Teoria dos Conjuntos 1. Definição Hora do Exemplo:

Transcrição

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2 1. Definição 2. Denotação 3. Representação 4. Diagrama de Venn 5. Relação de Pertinência 6. Família de Conjuntos 7. Igualdade de Conjuntos 8. Desigualdade de Conjuntos 2

3 1. Definição: Intuitivamente, por conjunto entenderemos qualquer coleção bem definida de objetos distinguíveis, não importando sua natureza. Os objetos que constituem um conjunto são chamados de elementos do conjunto. Hora do Exemplo: 1. No conjunto das vogais do alfabeto, cada uma das vogais é um elemento: A = {a, e, i, o, u} 1. No conjunto dos alunos de uma disciplina, cada um dos alunos é um elemento: B = {Alex, Maria, Francisco, Ricardo, Eduarda,..., Renata} 2. Uma reta pode ser considerada um conjunto dos pontos, neste caso cada ponto dessa reta é um elemento do conjunto: C = {A, B, C, D,...} 3

4 2. Denotação: É costume denotar conjuntos usando letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Por exemplo: o conjunto A cujos elementos são a, b e c, será representado pela notação: A = {a, b, c} que deve ser lida: A é o conjunto cujos elementos são a, b e c. Note que os elementos são separados por vírgulas e delimitados por chaves. Também é costume dos matemáticos denominar conjuntos por letras significativas, ou seja, letras que tenham algum tipo de ligação com os elementos do conjunto. Hora do Exemplo: O conjunto das letras da palavra Matemática : L = {m, a, t, e, i, c}. Aqui foi escolhida a letra L por lembrar a palavra letras. 4

5 3. Representação: Um conjunto pode ser representado entre chaves de duas maneiras: por extenso, enumerando elemento por elemento ou abreviadamente, destacando uma propriedade comum apenas aos seus elementos. Hora do Exemplo: Os elementos do conjunto A são os divisores de 24. A representação entre chaves pode ser feita: a) Por extenso A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ou b) Abreviadamente A = {x x é divisor positivo de 24} 5

6 4. Diagrama de Venn: é a representação de um conjunto com o auxilio de uma linha fechada e não entrelaçada e seus pontos interiores (balão). Hora do Exemplo: Os elementos do conjunto A são os divisores de 24. A representação pelo diagrama de Venn é: 6

7 5. Relação de Pertinência: Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, escrevemos x A, e para indicar que um elemento y não pertence ao conjunto A, escrevemos y A. Hora do Exemplo: Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, então 1 A, 2 A, e 6 A. Desafio Considere o conjunto M = {x x são números pares menores que 20}. Pode-se afirmar que o número 20 pertence ao conjunto M? 7

8 6. Família de Conjuntos: Um conjunto cujos elementos também são conjuntos é chamado de família de conjuntos. Por exemplo, F = {{2, 3}, {2}, {5, 6, 7}} é uma família de conjuntos, cujos elementos são {2, 3}, {2}, e {5, 6, 7}. Neste caso {2, 3} F, {2} F e {5, 6, 7} F. Note que 2 F e 5 F, pois os elementos de F não são números, são conjuntos! Também faz sentido considerar um conjunto no qual alguns elementos são conjuntos e outros não. Por exemplo: F = {{2, 3}, 2, {5}}. Aqui {2, 3} F, 3 F, 2 F, {2} F, {5} F e 5 F. 8

9 7. Igualdade de Conjuntos: Dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos, em qualquer ordem. 8. Desigualdade de Conjuntos: Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro. Hora do Exemplo: 1. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {x x é impar positivo e menor que 7}. Temos que A = B. 2. Dados os conjuntos M = {9, 11, 13,...} e N = {x x é impar positivo e maior ou igual a 7}. Temos que M N. 9

10 Resolvendo Exercícios Questão 01 Utilizar os símbolos e, relacionando os elementos com os conjuntos: A = {a, e, i, o, u} B = {b, c, d, f, g} Resolução a) a e A b) u e B c) c e B d) d e A 10

11 Resolvendo Exercícios Questão 02 Representar, abreviadamente e por extenso, o conjunto A dos múltiplos negativos de 3. Resolução 11

12 Resolvendo Exercícios Questão 03 Relacionar os conjuntos utilizando os símbolos = ou. Resolução a) A = {1, 3, 5, 7} e B = {x x é um número impar, positivo, menor que 9} b) A = {verde, amarelo} e B = {x x é uma cor da bandeira do Brasil} 12