Lógica e Matemática Discreta

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1 Lógica e Matemática Discreta Teoria Elementar dos Conjuntos Prof Clezio 04 de Junho de 2010 Curso de Ciência da Computação

2 Noções básicas Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula: A, B, C,... X, Y, Z Os objetos que constituiem um conjunto denomina-se elementos do conjunto, são representados por letras latinas minúsculas: a, b, c,... x, y, z O conjunto A cujos elementos são a, b, c,... serão denotados por: Exemplos: A = {a, b, c,...} 1. Conjunto das vogais do alfabeto português {a, e, i, o, u}; 2. Conjunto dos dias da semana {segunda feira, terça feira, quarta feira, quinta feira, sexta feira, sábado, domingo} 1

3 Noções básicas Conjuntos são particularmente úteis em programão para definir variáveis, constantes, strings, listagens, etc. Relação de pertinência: Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, escreve-se: x A. ara indicar que um elemento x não pertence ao conjunto A, escreve-se: x / A. Conjunto Universo: Definição: Chama-se conjunto universo ou apenas universo de uma teoria o conjuntos de todos os entes que são sempre considerados como elementos dessa teoria. É usual usual também chamar o conjunto universo de conjunto fundamental da teoria e representa-se pela letra U. 2

4 Noções básicas Exemplos: 1. Em aritmética o conjunto universo é o conjunto Z, de todos os números inteiros; 2. Em Cálculo Diferencial e integral o conjunto universo é o conjunto R de todos os números reais; 3. Em geometria espacial o conjunto universo é formado pelos pontos do espaço tridimensional. Diagramas de Ven Em um diagrama de Venn o Universo é representado por um retângulo e os demais conjuntos por círculos dentro do retângulo. 3

5 Determinação de um Conjunto De um modo geral, diz-se que um conjunto A é dado ou definido em um universo U quando se conhece uma critério, uma propriedade, que permite saber se um elemento de U pertence a A. Há duas formadas de definir um conjunto em um universo U. I) Enumerando individualmente todos os elementos que pertencem ao conjunto; A = {=, +, %, &, 1} II) Através de uma propriedade p(x) definida sobre elementos do universo U, podemos formar o conjunto A dos elementos de U que satisfazem a propriedade p(x). Simbolicamente: A = {x U p(x)} 4

6 Noções básicas Definição: Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se e somente se todos elemento que pertence a um deles também pertence ao outro. Exprime-se a igualdade dos conjuntos A e B pela notação usual A = B. Simbolicamente, escrevemos A = B ( x)(x A x B) Exprime-se que o conjunto A não é igual ao conjunto B pela notação usual A B. Simbolicamente, escrevemos A B ( x)(x A x / B) ( y)(y B y / A) 5

7 Igualdade de conjuntos Exemplos: 1) {5, 6, 7} = {7, 5, 6} = {5, 5, 6, 6, 7} 2) {x x 2 3x + 2 = 0} = {1, 2} = {1, 2, 2, 1} 3) {x N 5 < x < 9, x 7} = {x N 5 < x < 9, xé par} 6

8 Relação de Inclusão Dois conjuntos quaisquer podem ser comparados pela relação de inclusão. Definição: Diz-se que um conjunto A está contido em um conjunto B se e somente se todo elemento de A também é um elemento de B. Notação: A B Simbolicamente, A B ( x)(x A = x B) B A Quando A está contido em B também se diz que B contem A, o que se indica pela notação B A, que se Lê B contém A. 7

9 Relação de Inclusão A Negação de A B indica-se pela notação A B, que se lê: A não está contido em B. É claro que A B se e somente se existe pelo menos um elemento de A que não é elemento de B, ou seja, A B ( x)(x A X / B) Assim como fizemos antes, escrevemos B A, que se lê B não contém A 8

10 Relação de Inclusão Exemplos: 1) {1, 2} {1, 2, 5} 2) O conjunto P dos números naturais pares está contido no conjunto N dos números naturais: P N 3) O conjunto A dos números naturais terminados em 5 está contido no conjunto B dos números naturais divisíveis por 5: A B 4) Sejam A o conjunto dos quadrados, B o conjunto dos retângulos e C o conjuntos dos paralelogramos: Temos A B, A C e B C. 9

11 Propriedades da Inclusão A relação de inclusão possui as seguintes propriedades: 1) Reflexiva: A A; 2) Transitiva: A B B C = A C 3) Anti-simétrica: A B B A = A = B 4) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, ( A)( A). 5) Qualquer que seja o conjunto A em um universo U, A está contido em U, ou seja, ( A)(A U). A propriedade anti-simétrica nos fornece um método para demonstrar a igualdade entre dois conjuntos A e B. 10

