I. Conjunto Elemento Pertinência

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1 TEORI DOS CONJUNTOS I. Conjunto Elemento Pertinência Conjunto, elemento e pertinência são três noções aceitas sem definição, ou seja, são noções primitivas. idéia de conjunto é praticamente a mesma que usamos na linguagem comum, isto é, conjunto é o mesmo que: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: - Conjunto dos planetas do sistema solar P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno} Os planetas do Sistema Solar são divididos habitualmente em dois grupos: Os quatro primeiros a partir do Sol são os planetas terrestres, também chamados de telúricos ou interiores (Mercúrio, Vênus, Terra e Marte), formados principalmente por rochas e silicatos. Os quatro seguintes são os planetas jovianos ou exteriores (Júpiter, Saturno, Urano e Netuno), formado por gases. Representação feita pela Nasa do nosso sistema solar - Conjunto dos números primos positivos N = {2,3,5,7,11,...} Chamamos de elemento cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Dizemos que o elemento 2 pertence ao conjunto N e escrevemos 2 N. Podemos perceber que 6 N (6 não pertence a N). É comum representarmos um conjunto por diagrama de Venn-Euler: N.2 2 N N.7 6 N.5 15 N Representamos um conjunto sempre por letras maiúscula e seus elementos por letras minúsculas. Importante: Definição: Diz-se que um número inteiro p é primo se, e somente se, p satisfaz as seguintes condições: 1) p 0 e p ± 1 2) Os únicos divisores de p são -1, +1, p e -p Curiosidade: Maior número primo Podemos afirmar que os números primos são infinitos, ou seja, não existe o maior número primo. O que se pode dizer é que o maior número primo encontrado até o momento é Este número foi descoberto em 16 de setembro de 2008, tem dígitos e foi calculado em 6 dias, com 16 processadores Intel Itanium2. É o 46º número de Mersenne (projeto que procura por números primos específicos, do tipo 2 p 1). ( mes/largest.html) 1

2 TEORI DOS CONJUNTOS II. Propriedade e Condição Consideremos a propriedade q: q: x é um número primo positivo Observe que esta propriedade é expressa pelo conjunto N acima citado: N = {2,3,5,...} Consideremos agora a condição c: c: x é um número primo positivo que satisfaz a condição x 11 Esta condição pode ser expressa pelo conjunto: W = { 11, 13, 17, 19,...} III. Conjunto Unitário Possui um único elemento. a) = {x x é um estado da região sudeste cujo nome começa com a letra M}={Minas Gerais} b) = {x N x 0} = {0} IV. Conjunto Vazio Não possui elementos. a) = {x x x}={ } b) = {x x é múltiplo de 2 e x é ímpar} = { } V. Conjunto Universo o desenvolvermos um certo assunto em Matemática, admitimos a existência de um conjunto U (conjunto Universo) ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Exemplo: Seja U o conjunto dos números pares. Determine = {x U x > 10}={12,14,16,18,...} VI. Igualdade Dois conjuntos e são iguais se possuem os mesmos elementos. = x, x x ou = Exemplo: {3, 6, 7} = {7, 3, 6} = {3, 3, 6, 6, 7} 2

3 TEORI DOS CONJUNTOS VII. Subconjunto Dizemos que é subconjunto de se, e somente se, todo elemento de for também elemento de. x, x x Exemplo: Seja = {3, 6, 7} e = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} então. Lembrete: lê-se: para todo ou qualquer que seja lê-se:...se, e somente se... lê-se: se...então... lê-se:...e... lê-se:...ou... lê-se: está contido lê-se: contém lê-se: está contido ou é igual lê-se: contém ou é igual VIII. Conjunto das Partes Importante : a) Ø,. b),. (reflexiva) c) ( e ) = (anti-simétrica) d) ( e C) C (transitiva) Dado um conjunto, chama-se conjunto das partes de aquele que é formado por todos os subconjuntos de. Notação: P () Em símbolos: P () = { X X } Se = Ø, o único elemento de P () é Ø, isto é : P () = { Ø} Se = {8}, os elementos de P () são Ø e {8}, isto é: P () = { Ø, {8}} Se = {1,2}, os elementos de P () são Ø, {1},{2}e {1,2}, isto é: P () = { Ø, {1},{2},{1,2}} IX. União de Conjuntos Se é um conjunto formado por n elementos, então o número de subconjuntos de ou o número de elementos de P () é 2 n. demonstração é feita por combinações: C n,0 + C n, C n,n = 2 n Definimos a união de e como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ou a. = { x x ou x Em diagramas, temos: a) {1,4,6} {2,3,4,7} = {1,2,3,4,6,7} b) {2,5,7} Ø = {2,5,7} Legenda: Propriedades da união: Sejam, e C conjuntos quaisquer: a) = (idempotente) b) Ø = (elemento neutro) c) = (comutativa) d) ( ) C = ( C) (associativa) 3

