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1 de fevereiro de 2002 Análise de Sensibilidade apresentado como Perguntas Freqüentes Pontos ilustrados em um exemplo contínuo de fabricação de garrafas. Se o tempo permitir, também consideraremos o exemplo financeiro da Aula 2. 1

2 Exemplo do vidro = nº de caixas de garrafas de suco de 170 ml (em centenas) x 2 = nº de caixas de garrafas de 3 litros (em centenas) x 3 = nº de caixas de garrafas de champanhe (em centenas) máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = 60 (cap. do prod. em hrs) x x 3 =150 (cap. do armaz. em pés 2 ) = 8 (dem. da garrafa de 170ml) =0, x 2 =0, x 3 =0 2

3 Pergunta freqüente. Você poderia por favor me lembrar o que é mesmo um preço-sombra? Vamos assumir que estamos maximizando. O preço-sombra é o aumento no valor objetivo ótimo por aumento de unidade em um coeficiente do RHS, todos os outros dados permanecem iguais. O preço-sombra é válido em um intervalo. 3

4 Pergunta freqüente. Claro, eu sabia disso. Mas você poderia dar um exemplo. Sem dúvida. Vamos nos lembrar do exemplo da garrafa dado no livro. Vamos olhar para a função objetiva se alterarmos o tempo de produção de 60 e mantivermos todos os outros valores iguais. Horas de produção Valor objetivo ótimo 51 3/7 52 3/14 53 diferença 11/14 11/14 O preçosombra é 11/ /14 11/14 4

5 Mais alterações do RHS Horas de produção Valor objetivo ótimo 54 4/7 55 5/ / /22 diferença 11/14 11/14 * 15/22 O preçosombra é 11/14 até a produção ser = 65,5 5

6 Pergunta freqüente. Qual é a intuição para preço-sombra permanecer constante e, depois, mudar? Lembre-se que o método simplex produz uma "solução básica viável". A base pode muitas vezes ser descrita facilmente em termos de uma breve descrição verbal. Exemplo da Garrafa 6

7 Descrição verbal da base ótima para o problema da garrafa: 1. Produz apenas garrafas de suco e garrafas de coquetel 2. Utiliza completamente a capacidade de produção e armazenamento z = 5 + 4,5 x 2 = 6 3/ x 2 = 60 x 2 = 4 2/ x 2 = 150 z = 51 3/7 7

8 Descrição verbal da base ótima para o problema da garrafa: 1. Produz apenas garrafas de suco e garrafas de coquetel 2. Utiliza completamente a capacidade de produção e armazenamento Para? = 5,5, = 8, e a restrição <= 8 está agrupando. z = 5 + 4,5 x x 2 = x 2 = 150 8

9 Pergunta freqüente. Como os preços-sombra podem ser usados para interpretações gerenciais? Deixe-me ilustrar com o exemplo anterior. Quanto você estaria disposto a pagar por uma hora extra de produção? Exemplo da Garrafa 9

10 Pergunta freqüente. O preço-sombra sempre tem uma interpretação econômica? A resposta é não, a menos que se queira realmente estender o significado de interpretação econômica. Considere as restrições de proporção 10

11 Desenvolvimento do Apartamento = número de apartamentos de 1 quarto construídos x 2 = número de apartamentos de 2 quartos construídos x 3 = número de apartamentos de 3 quartos construídos /( + x 2 + x 3 ) = 0,5 = 0,5 + 0,5x 2 + 0,5x 3 0,5 5.x 2-0,5x 3 = 0 O preço-sombra é o impacto do aumento do 0 para um 1. Isso não possui uma interpretação gerencial óbvia. 11

12 Pergunta freqüente. No momento, sou novo nisto. Mas à medida que eu ganhar experiência, as interpretações dos preços-sombra sempre serão óbvias? Não. Mas elas deve ficar diretas para os exemplos dados no

