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1 Universidade Federal do Pampa - UNIPAMPA Projeto: Fundamentos Matemáticos para Computação INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA DISCRETA

2 2 Introdução Praticamente qualquer estudo relacionado a computação, teórico ou aplicado, exige como pré-requisito conhecimentos de diversos tópicos da matemática. Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao domínio do discreto, a matemática discreta é fortemente empregada.

3 3 Teoria dos Conjuntos Conjunto: agrupamento de elementos, os quais podem representar qualquer coisa e podem ser representados matematicamente por letras maiúsculas. Exemplo A = {r, t, u, v} r t A u v Representação na forma de um diagrama de Venn

4 4 Teoria dos Conjuntos: Representação Por convenção, os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos do mesmo são representados entre chaves. Conjunto das letras do alfabeto: A = {a, b, c,..., z} Conjunto dos meses do ano: M = {janeiro,..., dezembro}

5 5 Teoria dos Conjuntos: Representação 1º por Extensão quando o conjunto for finito e relativamente pequeno, sendo enumerado de forma explícita. Conjunto das vogais: V = {a, e, i, o, u} 2º por Compreensão quando enunciada uma característica/propriedade que somente seus elementos possuam. L = {letras do alfabeto} Q = {x x é um número inteiro positivo} P 3º por Diagramas Diagramas de Venn Q

6 6 Teoria dos Conjuntos: Representação Diagrama de Venn Modo de representação dos elementos de um conjunto dentro de um retângulo ou círculo, como forma de representação ilustrativa. Exemplo Representação dos dias da semana U Seg Ter Qua Qui Sex F Sáb Dom

7 7 Teoria dos Conjuntos Subconjunto: um conjunto B é dito subconjunto de um conjunto A se todos os elementos de B também pertencerem ao conjunto A. Exemplo A = {a, b, c, d, e, f, g} B = {a, b, c}

8 8 Terminologias Conjunto Vazio: é o único conjunto que é subconjunto de qualquer outro conjunto, ou seja, qualquer conjunto possui pelo menos o conjunto vazio como elemento. O conjunto vazio pode ser representado: { } Ø

9 9 Terminologias Conjunto Unitário: é o conjunto que possui apenas um único elemento. Exemplo A = { 1 } B = { 4 } C = { 8 }

10 10 Terminologias Conjunto das Partes (importante conceito na computação): dado um conjunto A, o conjunto das partes P(A) será composto por todos os subconjuntos do conjunto A (incluindo todo o conjunto A e o conjunto vazio). Definição Formal P(A) = {x U : x A} Exemplo A = {1, 2, 3} P(A)={Ø,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}

11 11 Terminologias Conjunto Universo (U): pode-se entender o conjunto universo como sendo o conjunto maior de outros conjuntos. Exemplo Em um determinado problema envolve-se números inteiros como conjunto. Logo, para este, o conjunto universo seria o conjunto dos números inteiros Z.

12 12 Terminologias Cardinalidade A : a cardinalidade de um conjunto A expressa o número de elementos desse conjunto (para um conjunto finito) ou sua ordem de grandeza (para um conjunto infinito). Notação da Cardinalidade: A Exemplo A = {x x é uma vogal} A = 5

13 13 Terminologias Conjunto Contável: um conjunto é contável quando é possível associar-se um inteiro a cada elemento desse conjunto. Todo conjunto finito é contável. Ainda, podemos listar uma ordem aos elementos do conjunto (I1 para o primeiro; I2 para o segundo...). Representação de todo o conjunto: I1, I2, I3,..., In

14 14 Terminologias: conjunto Contável Um conjunto infinito também pode ser contável I1, I2, I3... Exemplo O conjunto dos números naturais N: Podemos indicar o primeiro, segundo, terceiro elemento e assim por diante: 1, 2, 3, 4, 5... Utilizamos então uma operação sucessor: sucessor(x) = x+1 Um conjunto infinito contável denomina-se Enumerável.

15 15 Terminologias Conjunto Incontável: existem conjuntos infinitos que não podem ser contados, ou seja, não é possível que seja associado um número inteiro a cada um de seus elementos, não pode ser enumerado. Exemplo O conjunto de todos os valores reais existentes entre 0 e 1.

16 16 Relação entre conjuntos Inclusão Quando um elemento está em um conjunto dizemos que este elemento pertence a esse conjunto, porém, em se tratando de conjuntos, dizemos que esse elemento está contido em determinado conjunto. R = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} S = {0, 2, 4, 6, 8} T = {a, b, c, d} S R T R S está contido em R T não está contido em R... está contido... contém... não está contido... não contém

17 17 Relação entre conjuntos Igualdade Dois conjuntos, M e N, dizem-se iguais quando todo elemento de M pertence a N, e todo elemento de N pertence a M, ou seja, M é subconjunto de N e N é subconjunto de M. Se M N e M N M=N Exemplo M = {x, y, z} N = {y, z, x} M=N

18 18 Álgebra de Conjuntos: Operações As operações entre conjuntos são classificadas em Reversíveis e Não-Reversíveis, usualmente as operações reversíveis são importantes para a computação. As operações sobre conjuntos: Não Reversíveis União Intersecção Reversíveis Complemento Conjunto das Partes Produto Cartesiano União Disjunta

19 19 Álgebra de Conjuntos: Operações União: U Operação que permite determinar o conjunto de todos os elementos pertencentes a dois ou mais conjuntos: A U B = {x x A ou x B}. Sejam os conjunto A={1, 2, 3, 4} e B={0, 1, 3, 5}, teremos: A U B = {1, 2, 3, 4} U {0, 1, 3, 5} = {0,1, 2, 3, 4, 5} Repare: na operação de união entre conjuntos, os itens não se repetem.

