a variável a o Você é um hacker usaremos a variável h o Você é novato usaremos a variável n A frase dada é uma afirmação se-então, porém com as duas partes aparecendo invertidas na frase. Logo, usaremos uma implicação. Além disso, a regra tem duas condições, das quais basta que uma seja satisfeita. Por isso, a condição será representada como uma disjunção ( ou ). Assim, a frase anterior pode ser representada pela proposição: (h ( n)) a Outras vezes, temos as frases dadas separadamente, sendo cada uma representada por uma variável, e queremos combiná-las com os operadores lógicos. Nesse caso, basta escrever a nova frase refletindo o significado dos operadores. Veja o exemplo a seguir. Observações: 1. Nas traduções de proposições para a língua portuguesa, muitas vezes precisamos olhar de maneira mais flexível para os tempos verbais. Isso porque as proposições lógicas não expressam o sentido de ordem temporal. Uma dica é pensar como se todas as afirmações estivessem no tempo presente. 2. Outro cuidado que você precisa ter é que a linguagem natural é muito ambígua. Assim, em alguns casos, uma mesma frase em português pode ser interpretada de várias maneiras na lógica. Por exemplo, é comum usarmos se-então, ou e 2

3 e com significados distintos dos que a lógica proposicional assume. Também usamos outras palavras com o sentido dos operadores lógicos vistos. 3. No entanto, em textos matemáticos como este, os conectivos ou, e e seentão têm precisamente o significado dos operadores lógicos vistos aqui. Portanto, ao ler este material, interprete-o logicamente. Um objetivo do nosso estudo de lógica proposicional é entender argumentos envolvendo várias proposições, tal como esse: Amanhã com certeza vai nevar ou chover. Mas amanhã vai estar quente demais para nevar. Logo, amanhã vai chover. A conclusão acima parece correta, diante das afirmações inicias, não parece? Mas como podemos explicar a validade desse argumento? Como as afirmações se interligam para permitir essa conclusão? Vejamos uma análise informal: Veja que, a afirmação inicial tem duas sub-afirmações : o amanhã vai nevar vamos representar por p o amanhã vai chover vamos representar por q A afirmação completa tem um ou para dar a idéia de que alguma das duas sub-afirmações é verdadeira o que representamos por p q Mas a segunda afirmação, no fundo, nega que vai nevar logo, temos p Assim, com base no que foi dado, vemos que só resta uma das opções dadas: amanhã vai chover que é a proposição q Isso nos dá uma regra de raciocínio ou uma regra de argumentação que é mais geral (ou seja, vale em outras situações). Essa regra pode ser explicada assim: 3

4 Se soubermos que essas duas afirmações são verdadeiras: o p q o p Então, podemos concluir essa nova informação (que não tinha sido dada explicitamente): o q Este tipo de regra é chamado na lógica matemática de regra de inferência. Na seção a seguir, vamos ver como provar que uma regra como esta é válida e vamos ver uma lista de regras mais usadas. Depois, na segunda seção, veremos as leis de equivalência lógica, que são mais fortes do que as regras de inferência. 1. Regras de Inferência Lógica Informalmente, uma regra de inferência é uma regra de raciocínio ou uma regra de argumentação genérica, aplicável em qualquer situação. Na lógica proposicional, uma regra de inferência costuma ser representada assim (onde P 1, P 2,..., P n, e Q podem ser fórmulas): P P P n Q premissas da regra conclusão da regra As premissas são as proposições que você assume que são verdadeiras de antemão (porque tem certeza delas, provavelmente). 4

