Matemática Discreta. Teoria de Conjuntos - Parte 2. Profa. Sheila Morais de Almeida. abril DAINF-UTFPR-PG

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1 Matemática Discreta Teoria de Conjuntos - Parte 2 Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril

2 Operações em conjuntos As operações entre conjuntos podem ser unárias, binárias, ternárias, n-árias, dependendo de quantos conjuntos não necessariamente distintos são usados na operação. Operações n-árias, são realizadas sobre n conjuntos. Em algumas operações n-árias com n 2, a ordem dos conjuntos altera o resultado.

3 Complemento de um conjunto Complemento Dado um conjunto A de elementos de um universo U, o complemento de A é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a A. O complemento de A é denotado por A. Observe que esta é uma operação unária. A

4 Complemento de um conjunto A = {x x U x A} Seja U = Z Exemplo 1: N = Z Exemplo 2: {0} = {x x Z x 0} Exemplo 3: Z =

5 União de dois conjuntos União de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos. A união de A e B, indicada por A B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A ou em B ou em ambos. A B Observe que esta é uma operação binária.

6 União de dois conjuntos A B = {x x A x B} Exemplo 1: {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 5} Exemplo 2: Z + Z = Z

7 Interseção de dois conjuntos Interseção de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos. A interseção de A e B, indicada por A B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A e estão em B simultaneamente. A B Observe que esta é uma operação binária.

8 Interseção de dois conjuntos A B = {x x A x B} Exemplo 1: {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {1, 3} Exemplo 2: Z + Z = {0} Exemplo 3: Z N = N

9 Interseção de dois conjuntos Dois conjuntos são disjuntos se têm interseção vazia. Exemplo 1: {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {1, 3} não é disjunto Exemplo 2: Z {0} = {} é disjunto Exemplo 3: Z N = N não é disjunto

10 Princípio da Inclusão-Exclusão Considere dois conjuntos quaisquer A e B, não necessariamente disjuntos. Pergunta: Qual a cardinalidade de A B? Será que é A + B? se a B, não! Os elementos da interseção são contados duas vezes.

11 Princípio da Inclusão-Exclusão Considere dois conjuntos quaisquer A e B, não necessariamente disjuntos. Pergunta: Qual a cardinalidade de A B? Será que é A + B? se a B, não! Os elementos da interseção são contados duas vezes.

12 Princípio da Inclusão-Exclusão Considere dois conjuntos quaisquer A e B, não necessariamente disjuntos. Pergunta: Qual a cardinalidade de A B? Será que é A + B A B? sim!

13 Princípio da Inclusão-Exclusão Considere dois conjuntos quaisquer A e B, não necessariamente disjuntos. Pergunta: Qual a cardinalidade de A B? Será que é A + B A B? sim!

14 Diferença entre dois conjuntos Diferença entre dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos. A diferença entre A e B, indicada por A B ou A \ B, é o conjunto que contém os elementos de A que não pertencem a B. A diferença A B também é chamada de complemento de B em relação a A. A B

15 Diferença entre dois conjuntos A \ B = {x x A x B} Exemplo 1: {1, 2, 3} \ {1, 3, 5} = {2} Exemplo 2: {1, 3, 5} \ {1, 2, 3} = {5} Exemplo 3: Z N = Z

16 n-uplas ordenadas n-upla Ordenada Uma n-upla ordenada é uma sequência ordenada de elementos de um conjunto: (a 1, a 2, a 3,... a n ). Observe que (5, 9, 8, 7) (7, 8, 9, 5), já que a ordem dos elementos importa. Quando n = 2 a n-upla ordenada é chamada de par ordenado. Exemplos de pares ordenados: (2, 5), (10, 1), (1, 10).