20 20 Álgebra de Conjuntos: Operações União Disjunta ou Soma: + Operação que constrói um conjunto com todos os elementos considerados distintos de um dado par de conjuntos: S+T=(S x {0} U T x {1} 0 e 1 são índices). Diferentemente da operação de União, a Soma (União disjunta) é feita indexando os elementos dos conjuntos a fim de assegurar sua disjunção. Sejam A={r, s, t} e B={u, v, w} A + B = {<r, 0>, <s, 0>, <t, 0>, <u, 1>, <v, 1>, <w, 1>}

21 21 Álgebra de Conjuntos: Operações Intersecção: Operação na qual se determina o conjunto dos elementos comuns aos conjuntos envolvidos: A B = {x/ x A e x B}. Sejam os conjuntos A={1, 2, 3, 4} e B={0, 1, 3, 5}, teremos: A B = {1, 2, 3, 4} {0, 1, 3, 5} = {1, 3} Sejam os conjuntos P={a, e, i, o, u} e Q={x, y, z, k}, teremos: P Q = {a, e, i, o, u} {x, y, z, k} = { } Ø

22 22 Álgebra de Conjuntos: Operações Diferença: - Sejam dois conjuntos A e B de um Universo, a diferença do conjunto A em relação ao conjunto B está em os elementos pertencentes a A não pertencerem a B. A B (lê-se A menos B); A B={x U x A ᴧ x B} Sejam A={-2, -1, 0, 1, 2} e B={0, 1, 2, 3, 4}, teremos: A B = {-2, -1, 0, 1, 2} - {0, 1, 2, 3, 4} = {-2, -1} Obs.: a diferença de um conjunto X em relação ao conjunto vazio é o próprio conjunto X : X { } = X

23 23 Álgebra de Conjuntos: Operações Complementar: C Dado um conjunto universo, o complementar de um conjunto X em relação a U será um conjunto que conterá todos os elementos de U e que não pertençam ao conjunto X. Pode-se definir o complementar entre dois conjuntos desde que um deles seja subconjunto do outro (sendo P e Q conjuntos, pode-se dizer complementar de P em relação a Q, por exemplo): CPQ = {x Q x P}. P={5, 6, 7, {10, 12}, {20, 25}} Q={{20, 25}} CPQ ={5, 6, 7, {10, 12}}

24 24 Álgebra de Conjuntos: Operações Produto Cartesiano: X O produto cartesiano entre dois conjuntos é um conjunto formado por pares ordenados onde a primeira coordenada pertença ao primeiro conjunto e a segunda ao segundo conjunto. Sendo dois conjuntos, A e B: A X B={(x, y) x A ᴧ y B} A X B B X A Sejam A={1, 2, 3} e B={6, 7, 8}, temos: A X B={(1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (3, 8)}

25 25 Par Ordenado No slide anterior, o qual trata da operação de produto cartesiano, utilizamos de pares ordenados. Comumente disposto de dois elementos (o par) composto por uma primeira e segunda coordenadas. Simbolismo: (a, b) {a, b} (a, b) (b, a) Os elementos de um par ordenado podem ser dispostos como um conjunto: (p, q) = {{p}, {p, q}}

26 26 Provas Algébricas Igualdades e inclusões intuitivamente verdadeiras para quaisquer conjuntos A, B, C: Associatividade de e de : A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Comutatividade de e de : A B = B A A B = B A Idempotência de e de : A A = A A A = A

27 27 Provas Algébricas (cont.) Elemento neutro de e de : A U = A A = A Elemento zero de e de : A = A U = U Distributividade de sobre, e de sobre : A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

28 28 Provas Algébricas (cont.) Involutividade de : = A = A Leis de De Morgan: _ A B = _ A _ B A B = A B Leis de absorção: A (A B) = A A (A B) = A

29 29 Provas Algébricas (cont.) Definições de e U: _ A A _ = A A = U _ = U _ U = A B A A A B

30 30 Provas Algébricas Propriedades básicas da igualdade (para quaisquer conjuntos A, B, C): Reflexividade: A = A Simetria: Se A = B, então B = A Transitividade: Se A = B e B = C, então A = C. Substitutividade: Se A = B, então se substituirmos qualquer ocorrência de A por uma ocorrência de B em uma expressão C, obtendo uma expressão C[A B], temos que C[A B] C.

31 31 Referências Menezes, Paulo Blauth. Aprendendo Matemática Discreta com Exercícios/Paulo Blauth Menezes, Laira Toscani, Javier Garcia López. Porto Alegre: Bookman: instituto de informática da UFRGS, Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

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