5 A conclusão é uma proposição que é conseqüência das premissas ela deve ser verdadeira sempre que as premissas forem todas verdadeiras. (Geralmente, estamos interessados em conclusões novas, não conhecidas antes). O símbolo pode ser lido como portanto ou logo Exemplo 1: Regra Silogismo Disjuntivo: Esta é a regra que demos no exemplo informal na introdução desta nota de aula. Exemplo 2: Regra Modus Ponens: Podemos usá-la assim: se soubermos que (p q) é verdade e que p é verdade, podemos concluir que q também é verdade Veremos, agora, como usar as regras de inferência para descobrir (inferir) novas informações. Primeiro, vamos ver como usá-las para justificar a validade lógica de alguns argumentos informais textuais. Exemplo 3: Justificativa lógica para o argumento informal abaixo: Se você é aluno da UFRPE, você pode se cadastrar na biblioteca. Você é aluno da UFRPE. Logo, concluímos que você pode se cadastrar na biblioteca! Para representar o raciocínio acima formalmente, vamos usar as seguintes variáveis proposicionais: o a : Você é aluno o b : Você pode se cadastrar na biblioteca 5

6 Assim, as duas informações iniciais dadas no exemplo informal correspondem às seguintes premissas: o a b o a Usando a regra Modus Ponens (trocando p por a e q por b), concluímos: o b Veja que esta proposição corresponde justamente à conclusão do argumento informal (textual) inicial. Por isso, o argumento informal original está correto. Você também pode usar uma regra de inferência substituindo (mentalmente) as variáveis da regra (p e q, por exemplo) por fórmulas quaisquer. Veja o exemplo dado a seguir. Exemplo 4: Uso da regra de inferência trocando as variáveis por fórmulas. Considere estas premissas: c (a b) c Vamos usar a regra Silogismo Disjuntivo para inferir uma nova fórmula proposicional. Para isso considere que o p da regra é substituído por c e que o q da regra é substituído por (a b). Assim, concluímos a fórmula: a b Veremos agora como provar que uma regra de inferência é válida. (Na explicação abaixo, considere o esquema genérico de regra de inferência dado no início da seção). 6

7 1. Construa uma só tabela-verdade para as duas fórmulas abaixo: a. A conjunção das premissas: P 1 P 2... P n b. E a conclusão: Q 2. Selecione somente as linhas em que a conjunção das premissas é verdade 3. Confira se Q também é verdadeira em todas as linhas selecionadas Exemplo 5: Provar a regra Modus Ponens Conjunção das premissas: (p q) p Conclusão: q Tabela-verdade: p q p q (p q) p q o Veja que (p q) q (a conjunção das premissas) é verdadeira apenas na última linha. o Nesta linha, temos q (a conclusão) com valor verdadeiro também. o Portanto, a regra é comprovadamente correta. As oito regras de inferência mais importantes foram listadas em um arquivo à parte, disponível no site da disciplina. Consulte! 7

8 2. Leis de Equivalência Lógica Nas regras de inferência, as premissas nos levam a descobrir a conclusão, mas não podemos inverter esse processo não necessariamente podemos partir da conclusão para obter as premissas. Por outro lado, nas leis de equivalência lógica, isso é sempre possível. Se P for logicamente equivalente a Q, então podemos partir de P para concluir Q ou vice-versa. Dizemos que P e Q são logicamente equivalentes se e somente se P e Q tiverem o mesmo valor-verdade em todas as situações possíveis (para quaisquer valores das variáveis dessas duas fórmulas). Representamos essa relação de equivalência lógica assim: P Q Como provar que P e Q são equivalentes? 1. Construa uma só tabela-verdade para P e Q 2. Confira se as colunas de P e Q são idênticas Exemplo: Provar a equivalência (p q) (( p) q) p q p p q ( p) q Veja que as colunas de (p q) e de (( p) q) são idênticas. Isso prova que essas duas fórmulas são equivalentes. 8

9 As equivalências lógicas mais importantes foram listadas em um arquivo à parte, disponível no site da disciplina. Consulte! Desafio: O que as regras de inferência e as leis de equivalência têm a ver com a implicação e a bi-implicação entre as fórmulas? Toda alma esteja sujeita às autoridades superiores; porque não há autoridade que não venha de Deus; e as autoridades que há foram ordenadas por Deus. (Romanos cap. 13, verso 1) 9

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