12 Conjunto Comparáveis Definição: Dois conjuntos A e B dizem-se comparáveis se A B ou B A. A e B não são comparáveis se A B e B A. Nesse caso existe um elemento de A que não está em B e existe um elemento de B que não está em A. Exemplos: 1) O conjunto A = {a, b} e {a, b, c} são comparáveis, pois A está contido em B. 2) Os conjuntos C = {1, 2} e D = (2, 3, 4) não são comparáveis, pois 1 C e 1 / D e 3 De 3 / C. 11

13 Subconjuntos Definição: Todo conjunto A que está contido em um conjunto B (A B) diz se subconjunto ou parte de B. Como B sempre está contido em si mesmo (B B), B é uma parte de B que é chamada de parte cheia de B. O conjunto vazio também está em B ( B), ou seja é parte de B que é chamada de parte vazia de B. Se A B não é nem vazio e nem é a parte cheia de B, dizemos que A é um subconjunto próprio ou uma parte própria de B. 12

14 Conjunto das Partes de um Conjunto Definição: Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto cujos elementos são todas as partes de E, inclusive a parte cheia e a parte vazia. O Conjunto das partes de E é representado por P(E) e seus elementos são os subconjuntos X tais que X E. Simbolicamente: P(E) = {X X E} Se E for um conjunto finito então P(E) tem 2 n elementos. Teorema: Quaisquer que seja os conjuntos E e F, tem-se: E F P(E) P(F ) 13

15 Complementar de um subconjunto Seja A uma parte de um conjunto E (A E). Definição: Chama se complementar de A em relação a E ou complemento de A em relação E, o conjunto de todos os elementos de E que não pertencem à A. Notação:E A = {x x E x / A}. denotaremo U A por A c ou A. Se E é o conjunto universo U E E A A O conjunto E em relação ao qual se determina o complementar, chama se conjunto de referência ou referencial. 14

16 Propriedades do Complementar Sejam A e B partes de um conjunto E. 1) E = E 2) E E = 3) E (E A) = A 4) A B = E B E A Observação: Para conjuntos quaisquer A e B em um universo U tem-se: C = U, U c =, (A c ) c = A, A B B c A c. 15

17 Definição: Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Notação: A B e se lê A inter B. Simbolicamente: A B = {x x A x B} Logo x A B x A x B. Exemplos 1) {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {3, 4} 2) N Z = N 3) Q R = Q 4) Sejam os conjuntos A = {x N x é múltiplo de 2} e B = {x N x é múltiplo de 3} então A B = {x N x é múltiplo de 6}. 5) {x R x > 2 {x R x 5} = {x R 2 < x 5} 16

18 Definição: Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se não tem elementos comuns. Portanto A e B são disjuntos se e somente se a interseção de A e B é o conjunto vazio: A B = Simbolicamente A e B são disjuntos A B = 17

19 Propriedades da Inclusão e da Interseção 1) A B A e A B B 2) A B A B = A 3) C A C B C A B 4) A B = A C B C 18

20 Propriedades da Interseção 1) A = 2) A U = A 3) A A C = 4) A A = A 5) Comutativa: A B = B A 6) Associativa: (A B) C = A (B C) Em vista da propriedade associativa escrevemos simplesmente A B C sem utilizar os parênteses. 19

21 Definição: Chama se interseção do n conjuntos A 1, A 2, A 3,..., A n ao conjunto dos elementos que pertence simultaneamente a todos esses n conjuntos. n Notação: A 1 A 2 A 3... A n ou Simbolicamente: ou ainda i=1 A i n A i = {x x A 1 x A 2 x A 3... x A n } i=1 n A i = {x (i = 1, 2, 3,..., n)(x A i )} i=1 20

22 Consideremos um conjunto E e seja F uma coleção de partes de E. Definição: Chama-se interseção da coleção F ou apenas interseção de F ao conjunto de todos os elementos x de E que pertence a todos os subconjuntos X F. Notação: X ou {X X F} X F Simbolicamente: {a E ( X )(X F) = a X } X F 21

23 Seja E = {a, b, c, d, e} e F = {K, L, M}, onde K = {a, b, c, d}, L = {a, c, d}, M = {d, e} Tem-se X = {d} X F 22

24 Definição: Chama-se união (ou reunião) de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A B e se lê A união B. Simbolicamente: A B = {x x A x B} Logo x A B x A x B. Exemplos 1) {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) N Z = Z 3) Q R = R 4) {x R 2 < x} {x R x 5} = {x R 2 < x} 23

