n. 25 DIAGRAMAS DE VENN

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1 n. 25 DIAGRAMAS DE VENN Foi o matemático inglês John Venn ( ) que criou os diagramas, com o intuito de facilitar a compreensão na relação de união e intersecção entre conjuntos. John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler, visto que, o método de Venn superava os sistemas anteriores em termos de clareza e simplicidade. Venn foi o primeiro a formalizar o seu uso e a dotá-lo de um mecanismo de generalização. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. O próprio Venn não se referia aos diagramas como sendo da sua autoria, mas sim como círculos eulerianos, fazendo referência aos diagramas criados por Leonhard Euler no século XVIII. Foi a partir da década de 1960, que os diagramas de Venn eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática, na aprendizagem da teoria dos conjuntos e

2 de funções, como parte do movimento da Matemática Moderna. Vitral no refeitório do Caius College, Universidade de Cambridge, em homenagem a Venn e a seus diagramas. Fonte: < Acesso em: 20 maio Os Diagramas de Venn são frequentemente usados para mostrar relações lógicas entre um número finito de conjuntos: o retângulo externo representa o conjunto universal, U (o conjunto de todos os elementos possíveis); os círculos fechados representam os conjuntos distintos de elementos. As propriedades fundamentais de um conjunto podem ser evidenciadas da seguinte forma: A refere-se à um conjunto de elementos no qual dividimos algumas características definitivas, e podem ser ilustradas com a cor vermelha no interior do círculo denotado por A.

3 A, o complemento de A, refere-se ao conjunto contendo todos os elementos no conjunto universal U que não pertencem a A. Isto pode ser ilustrado com a cor vermelha no interior do retângulo, mas fora do círculo A. Simbolicamente o complementar pode ser representado por: A, A e A Relações existentes entre dois conjuntos A interseção dos conjuntos A e B, denotados por A B refere-se ao conjunto contendo apenas elementos que pertencem ambos A e a B. O que pode ser ilustrado com a cor vermelha, ou seja, a interseção de dois círculos A e B. Dois conjuntos são ditos como disjuntos se eles não possuem elementos em comum e sua interseção for vazia, denotamos A B =.

4 A união dos conjuntos A e B, denotados A B, refere-se ao conjunto contendo todos os elementos distintos no qual pertencem à A ou B. Isto pode ser ilustrado com a cor vermelha em ambos os círculos A e B, incluindo sua interseção (desde que todos os elementos da interseção pertencem ambos a A e a B, eles devem ser listados uma única vez quando se estiver descrevendo os elementos da união). Observe que, a união de A e A universal inteiro U. Logo, A A = U. contém o conjunto Como não há elementos comuns a ambos A e A, temos que estes dois conjuntos são disjuntos e então A A =. Observe que: a interseção de A e B resulta no complemento de A B.

5 já a união de A e B resulta no complemento de A B. Estas propriedades são conhecidas como Leis de De Morgan: (A B) = A B (A B) = A B LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 1. O complementar da união de dois conjuntos A e B é a intersecção dos complementares desses conjuntos. (A B) = A B

6 (A B) = { x / x U e x (A B)} (A B) = { x / x U e ( x A e x B) (A B) = { x / x U ( x A x B) (A B) = { x / (x U x A ) ( x U x B) Logo, (A B) = { x / x A x B } (A B) = A B 2. O complementar da união de uma coleção finita de conjuntos é a intersecção dos complementares desses conjuntos. (A 1 A 2 A n ) = A 1 A 2 A n 3. O complementar da intersecção de dois conjuntos A e B é a união dos complementares desses conjuntos. (A B) = A B (A B) = { x / x U e x (A B)} (A B) = { x / x U e ( x A ou x B) (A B) = { x / (x U e x A) ou (x U e x B) (A B) = { x / (x U x A ) ( x U x B) Logo, (A B) = { x / x A ou x B } (A B) = A B

7 4. O complementar da intersecção de uma coleção finita de conjuntos é a união dos complementares desses conjuntos. (A 1 A 2 A n ) = A 1 A 2 A n Resumindo: Venn procurou encontrar formas de diagramas capazes de representar mais do que três conjuntos. Desenvolveu também um método geral para qualquer número de conjuntos, em que cada curva sucessiva delimita um conjunto que perpassa todos os outros.

8 Fonte: ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Os conjuntos obtidos pela união, intersecção e diferença são obtidos por operações sobre subconjuntos de um determinado conjunto U. Essas operações se comportam de maneira semelhante às operações aritméticas.

9 Teorema: Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, então: a. Associatividade da união: A (B C) = (A B) C Seja o conjunto A (B C) constituído pelos elementos x, tais que: x A ou x (B C) Mas, por definição de B C: x A (x B x C) Analogamente, o conjunto (A B) C, constituído pelos elementos x, tais que: x (A B) ou x C Mas, por definição de A B: (x A x B) x C Pela Propriedade Associativa da Disjunção temos que (p q) r p (q r) Logo, A (B C) = (A B) C b. Associatividade da intersecção: A (B C) = (A B) C Seja o conjunto A (B C) constituído pelos elementos x, tais que: x A e x (B C) Mas, por definição de B C: x A (x B x C) Analogamente, o conjunto (A B) C, constituído pelos elementos x, tais que: x (A B) e x C Mas, por definição de A B: (x A x B) x C Pela Propriedade Associativa da Conjunção temos que (p q) r p (q r) Logo, A (B C) = (A B) C

