CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 - EP4. Prezado Aluno,

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1 CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 - EP4 Prezado Aluno, Neste EP daremos sequência ao nosso estudo da linguagem da lógica matemática. Aqui veremos o conectivo que causa mais dificuldades para os alunos e que é fonte também da maior parte de armadilhas em questões de lógica. Chama-se condicional e surge normalmente através das palavras se... então.... Não é à toa que ele estava presente no exemplo que dei no início do EP anterior em que a professora do Pedrinho dizia que se ele não se comportasse então ficaria de castigo. Lembra como o significado matemático desta afirmação é diferente daquilo que esperamos? Por isso é fundamental estudar bem este conectivo. O EP anterior traz o princípio da história que continuaremos hoje. Além do conectivo condicional, veremos neste EP também o conectivo bicondicional (se e somente se) e vamos trabalhar com tabela verdade. Você encontra a teoria sobre isso tudo no seu material impresso, mas não deixe de ler os comentários neste EP e fazer os exercícios. E nunca, nunca, nunca deixe de tirar suas dúvidas! Bom trabalho, Michelle Dysman No último EP tratamos dos conectivos e e ou (também chamados de conjunção e disjunção, respectivamente). Lembramos que a conjunção p q (isto é, p e q) de duas proposições p e q é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras e é falsa caso contrário. Já a disjunção p q (isto é, p ou q)é verdadeira quando pelo menos uma das proposições elementares é verdadeira e é falsa quando ambas as proposições elementares são falsas. Vamos agora trabalhar com o conectivo condicional que representa implicações. Considere a frase Se Maria foi a Roma então ela conhece o Papa. Matematicamente esta frase significa pura e simplesmente que se Maria foi a Roma com certeza ela conhece o Papa. A frase, do ponto de vista 1

2 matemático, não nos diz que se ela não foi, não conhece o Papa, na verdade a frase não diz nada sobre quem ela conhece ou não conhece se ela não foi a Roma. Ocondicionalérepresentadopelosímbolo. Assim, sechamarmosderàproposição MariafoiaRoma e de p à proposição Maria conhece o Papa, teríamos a proposição composta em questão representada por r p, que pode ser lida como se r então p ou, ainda, r implica p. Só tem um jeito de esta ser uma proposição falsa: se Maria foi a Roma e não conhece o Papa. Em qualquer outra situação, a proposição composta é verdadeira. Veja, se Maria foi a Roma e conhece o Papa, a proposição é obviamente verdadeira. Se Maria não foi a Roma, não importa se ela conhece o não o Papa, com certeza a proposição não era falsa, já que nada dizia a respeito desta situação. Tenho uns exemplos fáceis de implicações para que você classifique em verdadeiro ou falso: Questão 1. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições compostas a seguir. Justifique. a) Se a Amazônia é uma floresta então há praias no Rio de Janeiro. b) Se respiramos oxigênio, então temos guelras. c) Se o Snoopy era um gato, então o Garfield era um cachorro. d) Se Salvador é a capital do Brasil, então o Rio de Janeiro fica na região Sudeste. e) Se existe chuva de canivete, então os canivetes evaporam quando deixados no Sol. Em vários ítens você pode observar que as proposições envolvidas na proposição composta não têm nenhuma relação uma com a outra. É isso mesmo, uma proposição pode não ter nada a ver com a outra, o que vai determinar se a proposição composta é falsa ou verdadeira é a falsidade ou veracidade de cada uma das proposições envolvidas e não a relação entre estas proposições. Vamos tratar agora do último conectivo que veremos neste EP, o bicondicional (se e somente se). Se a professora do Pedrinho (ver EP3) houvesse dito para ele Pedrinho, você vai ficar de castigo se e somente se você não se comportar, aí sim, ela estaria dizendo que se ele não se comportasse ficaria de castigo, e se ele 2