13 Pergunta freqüente. No livro, eles às vezes usam preço duplo e nós usamos preço-sombra. Há alguma diferença? Não. 13

14 Pergunta freqüente. O Excel produz um relatório conhecido como relatório de Sensibilidade. Isso fornece os preços-sombra? Sim, e muito mais. Particularmente, ele dá a faixa para a qual o preço-sombra é válido. Exemplo da Garrafa 14

15 Pergunta freqüente. Ouvi dizer que o Excel pode ocasionalmente dar preços-sombra incorretos. É verdade? Há a possibilidade de que o intervalo no qual o preço-sombra é válido esteja vazio. O Excel também pode dar preços-sombra incorretos sob determinadas circunstâncias que não ocorrerão em planilhas para o

16 Pergunta freqüente. Você me disse que o Excel às vezes comete erros. Além disso, eu posso fazer uma análise de sensibilidade ao solucionar uma PL muitas vezes, com vários dados. Assim, o que há de bom no Relatório de Sensibilidade? Para grandes problemas é muito mais eficiente, e para os modelos de PL usados em prática, terá precisão. Para grandes problemas, ele pode ser usado para identificar oportunidades. Ele pode identificar quais coeficientes são mais sensíveis a mudanças no valor (a precisão é o mais importante). 16

17 Pergunta freqüente. Você poderia resumir o que aprendemos até agora? Claro! Aqui está: O preço-sombra é a alteração da unidade no valor objetivo ótimo por alteração de unidade no RHS. Os preços-sombra normalmente, mas não sempre, possuem interpretações econômicas que são úteis para a gerência. Os preços-sombra são válidos em um intervalo, que é fornecido pelo Relatório de Sensibilidade do Excel. O Excel fornece os preços-sombra corretos para nossas PLs, mas pode ser incorreto em outras situações 17

18 Visão geral do que está por vir Uso do insight das situações gerenciais para obter as propriedades dos preços-sombra custos reduzidos e pricing out (estabelecimento de preços) 18

19 Ilustração com o exemplo da garrafa: máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = 60 (cap. prod. em hrs) x x 3 =150 (cap. do armaz. em pés 2 ) = 8 (dem. da garrafa de 170ml) =0, x 2 =0, x 3 =0 O preço-sombra é o aumento no valor ótimo por aumento de unidade no RHS. Se um aumento no coeficiente de RHS levar a um aumento no valor objetivo ótimo, então o preço-sombra será positivo. Se um aumento no coeficiente de RHS levar a uma diminuição no valor objetivo ótimo, então o preço-sombra será negativo. 19

20 Ilustração com o exemplo da garrafa: máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = 60 (cap. prod. em hrs) x x 3 =150 (cap. do armaz. em pés 2 ) = 8 (dem. da garrafa de 170ml) =0, x 2 =0, x 3 =0 Afirmação: o preço-sombra da restrição de capacidade de produção não pode ser negativo. Razão: qualquer solução viável para este problema permanece viável depois do aumento da capacidade de produção. Assim, o aumento na capacidade de produção não pode fazer com que o valor objetivo ótimo diminua. 20

21 Ilustração com o exemplo da garrafa: máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = 60 (cap. prod. em hrs) x x 3 =150 (cap. do armaz. em pés 2 ) = 8 (dem. da garrafa de 170ml) =0, x 2 =0, x 3 =0 Afirmação: o preço-sombra da restrição = 0 não pode ser positivo. Razão: Faça x* ser a solução se substituirmos a restrição = 0 pela restrição = 1. Então, x* é viável para o problema original e assim o problema original possui um valor objetivo pelo menos tão alto. 21

22 Sinais de preços-sombra para problemas de maximização = restrição. O preço-sombra é não-negativo. = restrição. O preço-sombra é não-positivo. = restrição. O preço-sombra pode ser zero, ou positivo, ou negativo. 22

