Aplicações da teoria de conjuntos álgebra booleana. Pontifícia Universidade Católica de Goiás Msc. Gustavo Siqueira Vinhal 2016/1

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1 Aplicações da teoria de conjuntos álgebra booleana Pontifícia Universidade Católica de Goiás Msc. Gustavo Siqueira Vinhal 2016/1

2 CONJUNTOS Conjuntos são fundamentais para formalização de qualquer teoria. Uma teoria é construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a um conjunto de elementos primitivos. A partir desses elementos e utilizando um conjunto de regras de inferência, é criado um conjunto de propriedades, enumerados e provados através de teoremas. Exemplos: Construção das Álgebras Boolenas (Computação Digital); Desenvolvimento e validação da Teoria de Banco de Dados; Desenvolvimento de Linguagens Formais; Etc.

3 Conceitos primitivos: CONJUNTOS Conjunto: reunião de elementos segundo uma característica em comum; Elemento: uma entidade que pertence a um conjunto; Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência): indica se um elemento pertence a um conjunto ou não. Um elemento pertence a um conjunto

4 Notações: CONJUNTOS Elementos são representados por letras minúscula; Conjuntos são representados por letras maiúsculas; Relação de pertença: é representada pelo símbolo. Observações: A definição sempre é feita através do símbolo de igualdade (=); Os elementos de um conjunto sempre são representados entre chaves.

5 CONJUNTOS Exemplos: A = {a} B = {0,3,5,7,8,...} D = {Terra, Sol, Lua} Terra D 0 D

6 CONJUNTOS Representação Por extensão: A = {C++, Delphi, Java,...} B = {a, e, i, o u} Por compreensão: C = {x x N ^ x é impar ^ x 5} D = {f f é múltiplo de 4} Por gráficos: E = {x R -1 x 2}

7 CONJUNTOS Representação Por Diagramas de Venn A = {1, 2, 3}

8 CONJUNTOS Conjunto universo: conjunto que contém todos os conjuntos. Representado pelo símbolo U. Exemplo: U = {x x = x} Conjunto vazio: conjunto que não possui elementos. Representado pelo símbolo ou {}. Exemplos: = {x x x} = {x R x > x+1} = {x R x² < 0} { }. Por quê?

9 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS Inclusão: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B se, e somente se, qualquer elemento de A também for elemento de B. A B x (x A x B) Propriedades: A; A A; Reflexividade A B ^(B C) A C. Transitividade

10 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS Inclusão Estrita: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está estritamente contido em B se, e somente se, qualquer elemento de A também for elemento de B, mas A for diferente de B. A B x x A x B ^ y B y A) Propriedades: A A; A B ^(B C) A C. Transitividade

11 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS Igualdade: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A é igual a B se, e somente se, tiverem exatamente os mesmos elementos. A = B x x A x B Propriedades: A = A; Reflexividade A = B B = A; Simetria A = B ^(B = C) A = C. Transitividade

12 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Relações e Operações NÃO são sinônimos. Relações = formas de comparar conjuntos; Operações = forma de criar novos conjuntos. Operações entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como resultado

13 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União: Dados dois conjuntos A e B, a operação de união gera um novo conjunto C, cujos elementos são provenientes tanto de A quanto de B. A B = {x x A x B} Propriedades: A B = B A; Comutatividade A B C = A (B C); Associatividade A A = A ; Idempotência A = A; Elemento Neutro A U = U. Elemento Absorvente

14 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Intersecção: Dados dois conjuntos A e B, a operação de intersecção gera um novo conjunto C, cujos elementos são comuns a A e a B. A B = {x x A x B} Propriedades: A B = B A; Comutatividade A B C = A (B C); Associatividade A A = A ; Idempotência A = ; Elemento Absorvente A U = A. Elemento Neutro

15 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Diferença: Dados dois conjuntos A e B, a operação de diferença gera um novo conjunto C, cujos elementos são aqueles que pertencem a A mas não pertencem a B. A B = {x x A x B} Obs.: A B B A

16 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Complementação: Dado um conjunto A, o complemento de A é o conjunto formado por todos elementos que pertencem ao conjunto universo e não a A. A = {x U x A} Propriedades: A A = U; A A = ; U = ; = U.

17 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Complementação: Dado um conjunto A, o complemento de A é o conjunto formado por todos elementos que pertencem ao conjunto universo e não a A. A = {x U x A} Propriedades: A A = U; A A = ; U = ; = U.

18 ÁLGEBRA BOOLEANA Seja S um conjunto composto pelos conjuntos vazio e universo: S =, U Seja as operações de intersecção, união e complementação sobre esses conjuntos, considere as propriedades a seguir: A = A; A U = U; A = ; A U = A; U = ; = U.

19 ÁLGEBRA BOOLEANA Considerando: = OR = 0 = NOT = AND U = 1 Podemos representar as operações booleanas através de operações de conjuntos. A = A X OR 0 = X A U = U X OR 1 = 1 A = X AND 0 = 0 A U = A X AND 1 = X U = NOT 1 = 0 = U NOT 0 = 1

20 ÁLGEBRA BOOLEANA A B A OR B A B A AND B A NOT A

21 EXERCÍCIOS 1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos : (a) { x R / x < 2 } (b) { x N / ( y ) ( y é par x y ) } 2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A B = { d, e } e A B = { a, b, d, e, f }. 3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A B e B C. Sejam a, b, c, d, e, f U tais que a A, b B-A, c C-B, d A, e B e f C. Quais das afirmações abaixo são corretas? (a) a C (b) b A (c) c A (d) b B (e) e A (f) f A 4. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta. (a) A B = C B B - A = B C (b) A ( B - A ) = A B (c) A B = A C B = C (d) ( A' B' )' = A B (e) ( A B ) - C = A ( B - C )

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