3 se comportasse não ficaria de castigo. Nesse caso, se o Pedrinho se comportasse e ela deixasse ele de castigo, ela seria matematicamente uma mentirosa, pois teria dado uma declaração falsa! O conectivo bicondicional é expresso pelo símbolo e é usado para denotar equivalência entre duas proposições. Dizer p q significa dizer que quando uma das duas proposições elementares for verdadeira, a outra também será e quando uma das duas for falsa, a outra também será. A proposição composta p q (p se e somente se q) é falsa se uma das duas proposições elementares for verdadeira e a outra falsa. Por exemplo, o Brasil é maior que a Argentina se e somente se as baleias sabem falar é uma proposição falsa, pois a primeira proposição elementar é verdadeira e a segunda não. Já a proposição O Brasil é menor que a Argentina se e somente se as baleias sabem falar é uma proposição verdadeira pois ambas as proposições elementares são falsas (logo são equivalentes, isto é, têm o mesmo valor lógico). Tente você mesmo no próximo exercício. Questão 2. Determine se as proposições compostas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. a) Bananas são vermelhas se e somente se existem maçãs verdes. b) A bandeira brasileira é lilás se e somente se há peixes no mar. c) Os peixes sabem respirar sob a água se e somente se há elefantes que voam. d) As bananeiras dão maçãs se e somente se os golfinhos têm asas. Agora você já conhece todos os conectivos que vamos estudar (e, ou, se... então..., se e somente se). Nossa próxima tarefa é montar tabelas-verdade. Trata-se apenas de uma tabela em que anotamos se uma expressãocomposta éverdadeiraou falsadependendo dosvaloreslógicosdasproposiçõeselementares. Émais fácil com um exemplo: vamosavaliaraexpressãop q. Paracriaratabela, colocamosnasprimeirascolunas as proposições elementares e na coluna seguinte a expressão que queremos avaliar. Nas linhas das proposições elementares escrevemos todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso que estas proposições podem assumir: 3

4 p q p q V V V F F V F F Já sabemos que a expressão em questão é verdadeira sempre que tanto p quanto q tiverem o mesmo valor, isto é, as quando as duas forem verdadeiras ou quando as duas forem falsas. Então podemos preencher a tabela-verdade: p q p q V V V V F F F V F F F V A tabela verdade pode ter várias proposições compostas e estas pode ser bem mais complicadas que a que usamos acima... Questão 3. Complete a tabela verdade a seguir. p q p q p q p p q q p q p q q p V V V F F V F F Se você resolveu o exercício acima direitinho, descobriu que o resultado da primeira proposição composta acima é igual ao da última em todas as linhas da tabela. Quando isso ocorre dizemos que as duas proposições são equivalentes. Já a terceira expressão, você deve ter visto que é sempre verdadeira. Isso é o que chamamos de tautologia. Ao contrário desta, há a quarta expressão, que é sempre falsa, é o que chamamos de contradição. 4

5 Agora vamos resolver uma questão desenvolvida pela Escola de Administração Fazendária (ESAF) que caiu em um concurso público. Vamos usar o mesmo método que usamos no EP3. Questão 4. Observe a questão abaixo: (Fiscal Recife/2003/Esaf) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo, (A) Caio e Beto são inocentes. (B) Caio e André são inocentes. (C) André e Beto são inocentes. (D) Caio e Dênis são culpados. (E) André e Dênis são culpados. Para resolver esta questão siga os seguintes ítens: a) Escreva as proposições simples envolvidas no enunciado acima e designe para cada uma delas uma letra diferente. b) Usando os símbolos lógicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado. c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos parênteses abaixo: ( ) André é inocente. ( ) Beto é inocente. ( ) Caio é inocente. Em muitos concursos aparecem questões de lógica. Abaixo, por exemplo, você encontra uma questão 5

6 feita pela Escola de Administração Fazendária (ESAF) que caiu em um concurso para gestor fazendário em Tente resolvê-la sozinho. Questão 5. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: A ou B, onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista. B: Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo, (A) Carlos não é dentista, Ênio não é economista, Juca não é arquiteto. (B) Carlos não é dentista, Ênio é economista, Juca não é arquiteto. (C) Carlos não é dentista, Ênio é economista, Juca é arquiteto. (D) Carlos é dentista, Ênio não é economista, Juca não é arquiteto. (E) Carlos é dentista, Ênio é economista, Juca não é arquiteto. O EP está longo, mas há mais uma coisa que temos que saber. Quando dizemos p q, estamos dizendo que p implica q, isto é, basta que p ocorra para termos certeza de que q também ocorrerá. Por isso dizemos nesse caso que p é condição suficiente para q. Mas p é condição necessária para q? A princípio, não. Nada nos garante que é necessário que p aconteça para q acontecer. Mas se p acontece, com certeza também acontece q. Isto é necessário, q tem que acontecer quando p acontece pois p implica q. Resumindo: sempre que temos p q, temos: p é condição suficiente para q e q é condição necessária para p. No caso de p q temos que p é condição necessária e suficiente para q. Tente agora resolver o exercício a seguir, é um desafio, mas caiu em outro concurso da ESAF. Sugiro que use a mesma estratégia de separar as proposições elementares que já conhecemos desde o EP3. Questão 6. (Esaf/2002) O Rei ir a caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão 6