23 Sinais de preços-sombra para problemas de minimização O preço-sombra para um problema de minimização é o "aumento" na função objetiva por aumento de unidade no RHS. = restrição. O preço-sombra é? = restrição. O preço-sombra é? = restrição. O preço-sombra pode ser zero, ou positivo, ou negativo. Responda com seu colega. 23

24 O preço-sombra de uma restrição nãoagrupada é 0. Isso é conhecido como Transigência Complementar. máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = 60 (cap. prod. em hrs) x x 3 =150 (cap. do armaz. em pés 2 ) = 8 (dem. da garrafa de 170ml) =0, x 2 =0, x 3 =0 Na solução ótima, = 6 3/7. Afirmação: O preço-sombra para a restrição =8 é zero. Razão Intuitiva: Se sua solução ótima tiver < 8, não se consegue obter uma solução melhor ao permitir > 8. 24

25 Pergunta freqüente. O preço-sombra é válido se apenas um lado direito alterar. E se vários coeficientes do lado direito forem alterados? Os preços-sombra são válidos se vários coeficientes RHS forem alterados, mas as variações não são mais válidas. Exemplo da Garrafa 25

26 Pergunta freqüente. As restrições de nãonegatividade também têm preços-sombra? Sim. Elas são muito especiais e se chamam custos reduzidos. Veja os custos reduzidos para Garrafas de suco custo reduzido = 0 Garrafas de coquetel custo reduzido = 0 Garrafas de champanhe custo reduzido = -4/7 26

27 Pergunta freqüente. O Excel dá informações sobre os custos reduzidos? Sim. Elas também fazem parte do relatório de sensibilidade. Exemplo da Garrafa 27

28 Pergunta freqüente. Qual é a interpretação gerencial de um custo reduzido? Há duas interpretações. Aqui está uma delas. Atualmente, não estamos produzindo garrafas de champanhe. Em quanto o lucro das garrafas de champanhe teria que aumentar para nós produzirmos garrafas de champanhe em uma solução ótima? O custo reduzido para as garrafas de champanhe é 4/7. Se aumentarmos a renda para essas garrafas em 4/7 (de 6 para 6 4/7), então haverá um ótimo alternativo no qual as garrafas de champanhe são produzidas. 28

29 Pergunta freqüente. Por que eles são chamados de custos reduzidos? Parece que nada foi "reduzido"... Essa é uma questão muito perspicaz. Os custos reduzidos podem ser obtidos ao tratar os preçossombra como custos reais. Essa operação é chamada de pricing out. 29

30 Pricing Out máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = x x 3 =150 = 8 =0, x 2 =0, x 3 =0 preço-sombra 11/14 1/35.0 O Pricing out trata os preços-sombra como se fossem preços reais. O resultado são os custos reduzidos. 30

31 Pricing Out de máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = x x 3 =150 = 8 =0, x 2 =0, x 3 =0 preço-sombra 11/14 1/35.0 Custo reduzido de = 5-6 1/14-10 /35-1 x 0 = 5 33/7 2/7 = 0 31

32 Pricing Out de x 2 máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = x x 3 =150 = 8 =0, x 2 =0, x 3 =0 preço-sombra 11/14 1/35.0 Custo reduzido de x 2 = 4,5-5 1/14-20 /35-0 x 0 = /14 4/7 = 0 32

33 Pricing Out de x 3 máx x x 3 ($100s) de forma que x x 3 = x x 3 =150 = 8 =0, x 2 =0, x 3 =0 preço-sombra 11/14 1/35.0 Custo reduzido de x 3 = 6-8 1/14-10 /35-0 x 0 = 6 44/7 2/7 = -4/7 33

34 Pergunta freqüente. Podemos usar o pricing out para descobrir se um novo tipo de garrafa deve ser produzido? preço-sombra máx x x 4 ($100s) de forma que x x 4 = x x 4 =150 = 8 =0, x 2 =0, x 4 =0 11/14 1/35.0 Custo reduzido de x 4 = 7-8 1/14-20 /35-0 x 0 = 7 44/7 4/7 = 1/7 34

