Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter. MÓDULO III PARTE I: Conjuntos e Diagramas Lógicos

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1 Bacharelado em Sistemas de Informação Disciplina: Lógica Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter MÓDULO III PARTE I: Conjuntos e Diagramas Lógicos 1

2 Teoria de Conjuntos Conceitos Primitivos (não-definidos): Conjuntos Elementos A idéia de conjunto é a mesma de coleção.

3 Representação de um Conjunto 1. Tabular forma de tabela entre chaves { } e separados por vírgula. A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D,....

4 Representação de um Conjunto 2. Diagramas de Venn Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples. A a i e o B u

5 Representação de um Conjunto 3. Propriedade Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x x tem a propriedade p}. Lê-se: A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p.

6 Representação através de uma propriedade Exemplo: B = {x x é número natural par} o conjunto B é formado por todos os números naturais pares

7 Relação de Pertinência A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. u A (lê-se u pertence a A ) e u B (lê-se u não pertence a B )

8 Relação de Pertinência De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos: (pertence) e (não pertence)

9 Tipos de Conjuntos 1. Conjunto unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplos: (a)c = {5} (b) B = { x x é estrela do sistema solar}

10 Tipos de Conjuntos 2. Conjunto vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por ou { }. Exemplos: D = {x x é número e x. 0 = 5} = E = {x x é computador sem memória} = { }

11 Tipos de Conjuntos 3. Conjunto finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao fim da contagem de seus elementos. Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} D = {x x é brasileiro} H = {x x é jogador da seleção brasileira de futebol}

12 Tipos de Conjuntos 4. Conjunto infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao fim da contagem. Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4,...} A = { x N x é par} = {0, 2, 4, 6,...}

13 Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. A é o conjunto das letras da palavra arte : A = {a, r, t, e} B é o conjunto das letras da palavra reta : B = {r, e, t, a}, temos A = B. os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se A é diferente de B ).

14 Conjunto Universo Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.

15 Conjunto Universo Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}.

16 Subconjunto Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Notação: A B (lê-se A está contido em B ), ou ainda, por B A (lê-se B contém A ). A B x (x A x B)

17 Subconjuntos Conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.

18 Subconjuntos {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 6, 5} {9, 6} {2, 8} {2, 8}

19 Pertinência e Inclusão 1 A relação de inclusão ( ) é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B A. 2 A relação de pertinência ( ) é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x A.

20 Tipos de Relações entre conjuntos 1. Conjunto contido em outro conjunto O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação inversa. Exemplos: a) Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão. b) O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro. c) Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural. A (A B) (B A) B

21 Tipos de Relações entre conjuntos 2. Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. Podemos dizer que algum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo: Motocicletas e automóveis possuem vários elementos em comum. (como as rodas por exemplo). (A B) A B

22 Tipos de Relações entre conjuntos 3. Conjuntos que não possuem elementos em comum Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Podemos dizer que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e viceversa. Exemplo: O conjunto dos números pares não tem elementos em comum com o conjunto dos números ímpares. (A B) = A B

23 Problemas que podem ser resolvidos com diagramas lógicos Interseção entre dois conjuntos Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? a) 31% b) 69% c)23% d) 13% e) 25% Casa própria Carro 9% 8% 14% 69%

24 Problemas que podem ser resolvidos com diagramas lógicos Interseção entre três conjuntos Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 20 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a)93 b)110 c)103 d)99 e)114 Basquete Vôlei Futebol

25 Propriedades 1 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A, A Exemplos: {1, 2, 3} 2 Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A A, A

26 Não é Subconjunto Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se: A B ( lê-se A não está contido em B ) ou B A ( lê-se B não contém A ) Exemplo: (a) {a, b, c} {a, b, d}

27 Conjuntos cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos: P = {, {a}, {b}, {a, b}} Nesse caso, é elemento de P e, portanto, escrevemos P e não P. {a} P, {b} P, {a, b} P. Alguns subconjuntos de P: { } P; {{a}} P; {{a, b}} P; {{a}, {b}} P.

28 Conjunto das Partes de um Conjunto Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A: com nenhum elemento: com um elemento: {1}, {2} com dois elementos: {1,2} Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.

29 Conjunto das Partes de um Conjunto Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

30 Número de Elementos de P(A) A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}. P(A) tem 4 (2 2 ) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (2 3 ) subconjuntos. Se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2 n.