Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se
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- Eliana Teves Damásio
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1 Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.
2 Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto. Exemplo: Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas
3 NOTÇÃO Todo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas,, C,..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula. Exemplo: O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. Se pode escrever assim: L = {a; b; c;...; x; y; z}
4 Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo: O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. o número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CRDINL DO CONJUNTO e se representa por n(q). Exemplo: = {a; b; c; d; e} seu cardinal n() = = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n() = 5 3
5 Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10} 2 M 5 M... se lê 2 pertenece ao conjunto M... se lê 5 não pertenece ao conjunto M
6 Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento. I) POR EXTENSÃO É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto. Exemplos: ) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20. = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }
7 ) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10. = {-9; -7; -5; -3; -1 } II) POR ENTENDIMENTO É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto. Exemplo: P = {os números dígitos } Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
8 Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito. Exemplo: Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana. Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo } Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }
9 Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn ( ) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada T e o i a u M (2;4) (5;8) (1;3) (7;6)
10 CONJUNTO VZIO É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } = ou = { } se lê: é o conjunto vazio ou é o conjunto nulo Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } 1 0 X P = { x / }
11 CONJUNTO VZIO É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } = ou = { } se lê: é o conjunto vazio ou é o conjunto nulo Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } 1 0 X P = { x / }
12 CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2 ; x / x 4 x 0 CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2 = 4 }
13 CONJUNTO INFINITO É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 }; S = { x / x é um número par } CONJUNTO UNIVERSL É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U Exemplo: O universo ou conjunto universal de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.
14 INCLUSÃO Um conjunto está incluso em outro conjunto, se e somente se, todo elemento de for também elemento de. NOTÇÃO : Se lê : está incluso em, é subconjunto de, está contido em, é parte de. REPRESENTÇÃO GRÁFIC :
15 PROPRIEDDES: I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) está incluido em ( que contém ( ) ) equivale a dizer IV) Se não está incluido em ou não é subconjunto de significa que pelo menos um elemento de não pertence a. ( ) V) Simbolicamente: x x
16 CONJUNTOS COMPRÁVEIS Um conjunto é COMPRÁVEL com outro conjunto se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão. é comparável com se U = U Exemplo: = { 1; 2; 3; 4; 5 } e = { 2; 4 } Observe que está incluso em, portanto, e são COMPRÁVEIS
17 IGULDDE DE CONJUNTOS Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos. Exemplo: = { x / x 2 = 9 } y = { x / (x 3)(x + 3) =0 } Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: = {-3; 3} y = {-3; 3}, portanto = Simbolicamente : ( ) ( )
18 CONJUNTOS DISJUNTOS Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns. REPRESENTCÃO GRÁFIC : Como podemos observar os conjuntos e não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS
19 CONJUNTO DE CONJUNTOS É um conjunto cujos elementos são conjuntos. Exemplo: F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} } Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos. {a} é um elemento do conjunto F então {a} F É correto dizer que {b} F? NÃO Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F
20 CONJUNTO POTÊNCI O conjunto potência de um conjunto denotado por P() ou Pot() é o conjunto formado por todos os subconjuntos de. Exemplo: Seja = { m; n; p } Os subconjuntos de são: {m}, {n}, {p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}, Φ Então o conjunto potência de é: P() = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ } QUNTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCI DE?
21 Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5;...} Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;...} Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2;...} 2 Números Irracionais ( I ) I = {...; ;...} 2; 3; Números Reais ( R ) R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3;...} 2; 3 Números Complexos ( C ) 1 2 C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3;...} 5 2 2; 3 3
22 C R N Z Q I
23 P={3} EXEMPLOS: Q={-3;3} ) P x N/ x ) C ) D ) E ) 2 Q x Z / x F x R / x 9 0 T x Q /(3x 4)(x 2) 0 x I/(3x 4)(x 2) 0 F = { } T RESPOSTS
24 O conjunto unão que se representa conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a, a ou a ambos os conjuntos é o Exemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8; ;2;3;4;5;6;7;8;9 x / x x
