Teoria dos Conjuntos. Matemática Discreta. Teoria dos Conjuntos - Parte I. Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG.

Transcrição

1 Matemática Discreta Teoria dos Conjuntos - Parte I Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril

2 Letras maiúsculas: conjuntos. Letras minúsculas: elementos do conjunto. Pertinência: o símbolo denota que um elemento a pertence a um conjunto C, a C.

3 Se A = {roxo, verde, marrom, amarelo, vermelho}, então: verde A e azul A. Ordem dos elementos A ordem não importa: {roxo, verde, marrom, amarelo, vermelho} e {amarelo, verde, vermelho, roxo, marrom} são o mesmo conjunto.

4 Conjuntos podem ser finitos ou não. Para descrever um conjunto temos que identificar seus elementos. Se o conjunto é finito: basta listar todos.

5 E se o conjunto é infinito? 1) Podemos apresentar um padrão: {2, 4, 6,...} {2, 3,...} {2, 3,...}

6 E se o conjunto é infinito? 1) Podemos apresentar um padrão: {2, 4, 6,...} {2, 3,...} {2, 3,...}

7 E se o conjunto é infinito? 1) Podemos apresentar um padrão: {2, 4, 6,...} {2, 3, 5, 7,...} {2, 3, 4, 5, 6,...}

8 E se o conjunto é infinito? 2) Podemos definir recursivamente: 1 2 S 2 Se n S, então n + 2 S.

9 E se o conjunto é infinito? 3) Podemos identificar a propriedade relevante para determinar quais os elementos do conjunto e escrevê-la em palavras: {x x é um inteiro positivo par}. Esta última é a forma mais clara de apresentar um conjunto.

10 De forma geral, para o conjunto dos elementos x que satisfazem a propriedade P(x), escrevemos: S = {x P(x)} é o mesmo que: ( x)[(x S P(x)) (P(x) x S)}.

11 Exemplos A = {x ( y)(y {0, 1, 2} x = y 3 } B = {x x N ( y)(y N x y} C = {x x N ( y)(y N x > y}

12 Alguns conjuntos famosos tem um nome e símbolo padrão para representá-los: Z - números inteiros N - números naturais Q - números racionais R - números reais C - números complexos ou {} - conjunto vazio (sem elementos)

13 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Por exemplo, {Z, N, Q, R, C, {}}.

14 Quando todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B; denotamos A B. por definição: ( x)(x A x B).

15 Exemplo T é subconjunto de S? S = {x x é múltiplo de 4} T = {x x é múltiplo de 8} Prove: Se x é múltiplo de 8, então x é múltiplo de 4.

16 Diagramas de Venn Uma forma gráfica de representar conjuntos e suas relações é usar um Diagrama de Venn. Um retângulo representa o Universo (U) que contém todos os objetos em consideração. Círculos representam conjuntos de elementos desse universo.

17 Diagramas de Venn Exemplo de Diagrama de Venn para o conjunto das vogais. O Universo é o alfabeto da ĺıngua portuguesa. a e i u o Alfabeto

18 Diagramas de Venn Exemplo de Diagrama de Venn para A B em um universo U. U A B

19 Quando A B e A B, então: existem elementos em B que não pertencem a A; denotamos A B; dizemos que A está propriamente contido em B; ou que A é um subconjunto próprio de B.

20 Exemplo A = {1, 7, 9, 15} B = {7, 9} C = {7, 9, 15, 20} 15 C {7, 9} B {7} A C

21 Exemplo A = {1, 7, 9, 15} B = {7, 9} C = {7, 9, 15, 20} B C B A B A A C

22 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: a S? não!

23 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: a S? não!

24 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a} S? não!

25 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a} S? não!

26 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a} S? sim!

27 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a} S? sim!

28 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a, b} S? não!

29 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a, b} S? não!

30 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a, b} S? sim!

31 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {a, b} S? sim!

32 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {{a}, {b}} S? sim!

33 Pode-se ter um conjunto de conjuntos. Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}. Pergunta: {{a}, {b}} S? sim!

34 Igualdade de conjuntos Definição Dois conjuntos são iguais se eles contém os mesmos elementos: A = Bsignifica( x)[(x A x B)] Neste caso, A B e B A. A = {x x N x 2 < 15} B = {x x N 2x < 7} Prove: Se x N e x 2 < 15, então 2x < 7. Prove: Se x N e 2x < 7, então x 2 < 15.

35 Cardinalidade do Conjunto A cardinalidade é o tamanho do conjunto, ou seja, a quantidade de elementos que o mesmo contém. Exemplo: A = {a, d, f, j, k, s} tem cardinalidade 6. Denotamos: A = 6.

36 Exemplo: A = {x : x Z + x é ímpar x < 10}. Então A = 5.

37 Potência de Conjuntos A potência de um conjunto (ou conjunto das partes) é o conjunto dos seus subconjuntos. A = {2, 3, 4} P(A) = {, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}} Se S tem n elementos, quantos elementos tem P(S)?. Prove para n 0.

38 Potência de Conjuntos Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto vazio? O conjunto vazio não tem elementos: {}. Então tem somente um subconjunto, ele mesmo: P( ) = { }.

39 Potência de Conjuntos Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto vazio? O conjunto vazio não tem elementos: {}. Então tem somente um subconjunto, ele mesmo: P( ) = { }.

40 Potência de Conjuntos Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto { }? Há dois elementos e o próprio conjunto { }. Então tem dois subconjuntos: P({ }) = {, { }}.

41 Potência de Conjuntos Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto { }? Há dois elementos e o próprio conjunto { }. Então tem dois subconjuntos: P({ }) = {, { }}.

42 Referências Kenneth ROSEN. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education, 6th edition (July 26, 2006). Judith L. GERSTING. Mathematical Structures for Computer Science. 5th Ed.