10 c. Comutatividade da união: A B = B A Pela definição de união de conjuntos temos que: A B = { x U/ x A ou x B} B A = { x U/ x B ou x A} A B é o conjunto dos elementos de U que pertencem a A ou a B. B A é o conjunto dos elementos de U que pertencem a B ou a A. Como a disjunção de proposições goza da propriedade comutativa, temos que: p q q p Logo, A B = B A d. Comutatividade da intersecção: A B = B A Pela definição de intersecção de conjuntos temos que: A B = { x U/ x A e x B} B A = { x U/ x B e x A} A B é o conjunto dos elementos de U que pertencem a A e a B. B A é o conjunto dos elementos de U que pertencem a B e a A. Como a conjunção de proposições goza da propriedade comutativa, temos que: p q q p Logo, A B = B A

11 e. Distributividade da união com relação à intersecção: A (B C) = (A B) (A C) Em geral demonstrações de igualdade do tipo: M = N é feita mostrando que M N e N M. Logo, devemos mostrar que: [A (B C)] [(A B) (A C)] e { [(A B) (A C)] [A (B C)] i. [A (B C)] [(A B) (A C)] Seja x um elemento de A (B C). Então, x A x (B C) Logo, x A ( x B x C) Como pela Propriedade Distributiva da Conjunção e da Disjunção, temos que: p (q r) (p q) (p r) Assim, podemos então escrever: (x A x B) (x A x C) Por definição, colocando na linguagem da teoria de conjuntos temos: x [(A B) (A C)] ii. [(A B) (A C)] [A (B C)] Seja x um elemento de (A B) (A C).

12 Então, [x (A B)] [x (A C)] (x A x B) (x A x C) x A (x B x C) Como pela Propriedade Distributiva da Conjunção e da Disjunção, temos que: p (q r) (p q) (p r) Podemos então escrever: x [(A B) (A C)] Por definição, colocando na linguagem da teoria de conjuntos temos: x [A (B C)]. f. Distributividade da intersecção com relação à união: A (B C) = (A B) (A C) Devemos provar que: [A (B C)] [(A B) (A C)] e { [(A B) (A C)] [A (B C)] i. [A (B C)] [(A B) (A C)] Seja x um elemento de A (B C). Então, x A x (B C) Logo, x A ( x B x C) Como pela Propriedade Distributiva da Conjunção e da Disjunção, temos que: p (q r) (p q) (p r) Logo, podemos escrever:

13 (x A x B) (x A x C) Na linguagem da teoria de conjuntos esta proposição é escrita como: x (A B) x (A C) x [(A B) (A C)] (A B) (A C) ii. [(A B) (A C)] [A (B C)] Seja x um elemento de (A B) (A C). Então, x (A B) x (A C) Logo, (x A x B) (x A x C) Como pela Propriedade Distributiva da Conjunção e da Disjunção, temos que: p (q r) (p q) (p r) Logo, podemos escrever: x A ( x B x C) Na linguagem da teoria de conjuntos esta proposição é escrita como: x A x (B C) x A (B C) A (B C) g. Idempotência da união: A A = A Como qualquer conjunto está contido nele próprio, então: A A e, portanto, A A = A h. Idempotência da intersecção: A A = A Como qualquer conjunto está contido nele próprio, então: A A e, portanto, A A = A

14 i. Leis de absorção: A (A B) = A e A (A B) = A A (A B), portanto, A (A B) = A (A B) A, portanto, A (A B) = A PROPRIEDADES DO COMPLEMENTAR Sejam A e B partes de um conjunto E (A, B E) i. E = E (o complementar do conjunto vazio em relação ao conjunto E é igual ao conjunto E). E = { x / x E e x } E = { x / x E }

15 E = E ii. E E = (o complementar do conjunto E em relação ao conjunto E é igual ao conjunto vazio). E E = { x / x E e x E} E E = iii. E ( E A) = A E ( E A) = { x / x E e x E A} E ( E A) = { x / x E e x A} E ( E A) = { x / x A} E ( E A) = A Aqui é a intersecção dos dois conjuntos, logo, vai dar o conjunto A.

16 iv. A B E A E B Suponhamos que A B Então, x E B x E x B x E x A x E A Portanto, E B E A, isto é, E A E B Suponhamos agora que E A E B Então, x A x E A x E B x B Portanto, A B Conclusão: A complementação transforma a inclusão na inclusão oposta, isto é, muda o sentido da inclusão.

17 Obs.: para quaisquer conjuntos A e B num universo U, temos: i. U = U ii. U U = iii. U ( U A) = A iv. A B U A U B Exercícios: 1. Seja A = { { }, }, verifique quais das sentenças são verdadeiras ou falsas: a. { { }} A b. A c. { } A d. { { }} A e. A f. { } A Resoluções: a. { { }} A = Falsa b. A = Verdadeira c. { } A = Verdadeira d. { { }} A = Verdadeira e. A = Verdadeira

18 f. { } A = Falsa Os exercícios a seguir foram retirados de: < gabaritos_conjuntos_resolucao.pdf>. Acesso em: maio 2017.

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23 Referências bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. 20 ed. 1ª reimpressão. São Paulo: Nobel, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, DIAGRAMAS DE VENN. Disponível em: < Acesso em: 20 maio CONJUNTOS. Disponível em: < gabaritos_conjuntos_resolucao.pdf>. Acesso em: maio PROPRIEDADES DE CONJUNTOS. Disponível em: < Acesso em: maio 2017.

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