25 REPRESENTÇÕES GRÁFICS D UNÃO DE CONJUNTOS Se e são não comparáveis U Se e são comparáveis U U Se e são conjuntos disjuntos U U
26 1. U = PROPRIEDDES D UNIÃO DE CONJUNTOS 2. U = U 3. U Φ = 4. U U = U 5. (U)UC = U(UC) 6. Se U = Φ = Φ e = Φ
27 O conjunto intersecção que se representa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a e pertencem a. Exemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8;9 é x / x x 5;6;7
28 REPRESENTÇÕES GRÁFICS D INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Se e são não comparáveis Se e são comparáveis U U Se e são conjuntos disjuntos = Φ U =
29 PROPRIEDDES D INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 1. = 2. = 3. Φ = Φ 4. U = 5. ( ) C = ( C) 6. U ( C) =( U ) ( U C) ( U C) =( ) U ( C)
30 O conjunto menos que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a e não pertencem a. Exemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8; x / x x 1;2;3;4
31 O conjunto menos que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a e não pertencem a. Exemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8; x / x x 8;9
32 REPRESENTÇÕES GRÁFICS D DIFERENÇ DE CONJUNTOS Se e são não comparáveis U Se e são comparáveis U - Se e são conjuntos disjuntos = U -
33 O conjunto diferença simétrica que se representa é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a ( - ) ou ( - ). Exemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8; ;2;3;4 8;9 x / x ( ) x ( )
34 Também é correto afirmar que: ( ) ( ) - - ( ) ( )
35 Dado um conjunto universo U e um conjunto, se chama complemento de ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto. Notacão: ou C Simbolicamente: Exemplo: ' x / x U x = U - U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} = {1; 3; 5; 7; 9} e
36 U = {2; 4; 6; 8} PROPRIEDDES DO COMPLEMENTO 1. ( ) = 4. U = Φ 2. U = U 5. Φ = U 3. = Φ
37 Dados os conjuntos: = { 1; 4; 7; 10;... ; 34} = { 2; 4; 6;...; 26} C = { 3; 7; 11; 15;...; 31} a) Expressar e C por entendimento b) Calcular: n() + n() c) char:, C
38 Primeiro analisemos cada conjunto Os elementos de são: tt1tt 1 3x0 tt4tt 1 3x1 tt7tttt10tt 1 3x2 1 3x3... = { 1+3n / nz / 0 n 11} tt34tt 1 3x11 n() = 12 Os elementos de são: tt2tt tt4tt tt6tt tt8tt... tt26tt 2x1 2x2 2x3 2x4 2x13 = { 2n / nz / 1 n 13} n() = 13
39 Os elementos de C são: tt3tt tt7tt tt11tttt15tt... tt31tt 34x0 34x1 34x2 34x3 34x7 C = { 3 + 4n / nz / 0 n 7 } n(c) = 8 a) Expressar e C por entendimento = { 2n / nz / 1 n 18} C = { 3+4n / nz / 0 n 7 } b) Calcular: n() + n() n() + n() = = 25
40 c) char:, C = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26} C = {3;7;11;15;19;23;27;31} Sabemos que é formado pelos elementos comuns de e, então: = { 4; 10; 16; 22 } Sabemos que C - é formado pelos elementos de C que não pertencem a, então: C = { 3; 11; 15; 23; 27 }
41 Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 } Determinar se é verdadeiro ou falso: a) Φ G b) {3} G c) {{7}; 10} G d) {{3}; 1} G e) {1; 5; 11} G
42 Observe que os elementos de G são: Então: a) Φ G... 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 é VERDDEIRO porque Φ está incluso em todos os conjuntos b) {3} G... é VERDDEIRO porque {3} é um elemento de G c) {{7}; 10} G... é FLSO porque {{7};10} não é elemento de G d) {{3}; 1} G... é FLSO e) {1; 5; 11} G... es VERDDERO
43 Dados os conjuntos: P = { xz / 2x 2 + 5x 3 = 0 } M = { x/4n / -4 < x < 21 } T = { xr / (x 2-9)(x - 4) = 0 } a) Calcular: M - ( T P ) b) Calcular: Pot(M T ) c) Calcular: (M U T) P
44 nalisemos cada conjunto: P = { xz / 2x 2 + 5x 3 = 0 } 2x 2 + 5x 3 = 0 2x 1 x + 3 (2x-1)(x+3)=0 2x - 1 = 0 x = 1/2 x + 3 = 0 x = -3 Observe que xz, então: P = { -3 } M = { x/4n / -4 < x < 21 } Como x/4 N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto : M = {1; 2; 3; 4; 5 }
45 T = { xr / (x 2-9)(x - 4) = 0 } Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x x 4 = 0 x = 4 x 2 9 = 0 x 2 = 9 x = 3 ou x = -3 Portanto: T = { -3; 3; 4 } a) Calcular: M - ( T P ) T P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T P = {3; 4 } M - (T P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 } M - (T P)= {1; 2; 5 }
46 b) Calcular: Pot( M T ) M T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M T = {1; 2; 5 } Pot( M T ) = { {1}; {2}; {5};{1;2};{1;5};{2;5}; {1;2;5}; Φ } c) Calcular: (M U T) P M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 } (M U T) P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 } (M U T) P = {1; 2; 3; 4; 5 }
47 Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos, e C. C C
48 [() C] C C [(C) ] C C [(C) ] U U
49 C Observe como se obtém a região sombreada Toda a zona de amarelo é U zona de verde é Então, restando se obtém a zona que se vê na figura: (U) - () Finalmente, lhe agregamos C e se obtém: [ (U) - () ] U C ( ) U C = C
50 Segundo as preferências de 420 pessoas que assistem os canais, ou C se observa que 180 assistem o canal, e 240 assistem o canal e 150 não assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais são 230. Quantos assistem os três canais?
51 O universo é: 420 ssistem : 180 ssistem : 240 Não assistem C: 150 Então, se assistem o canal C: = 270 a C d e x c f b (I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 Fato: ssistem por lo menos dos canales 230, entonces: (IV) d + e + f + x = 230
52 Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = então: a + b + c = 190 Somamos as equações (I), (II) e (III) (I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = x =690 x = 40 Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais
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