CONJUNTOS-REVISÃO UNIDADE SEMESTRE BLOCO TURMA
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- Ana Carolina Marina Porto Lombardi
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1 CURSO CONJUNTOS-REVISÃO UNIDDE SEMESTRE BLOCO TURM DISCIPLIN ESTUDNTE PROFESSOR () GÊNESIS SORES RÚJO DT Responda com responsabilidade os questionários da avaliação institucional! LEMBRE-SE: avaliar com qualidade é transformar o seu futuro. CONJUNTOS: Ex: = { x/x é ímpar e múltiplo de 2} noção de conjunto é um conceito primitivo, e qualquer coleção de objetos constitui um conjunto. Conjunto unitário: Chamamos de conjunto unitário aquele que possui um único elemento. Elementos de um conjunto: Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. Métodos de representação: Por extensão: Nomeamos seus elementos entre chaves e separamos por vírgula. Ex: {0, 2, 4, 6, 8} Por compreensão: Determinamos o conjunto por meio de uma propriedade específica de seus elementos. Ex: = {xr / x é número natural par menor que 10} Por diagramação: ssociamos os elementos do conjunto a pontos do interior de uma curva fechada simples(diagrama de Euler-Venn). Ex. = {x/x é primo par e positivo} Conjunto universo: É o conjunto ao qual devem pertencer todos os elementos utilizados para desenvolver determinado assunto. Ex. = {x/x é uma nota musical}. = {Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si}. Relação de pertinência e relação de inclusão: Relação de pertinência: É a relação existente entre elementos e seu conjunto. Se x é um elemento do conjunto, escrevemos x. Se x não é um elemento do conjunto, escrevemos x. Ex. Seja = {1, 2, {2}, {3}, }, então podemos afirmar que: 1, 3,, {2}, {3}. Tipos de Conjuntos: Conjunto vazio: Chamamos de conjunto vazio aquele que não possui nenhum elemento. Relação de inclusão: Sejam e B dois conjuntos. Se todo elemento de for também elemento de B, dizemos que é um subconjunto de B, que é parte de B ou que está contido em B. Para representar este fato usamos a notação B. Esta relação entre conjuntos chama-se relação de inclusão. Em simbologia matemática temos: B x x B Subconjunto de um conjunto dado: Dizemos que um conjunto é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento, que pertencer a, também pertencer a B. Notação: ou { }. tenção: { } { }. 1
2 Ex. Considere os conjuntos = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5, 6}. Observe que todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto B. Dizemos, então, que é subconjunto de B ou que está contido em B e indicamos por: B. tenção: Quando não é um subconjunto de B escrevemos B. Isto significa que nem todo elemento de pertence a B, ou seja, existe pelo menos um elemento de que não é elemento de B. Quando B também podemos escrever B (Lê-se: B contém ). Observações: I) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, para qualquer conjunto, temos:. Se não é igual a B, então é diferente de B e escrevemos B. União ou Reunião: O conjunto união de dois conjuntos e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a ou B. B = { x/ x ou x B} B B Intersecção: Dados dois conjuntos e B, Chamase intersecção de e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a B. B = { x/ x e x B} II) Todo conjunto é subconjunto de si próprio, ou seja,. B III) O símbolo relaciona um subconjunto ao conjunto que o contém. Conjunto das partes - P(): Dado um conjunto, denomina-se conjunto das partes de aquele formado por todos os subconjuntos de. Ex. Seja o conjunto = {1, 2, 3}. Observe a relação de todos os subconjuntos de : Vazio: Unitários: {1}, {2}, {3} Com dois elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Com três elementos: {1, 2, 3} Logo, P() = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Que é o conjunto das partes de. tenção: Se é um conjunto finito com n elementos, então P() possui 2 n elementos, ou seja: n( ) n(p()) = 2 Operações com conjuntos: Igualdade entre conjuntos: Dois ou mais conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos. = B ( x x B) e ( x B x ) Ex. Se ={números naturais pares} e B={0,2,4,6,8,...}, então =B. B Ex. Sejam = {0, 1, 3, 6, 8} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos: B = { 1, 3, 6} Propriedades da Intersecção: 1) = (idempotente) 2) U = (elemento neutro) 3) B = B (comutativa) 4) (B C) = ( B) C (associativa) 5) Obs.: Dizemos que dois conjuntos e B são disjuntos quando não possuem elemento comum, isto é, B =. Propriedades da união e da intersecção 1) ( B) = 2) ( B) = 3) (B C) = ( B) ( C) 4) (B C) = ( B) ( C) Diferença: diferença de dois conjuntos e B é um conjunto formado pelos elementos que pertencem a e não pertencem a B. Indicamos a diferença entre e B por - B. (lê-se: menos B). ssim, - B = { x/ x e x B} 2