7 não sorriu. Logo: (A) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. (B) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. (C) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. (D) o rei foi a caça e a duquesa não foi ao jardim. (E) o duque saiu do castelo e o rei não foi a caça. Vamos, agora, misturar um pouco de quantificadores e de conjuntos? Questão 7. Seja A = {1,2,3,4} e B = {3,4,5,6,7}. Escreva por extenso as proposições abaixo e decida se são falsas ou verdadeiras justificando sua resposta. A primeira vai de exemplo. a) x A x < 5 Por extenso: se x pertence a A então x é menor que 5. É verdadeira: veja que quando a primeira proposição elementar é verdadeira, isto é, x A, também temos a segunda verdadeira, pois todos os elementos de A são menores que 5. Observe ainda que quando usamos variáveis como x para que uma proposição como essa seja verdadeira, ela deve ser verdadeira para todos os valores de x possíveis. Basta que um valor de x falhe para que a proposição seja considerada falsa. Assim, se a questão fosse x A x 3 ela seria falsa, pois um dos valores possíveis para x é o 4 (veja que 4 A). De fato, x pertencer a A implica que ele é menor que 5, mas não implica que ele é menor ou igual a 3. b) x A x+2 B. c) x A x+2 B. (Cuidado!!!) 7

8 d) y B (y 2 A ou y é impar) e) x N, x é par x+1 é ímpar f) x R, x 2 > 1 x > 1 Por último vou comentar sobre um conectivo que não aparece em seu material impresso mas é importante e está presente em inúmeras questões de lógica em provas e concursos. É a disjunção exclusiva, denotada por e expressa por ou... ou... Por exemplo: Ou Pedro é arquiteto ou Pedro é psicólogo (a p). Uma proposição composta com esse conectivo é verdadeira quando apenas uma das duas proposições for verdadeira. Em nosso exemplo acima, se Pedro for arquiteto e psicólogo, a proposição será falsa. Também será falsa se ele não for nem arquiteto nem psicólogo. Se ele tiver uma e apenas uma destas duas profissões a proposição será verdadeira. É importante que você faça também os exercícios do material impresso e entenda bem este conteúdo. Não guarde nenhuma dúvida, aproveite todo o apoio que você tem para tirar dúvidas tanto presencialmente quanto à distância. Bom trabalho! GABARITO Questão 1. Solução: a) Verdadeira. A primeira proposição elementar é verdadeira a proposição elementar que ela implica também é verdadeira. b) Falsa. A primeira proposição elementar é verdadeira, porém aparece implicando uma proposição que é falsa. c) Verdadeira. A primeira proposição elementar é falsa, logo qualquer que seja a segunda proposição o resultado é verdadeiro. (Veja que a proposição não faz nenhuma afirmação sobre a espécie de Garfield caso Snoopy não seja um cachorro.) 8

9 d) Verdadeira. Como no item anterior, aqui também a primeira proposição do condicional é falsa. Logo o resultado é verdadeiro qualque que seja a segunda proposição (Se Salvador não é a capital do Brasil, a frase não representa nenhum comprometimento quanto à localização do Rio de Janeiro.) e) Verdadeira. Vale o mesmo que nos dois ítens anteriores, como a primeira afirmativa é falsa, não importa o absurdo que venha depois, o resultado não representa uma mentira. Questão 2. Solução: a) Falsa. A primeira proposição elementar é falsa, mas a segunda é verdadeira, logo o resultado do bicondicional é falso. b) Falsa. Vale o mesmo do item anterior. c) Falsa. A primeira proposição elementar é verdadeira, mas a segunda é falsa, logo o resultado do bicondicional é falso. d) Verdadeira. A primeira proposição elementar é falsa, mas a segunda também é falsa, logo o resultado do bicondicional é verdadeiro (as duas proposições elementares têm o mesmo valor lógico). Questão 3. Solução: p q p q p q p p q q p q p q q p V V V V V F V V V V F F V V F F V F F V V V V F F V V F F V F V F F F V 9