17 n-uplas ordenadas n-upla Ordenada Uma n-upla ordenada é uma sequência ordenada de elementos de um conjunto: (a 1, a 2, a 3,... a n ). Observe que (5, 9, 8, 7) (7, 8, 9, 5), já que a ordem dos elementos importa. Quando n = 2 a n-upla ordenada é chamada de par ordenado. Exemplos de pares ordenados: (2, 5), (10, 1), (1, 10).

18 Produto Cartesiano Considere dois conjuntos A e B. Produto Cartesiano A B O produto cartesiano A B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) em que a A e b B. A B = {(a, b) : a A b B} Exemplo: A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 10, 100}. A B = {(2, 1), (2, 10), (2, 100), (4, 1), (4, 10), (4, 100), (6, 1), (6, 10), (6, 100), (8, 1), (8, 10), (8, 100), (10, 1), (10, 10), (10, 100)}

19 Produto Cartesiano Observe que A B B A, a menos que A = B. Por que? porque o par é ordenado!

20 Produto Cartesiano Observe que A B B A, a menos que A = B. Por que? porque o par é ordenado!

21 Relação Relação Uma relação entre A e B é qualquer subconjunto de A B. Exemplo: A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 10, 100}. R é a relação entre A e B definida por: {(x, y) x A y B x y} R = {(2, 1), (4, 1), (6, 1), (8, 1), (10, 1), (10, 10)}.

22 Produto Cartesiano Generalizando, considere n conjuntos A 1, A 2,..., A n. Produto Cartesiano A 1 A 2... A n O produto cartesiano A A 2... A n é o conjunto das n-uplas ordenadas (a 1, a 2,..., a n ) em que a i A i, 1 i n. Exemplo: A 1 = {2, 4}, A 2 = {3, 5, 7} e A 3 = {3, 9}. A 1 A 2 A 3 = {(2, 3, 3), (2, 3, 9), (2, 5, 3), (2, 5, 9), (2, 7, 3), (2, 7, 9), (4, 3, 3), (4, 3, 9), (4, 5, 3), (4, 5, 9), (4, 7, 3), (4, 7, 9)}

23 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. prova: Seja x A B. Pela definição de complemento, x A B. Logo, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Como x está em pelo menos um dos dois complementos, x A B.

24 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. prova: Seja x A B. Pela definição de complemento, x A B. Logo, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Como x está em pelo menos um dos dois complementos, x A B.

25 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. prova: Seja x A B. Pela definição de complemento, x A B. Logo, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Como x está em pelo menos um dos dois complementos, x A B.

26 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. prova: Seja x A B. Pela definição de complemento, x A B. Logo, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Como x está em pelo menos um dos dois complementos, x A B.

27 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. prova: Seja x A B. Pela definição de complemento, x A B. Logo, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Como x está em pelo menos um dos dois complementos, x A B.

28 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. Seja x A B. Pela definição de união, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Pela definição de interseção, x A B. Pela definição de complemento, x A B.

29 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. Seja x A B. Pela definição de união, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Pela definição de interseção, x A B. Pela definição de complemento, x A B.

30 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. Seja x A B. Pela definição de união, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Pela definição de interseção, x A B. Pela definição de complemento, x A B.

31 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. Seja x A B. Pela definição de união, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Pela definição de interseção, x A B. Pela definição de complemento, x A B.

32 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. Seja x A B. Pela definição de união, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Pela definição de interseção, x A B. Pela definição de complemento, x A B.

33 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. Seja x A B. Pela definição de união, x A ou x B. Pela definição de complemento, x A ou x B. Pela definição de interseção, x A B. Pela definição de complemento, x A B.

34 Identidade de Conjuntos Prove que A B = A B. prova: A B = {x x A B} (definição de complemento) = {x x A x B} (definição de interseção) = {x x A x B} (definição de complemento) = {x x A B} (definição de união) = A B

35 Identidade de Conjuntos Usando tabelas de pertinência. Prove que A (B C) = (A B) (A C). A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)

36 Referências Kenneth ROSEN. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education, 6th edition (July 26, 2006).