Prof. a : Patrícia Caldana

Transcrição

1 CONJUNTOS ESPECIAIS Conjunto Vazio O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto vazio usaremos os símbolos: { } ou. Atenção: Quando os símbolos { } ou, aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto, o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado. Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A listado, que A, pois é um elemento do conjunto A. Pois, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo. Também sempre será verdade que: i) A para qualquer que seja o conjunto A. ii) ii) A A para qualquer que seja o conjunto A. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo. Conjunto Unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. Exemplos Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2} Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua} Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6} Conjunto das Partes O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos. Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o próprio conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i}, encontre P( A ). Número de elementos do conjunto das partes Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a notação n(a). E o número de elementos do conjunto das partes será indicado por n[p(a)]. Daí:

2 Assim, um conjunto com 3 elementos, terá 2 3 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o conjunto A terá no total 8 subconjuntos. Exemplo: Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos: 1º) Subconjunto vazio:, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}. 4º) Subconjuntos com três elementos: A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo. Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = {, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} Conjunto Universo É o conjunto representativo de todos os elementos da conjuntura na qual estamos trabalhando, e também de todos os conjuntos relacionados. Na representação do conjunto universo utilizamos a letra maiúscula U. Igualdade de Conjuntos Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez. Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c} Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: A B A B e B A Exemplos: {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1} Observação: Se o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos afirmar que A = B. Saiba mais sobre conjuntos:

3 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS UNIÃO ( ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A B {x x A ou x B} Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Nos diagramas abaixo A B,é a região hachurada: Propriedades imediatas: a) A A = A b) A = A c) A B = B A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A U = U, onde U é o conjunto universo. INTERSEÇÃO ( ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A B {x x A e x B} Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Nos diagramas abaixo A B é região hachurada:

4 Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos disjuntos Propriedades imediatas: a) A A = A b) A = c) A B = B A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A U = A onde U é o conjunto universo. DIFERENÇA DE CONJUNTOS A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Matematicamente: A B {x x a e x B} Nos diagramas abaixo A B, é a região hachurada: Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é, que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B A, a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A. Exemplo: Dados os conjuntos A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7}, percebemos que B A. Então, dizemos que o conjunto complementar é dado por A - B = {3, 4}, ou seja, o conjunto complementar é aquele formado pelos elementos que faltam ao B para ser igual ao A. Pode ser simbolizado por: = {3, 4}

5 Número de elementos da união de conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(a) e o número de elementos de B seja n(b). O número de elementos da união de dois conjuntos A e B será: n(a B) n(a) n(b) n(a B) Saiba mais sobre operações entre conjuntos

6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos: A B = {5} Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos: B C = { } ou B C =, então B e C são conjuntos distintos. Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E D = {3,4,5} ou E D = E, pode ser concluído também que E D. Exemplo 4:

7 Dados os conjuntos A = { x x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é : A U B = {0,1,2,3,4} Exemplo 5: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B. Exemplo 6: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2} Exemplo 7: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4,5} Exemplo 8: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é: A B = Exemplo 9: Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: A B = A B = {1,2,3,4}.