25 Propriedades da União 1) A = A 2) A U = U 3) A A C = U 4) A A = A 5) Comutativa: A B = B A 6) Associativa: (A B) C = A (B C) Em vista da propriedade associativa escrevemos simplesmente A B C sem utilizar os parênteses. 24

26 Propriedades da União 1) A = A 2) A U = U 3) A A C = U 4) A A = A 5) Comutativa: A B = B A 6) Associativa: (A B) C = A (B C) 25

27 Propriedades da interseção e da União Sejam A, B, e C conjuntos quaisquer em um universo U. 1) Lei de Absorção: A (A B) = A e B (A B) = B; 2) Distributividade da interseção em relação a união: A (B C) = (A B) (A C); 3) Distributividade da união em relação a interseção: A (B C) = (A B) (A C); 4) Leis de De Morgam: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. 26

28 As leis de De Morgam ( ) ensina, que i) O complementar de interseção é igual a união dos complementares de cada um dos conjuntos; ii) O complementar da união é igual a interseção dos complementares de cada um dos conjuntos. Em outras palavras a tomada de complementar transforma interseção em união e vice versa. 27

29 Definição: Chama se união de n conjuntos A 1, A 2, A 3,..., A n ao conjunto dos elementos que pertence a pelo menos um desses n conjuntos. n Notação: A 1 A 2 A 3... A n ou A i. Simbolicamente: ou ainda i=1 n A i = {x x A 1 x A 2 x A 3... x A n } i=1 n A i = {x i(i = 1, 2, 3,..., n)(x A i )} i=1 28

30 Consideremos um conjunto E e seja F uma coleção de partes de E. Definição: Chama-se União da coleção F ou apenas união de F ao conjunto de todos os elementos x de E que pertence a, pelo menos, um dos subconjuntos X F. Notação: X ou {X X F} X F Simbolicamente: {a E ( X )(X F) = a X } X F 29

31 Princípio de Dualidade. As propriedade de reunião, interseção e complementação e suas consequências constituem a chamada Álgebra de Conjuntos. Toda propriedade relativa a subconjuntos de um mesmo conjunto universo U em que intervenha, no todo ou em partes, as operações de união, interseção, complementação e as relações =, ou, resulta em outra propriedade, conservando-se o sinal = e trocando entre si os símbolos e, e, e U. Duas propriedades que se podem obter uma da outra por este princípio de dualidade dizem duais. 30

32 Simplificação de Expressões. As propriedade das operações sobre conjunto permitem simplificar expressões de conjuntos. 1) A B A c = (A A c ) B = B = 2) A (A c ) = A (A c = U 3) (A B) B c = (A B c ) (B B c ) = (A B C ) = A B c 4) (A B) (A c B) = (A A c ) B = U B = B 5) (A B) c (A c B) = (A c B c ) (A c B) = A c (B c B) = A c U = A c. 31

33 Exemplo: A segunda fase de um concurso público foi constituída de dois problemas: 340 candidatos acertaram somente um problema. 300 acertaram o segundo. 120 acertaram os dois problemas e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova? e quantos acertaram pelo menos um dos problemas? Solução: Vamos fazer a distinção dos conjuntos A: conjunto dos candidatos que acertaram o primeiro problema; B: conjunto dos candidatos que acertaram o segundo problema; U: conjunto dos candidatos que fizeram a prova. Analisando as informações dadas, temos que: 1 ) 120 acertaram os dois problemas n(a B) = 120; 2 ) 300 candidatos acertaram o segundo problema (Observe que não foi dito que acertaram somente o segundo problema). 32

34 Para determinarmos quantos candidatos acertaram somente o segundo problema, faremos: = ) 340 candidatos acertaram somente um problema como 180 acertaram somente o segundo problema, fazendo = 160 é o número de candidatos que acertaram somente o primeiro problema. 4 ) n(s A) = 250 candidatos erraram o primeiro problema nesse grupo estão incluídos os candidatos que acertaram somente o segundo problema e os que erraram os dois problemas. Dessa forma, = 70 é o número de candidatos que erraram os dois problemas. 33

35 Agora podemos responder à pergunta do problema. Total = número de candidatos que acertaram somente o primeiro problema + número de candidatos que acertaram somente o segundo problema + número de candidatos que acertaram os dois problemas + número de candidatos que erraram os dois problemas. Ou seja, Total = = 530 Assim, concluímos que 530 candidatos fizeram a prova. 34