3 Em diagramas, temos: II) n( B C) = n() + n(b) + n(c) - n( B)- n( C)- n(b C)+n( B C) Exercícios: Ex. Sejam = {1, 2, 3, 5, 7} e B = {0, 1, 3, 4, 7}. Temos: B = {2, 5} Propriedades da Diferença: 1) = 2) - = B = tenção: É importante observar que, em geral, - B B -. Ex. Sejam = {0, 1, 3, 5} e B = {1, 3, 4, 7, 9}. Temos: B = {0, 5} B- = {4, 7, 9} Complementar de um conjunto: Denominamos conjunto complementar de B em relação a o conjunto B formado pelos elementos que pertencem ao conjunto e não pertencem ao conjunto B. Ex. Sejam = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 5, 7}. Temos: B = B = {1, 3, 8} 1.) (IFPI) Numa escola com 250 alunos, 60 estudam Matemática, 70 estudam Física, 80 estudam Química, 15 estudam Matemática e Física, 25 Física e Química, 30 Matemática e Química e 10 estudam as três matérias. O número de alunos que estudam somente matemática é: a) ( ) 35 b) ( ) 30 c) ( ) 25 d) ( ) 40 e) ( ) 45 2.) (IFPI) Numa festa, 30 pessoas discutiam sobre dois filmes, e B. Dessas pessoas, precisamente, 13 assistiram ao filme ; 5 assistiram aos dois filmes e 6 não assistiram a nenhum dos dois filmes. O número de pessoas que assistiram ao filme B, sabendo que todas as 30 pessoas opinaram é: a) ( ) 10 pessoas b) ( ) 12 pessoas c) ( ) 14 pessoas d) ( ) 16 pessoas e) ( ) 18 pessoas 3.) (Fuvest) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: - 48% e B - 18% B - 45% B e C - 25% C - 50% e C - 15% nenhuma das 3-5% a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas, B e C? b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas? tenção: Existem várias representações possíveis para o complementar de em relação ao conjunto universo: C U = C = = {x / xu e x} Número de elementos da união de conjuntos: I) n( B) = n() + n(b) n( B) 4.) (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos os seguintes resultados: 40% dos entrevistados lêem o jornal ; 55% dos entrevistados lêem o jornal B; 35% dos entrevistados lêem o jornal C; 12% dos entrevistados lêem os jornais e B; 15% dos entrevistados lêem os jornais e C; 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C; 7% dos entrevistados lêem os três jornais; 3
4 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais. d) { a, c, e }. e) { a, b, c, e }. Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: a) 1200 b) 1500 c) 1250 d) ) (Unirio-RJ) Considere três conjuntos, B e C, tais que: n()=28, n(b)=21, N(C)=20, n( B)=8, n(b C)=9, n( C)=4 e n( B C)=3. ssim sendo, o valor de n(( B) C) é: a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) 24 9.) (UCDB-MT) Sejam Q, I e R, respectivamente, os conjuntos dos números racionais, irracionais e reais. Então, tem-se: a) R-(Q I) = R b) (R-Q) I = R c) R-(Q I) = R d) (R Q) I = e) (R Q) I = 10.) Quantos subconjuntos tem o conjunto das letras da palavra RRQUR? 11.) Num parque, havia apenas 8 crianças loiras. Havia exatamente 16 meninos e, dentre as meninas, 12 não eram loiras. No total, havia 33 crianças. Quantas meninas havia no parque? 12.) (Fuvest-SP) Seja B a diferença simétrica dos conjuntos e B, definida pela igualdade: 6.) (IFPI) Se = { x R/ 0 < x <2} e B = { x R/ 3 x 1}, podemos afirmar que o conjunto (B) (B) é: a) ( ) [ 3,0] ]1,2[ b) ( ) [ 3,0[ [1,2[ c) ( ) ], 3[ [2, [ d) ( ) ]0,1] e) ( ) [ 3,2[ 7.) (IFPE) Sabe-se que P M N {n N / 1 n 8} }; P M = {3, 5}; P N = {3, 7}; M N = {2, 3, 6} e P M = {n N / 2 n 8} }. O conjunto N é: a) {1, 2, 3, 6, 7} b) {2, 5, 6, 7} c) P M d) {1, 2, 3, 6} e) {1, 2, 7} 8.) (IFSP) Considere os conjuntos R = { a, b, c}, S = { b, c, d}, T = { a, c, d, e}. ssinale a alternativa que corresponde ao conjunto B = ( B) (B ). Se = {a, b, c} e B = {b, c, d, e, f}, então B é o conjunto: a) {a, d, e, f} b) {a, c, d, f} c) d) {a} e) B 13.) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados: I. 28% dos funcionários são mulheres; II. 1/6 dos homens são menores de idade; III. 85% dos funcionários são maiores de idade. Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? a) 3% b) 30% c) 25% d) 2,3% e) 20% 14.) (UFPR) Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por, B, C. Todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir: (R T) (T S) (R S T). a) { b, c, d, e }. b) { b, d, e }. c) { a, c, d, e }. 4
5 Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um destes dois produtos. Com base nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas. 15.) (UFF) Considere os conjuntos representados abaixo: Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: a) P, Q e R b) (P Q) - R c) (P Q) R d) (P R) - P e) (Q R) P O mundo está nas mãos daqueles que têm a coragem de sonhar e de correr o risco de viver seus sonhos." (Paulo Coelho). 5
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