35 Pricing Out de xj máx x 2 + c j x j ($100s) de forma que x 2 + a 1j x j = x 2 + a 2j x j = a mj x j = b m =0, x 2 =0, x 3 =0 preço-sombra y 1 y 2 y m Custo reduzido de x j =? Complete com a ajuda de seu colega. 35

36 Breve Resumo dos Custos Reduzidos O custo reduzido de uma variável não-básica x j é o aumento no valor objetivo de requerer que x j >= 1. O Custo reduzido de uma variável básica é 0. O Custo reduzido pode ser computado ao tratar os preços-sombra como preços reais. Essa operação é conhecida como pricing out. O pricing out pode determinar se uma nova variável é de valor (e deveria entrar na base). 36

37 Você poderia por favor resumir o que aprendemos nesta aula? Eu adoraria. 37

38 Resumo O preço-sombra é a alteração de unidade no valor objetivo ótimo por alteração de unidade no RHS. O preço-sombra para uma restrição =0 é chamado de Custo reduzido. Os preços-sombra normalmente, mas não sempre, têm interpretações econômicas que são úteis para gerenciamento. As restrições não-agrupadas têm preço-sombra de 0. O sinal de um preço-sombra pode muitas vezes ser determinado ao usar a interpretação econômica Os preços-sombra são válidos em um intervalo, que é fornecido pelo Relatório de Sensibilidade do Excel. Os custos reduzidos podem ser determinados pelo pricing out 38

39 O Problema Financeiro da Aula 2 Sarah possui $1,1 milhão para investir em cinco diferentes projetos para sua firma. Objetivo: maximizar a quantidade de dinheiro que está disponível no início de (Os retornos sobre investimentos estão no próximo slide). No máximo $ em qualquer investimento É possível investir em CDs, a 5% por ano. Exemplo financeiro 39

40 Retornos Sobre Investimentos (dólares descontados) A B C D E Jan Jan ,2 - - Jan Jan ,5 1,2 40

41 A formulação PL Máx 0,8 x B + 1,5 x D + 1,2 x E + 1,05 x CD04 de forma que-x A x C x D x CD02 = -1,1 0,4 x A x B + 1,2 x D + 1,05 x CD02 x CD03 = 0 0,8 x A + 0,4 x B - x E + 1,05 x CD03 x CD04 = 0 0,8 x A + 0,4 x B - x E + 1,05 x CD03 x CD04 = 0 0 =x j = 0,5 para j = A, B, C, D, E, CD02, CD03 e CD04 Exemplo financeiro 41

42 Descrição verbal da base ótima 1. Investir o tanto quanto possível em C e D em Investir o restante em A. 2. Pegar os retornos em 2003 e investir o tanto quanto possível em B. Investir o restante em CDs 3. Pegar todos os retornos em 2004 e investí-los em E. Obs.: se um dólar extra for disponível nos anos 2002 ou 2003 ou 2004, investiríamos em A ou 2003CDs ou E 42

43 Gráfico para o problema financeiro Qualquer dinheiro adicional em 2002 é investido em A. Qualquer dinheiro adicional em 2003 é investido em CD2003. Qualquer dinheiro adicional em 2004 é investido em E. 43

44 Interpretação do Preço-Sombra Restrição: o fluxo de caixa em 2004 está todo investido. Preço-sombra: -1,2 Interpretação: um único $1 extra em 2004 valeria $1,20 em ,8 x A + 0,4 x B - x E + 1,05 x CD03 x CD04 = 0 44

45 Interpretação do Preço-Sombra Restrição: o fluxo de caixa em 2003 está todo investido. Preço-sombra: -1,26 Interpretação: um único $1 extra em 2003 valeria $1,26 em

46 Interpretação do Preço-Sombra Restrição: todo o $1,1 milhão está investido em Preço-sombra: -1,464 Interpretação: um único $1 extra em 2002 valeria $1,46 em ,4,05,2 + 0,8,2 = 1,464 46

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