10 Questão 4. Solução: a) Proposições simples: a: André é inocente b: Beto é inocente c: Caio é inocente d: Dênis é inocente b) Premissas: 1) a b 2) b c 3) c d 4) d c) Vamos analisar as premissas. Já sabemos pela 4 que d é falsa, isto é, Dênis é culpado. Pela premissa 3, isso nos garante que c é verdadeira, ou seja, Caio é inocente. Mas isso significa que c é falsa, logo como a premissa 2 tem que ser verdadeira, podemos concluir que b é falsa (caso contrário teríamos uma afirmativa verdadeira implicando uma falsa, o que resultaria na falsidade da premissa 2). Daí sabemos que Beto é culpado. Mas se b é falsa, pela premissa 1 a é verdadeira, isto é, André é inocente. Conclusão: ( V ) André é inocente. ( F ) Beto é inocente. ( V ) Caio é inocente. e Dênis é culpado. A reposta correta na questão da Esaf é a letra B. Questão 5. Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo A ou B seja falsa, é necessário que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, a premissa diz que A é falsa e 10

11 B também é falsa. Dizer que A é falsa é dizer que Carlos não é dentista. Por outro lado, a proposição B é uma condicional, logo, se ela é falsa, significa que Ênio é economista mas Juca não é arquiteto. A resposta correta é a letra B. Questão 6. Solução: Vamos usar a mesma estratégia que já usamos antes. Primeiro vamos escrever as proposições elementares e representá-las por letras: r: Rei ir a caça; d: duque sair do castelo; j: duquesa ir ao jardim; c: conde encontrar a princesa; b: barão sorrir. Agora vamos escrever as premissas usando os símbolos lógicos: d r (o rei ir a caça é condição necessária para o duque sair do castelo); r j (o rei ir a caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim); c b (o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir); j c (o conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim); b (o barão não sorriu). Falta apenas analisar as premissas que temos. Pela última já sabemos que b é falsa. Pela terceira premissa, se b é falsa, c também tem que ser falsa. 11

12 Pela quarta premissa, se c é falsa, j também tem que ser falsa. Pela segunda premissa, se j é falsa, r também tem que ser falsa. Pela primeira premissa, se r é falsa, d também tem que ser falsa. Logo, todas as proposições elementares que consideramos são falsas: O rei não foi a caça, o duque não saiu do castelo, a duquesa não foi ao jardim, o conde não encontrou a princesa e o barão não sorriu. A resposta correta é a letra C. Questão 7. Solução: b) Se x pertence a A então x+2 pertence a B A proposição é verdadeira, pois a primeira proposição elementar será verdadeira quando x for 1, 2, 3 ou 4, e nesses casos, x+2 será 3, 4, 5 ou 6, todos pertencentes a B, logo, sempre que a primeira proposição for verdadeira a segunda também será. c) x pertence a A se e somente se x+2 pertence a B A proposição éfalsa. Já vimos que sempre que x pertence a A, x+2 pertence a B, entretanto há casos em que x+2 pertence a B e x não pertence a A: basta tomar x = 5 (5 / A, porém 7 B). Logo, as duas proposições não são equivalentes (para que elas fossem equivalentes, sempre que uma delas fosse verdadeira a outra também deveria ser). d) Se y pertence a B, então: y 2 pertence a A ou y é ímpar. Verdadeira: Para que a primeira afirmativa seja verdadeira, y deve valer 3, 4, 5, 6 ou 7. Se y for 3, 4, 5 ou 6, y 2 será 1, 2, 3 ou 4, e portanto pertencerá a A. Falta apenas pensar no caso em que y = 7. Mas nesse caso y é ímpar. Logo, em qualquer caso, se y pertence a B é verdadeira a proposição y 2 A ou y é ímpar, o que garante que nossa implicação é verdadeira. e) Para todo x pertencente aos naturais, se x é par então x+1 é ímpar. Verdadeira: sempre que a primeira proposição for verdadeira, isto é, x for par, sabemos que 12

13 a segunda também será verdadeira, isto é, x+1 será ímpar. f) Para todo x real, x 2 > 1 se e somente se x > 1. Falso: como vimos, basta mostrar um x real para o qual uma das duas proposições elementares seja verdadeira e a outra não. Tomemos, por exemplo, x = 2 (é um número real). Então a proposição x 2 > 1 é verdadeira pois ( 2) 2 = 4 > 1, porém a proposição x > 1 é falsa (pois 2 < 1). 13