4 TEORI DOS CONJUNTOS X. Interseção de Conjuntos. Definimos a interseção de e como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a Em diagramas, temos: = {x x e x } a) { 2,3,7,9} { 1,3,7,10} = { 3,7} b) { 2, 4,6,8} { x x é par e x 2} = { 2, 4,6,8} c) { 2,3, 7,9} { 1,5,11,10} = Legenda: Propriedades da interseção: Sejam, e C conjuntos quaisquer: a) = (idempotente) b) U = (elemento neutro) c) = (comutativa) d) ( C)= ( ) C (associativa) Conjunto disjuntos Dizemos que os conjuntos e são conjuntos disjuntos, quando =, isto é, quando os conjuntos e não têm elemento comum. XI. Diferença de Conjuntos Definimos a diferença entre dois conjuntos e como o conjunto formado pelos elementos de que não pertencem a. = {x x e x } a) { 2,3,7,9} { 1,3,7,10} = { 2,9} b) { 2,3, 7,9} = { 2,3, 7,9} c) { 2, 4, 6,8} { x x é par e x 2} = 4

5 TEORI DOS CONJUNTOS Complementar de em Dados dois conjuntos e, tais que o conjunto., definimos como complementar de em relação a Símbolo : C = C = Exemplo: Se = { x x é par e x 10} e = { 2,4,6}, então C = = { 0,8,10} Exercícios resolvidos 01)(CESGRNRIO) Se e são conjuntos, ( ) é igual a: () () (C) (D) (E) Resolução: Devemos avaliar, sempre, as quatro hipóteses: * Quando e são conjuntos disjuntos temos =, veja figura ao lado. Portanto: ( ) = =. (I) Como os conjuntos são disjuntos, então = (II). ssim, de (I) e (II), podemos concluir que ( ) = * Quando e não são disjuntos e nem subconjuntos um do outro, veja na figura 1, como fica. Portanto, na figura 2, podemos perceber que = ( ) 5

6 TEORI DOS CONJUNTOS * Quando for um subconjunto de podemos perceber, pela figura 3, que =. Portanto ( ) = =, e assim ( ) = =, pois é subconjunto de. Figura 3 * Quando for um subconjunto de, veja na figura 4, como fica. Portanto, na figura 5, podemos perceber que = = ( ) 02)(EESP-FGV) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos:, e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto. 210 pessoas compram o produto. 250 pessoas compram o produto C. 20 pessoas compram os 3 produtos. 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 60 pessoas compram os produtos e 70 pessoas compram os produtos e C 50 pessoas compram os produtos e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? () 670 () 970 (C) 870 (D) 610 (E) 510 Resolução: Devemos, em primeiro lugar, representar por diagramas, os produtos, e C em forma de conjuntos. Em seguida escrever 20 na interseção central, ou seja, na interseção dos 3 conjuntos. gora, através das subtrações = 40, = 50 e = 30 vamos representar nos diagramas o número de pessoas que compram somente dois dos produtos. Finalmente, vamos representar o número de pessoas que compram somente um doa produtos: U N = C 6

7 TEORI DOS CONJUNTOS Somente o produto : 210 ( ) = = 100 Somente o produto : 210 ( ) = = 120 Somente o produto C : 250 ( ) = = 150 Sendo N o número de pessoas que não compram nenhum dos produtos, então o número de pessoas entrevistadas U é igual a soma dos valores no diagrama acima: U = = 610. Obs.: Podemos fazer uso das seguintes fórmulas: - n( ) = n( ) + n( ) n( ) - n( C) = n( ) + n( ) + n( C) n( ) n( C) n( C) + n( C) Na questão acima o uso da fórmula ficaria assim : ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = = n C n n n C n n C n C n C n C Como n( C) indica o número de pessoas que compraram ao menos um dos produtos e N = 100 o número de pessoas que não compraram nenhum dos produtos, então o total de pessoas entrevistadas é dado por U = = )(F.I.S.S Vassouras) Sejam os conjuntos X= { 1,2,3,4} e = { 1,2}. O conjunto tal que { 1} = X é : = e () () { 1 } (C) { 1, 2 } (D) { 1, 3, 4 } (E) X Resolução: Como { 1} =, então 1 é o único elemento comum entre os conjuntos e. Sendo =X e os elementos 3 e 4 não pertencem a, isto implica em 3 e 4 pertencerem a. Portanto os únicos elementos de são 1, 3 e 4. 04)(UFF) Considere os conjuntos representados ao lado. Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: a) P, Q e R b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) P Q R P Q R P R P Q R P P R 1 Q 7

8 TEORI DOS CONJUNTOS Resolução: a) O conjunto P é representado pelos elementos envolvidos pelo círculo P. P= 3,4,5,7 { } O conjunto Q é representado pelos elementos envolvidos pelo círculo Q. Q= 1,2,3,7 { } O conjunto R é representado pelos elementos envolvidos pelo círculo R. R = 2,5,6,7 { } b) ( P Q) R = { 3,7} { 2,5,6,7} = { 3} c) ( P Q) R = { 1,2,3,4,5,7} { 2,5,6,7} = { 2,5,7} d) ( P R) P = { 2,3,4,5,6,7} { 3,4,5,7} = { 2,6} e) ( Q R) P = { 2,7} { 3,4,5,7} = { 2,3,4,5,7} 8