Lógica Proposicional
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- Leila de Escobar Leveck
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1 Lógica Proposicional Lógica Proposicional Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG junho Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
2 Este material é preparado usando como referências os textos dos seguintes livros. GERSTING, Judith L.,Mathematical Structures For Computer Science: A Modern Approach to Discrete Mathematics, 6th ed., ROSEN, Kenneth H., Discrete Mathematics and its applications, 6th ed., Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
3 Argumentos Válidos Considere o argumento: Se João pensa, então João existe. João pensa. Portanto, João existe. Traduzindo para lógica: A : João pensa. B : João existe. A B A B Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
4 Argumentos Válidos Considere o argumento: Se João pensa, então João existe. João pensa. Portanto, João existe. Traduzindo para lógica: A : João pensa. B : João existe. A B A B Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
5 Argumentos Válidos Considere o argumento: Se João pensa, então João existe. João pensa. Portanto, João existe. Traduzindo para lógica: A : João pensa. B : João existe. A B A B Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
6 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? A : João pensa. B : João existe. A B A B (premissa) (premissa) (conclusão) Para verificar se um argumento é valido, assumimos que suas premissas são verdadeiras e conferimos o valor verdade da conclusão. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
7 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? A : João pensa. B : João existe. A B A B verdade. verdade. (conclusão) Para verificar se um argumento é valido, assumimos que suas premissas são verdadeiras e conferimos o valor verdade da conclusão. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
8 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? A : João pensa. B : João existe. A B A verdade verdade. B Como A é verdade e A B é verdade, só há um possível valor verdade para B. Qual é? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
9 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? A : João pensa. B : João existe. A B A B verdade verdade. verdade. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
10 Argumentos Válidos (A B) A B é uma tautologia. A B A B (A B) A (A B) A B V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
11 Argumentos Válidos Definição: Um argumento em lógica proposicional é uma sequência de proposições. Todas as proposições, exceto a última, são chamadas de premissas. A última proposição é a conclusão. Um argumento é válido se a validade das premissas implica na validade da conclusão. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
12 Argumentos válidos O método formal que usa proposições bem formadas é chamado lógica proposicional ou cálculo proposicional. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
13 Argumentos válidos Um argumento pode ser apresentado de forma simbólica como: P 1 P 2 P 3... P n Q, onde P 1, P 2, P 3,..., P n são sentenças lógicas, chamadas de hipóteses ou premissas; e Q é chamada de conclusão. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
14 Argumentos válidos Quando P 1 P 2 P 3... P k Q é um argumento válido? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
15 Argumentos válidos Quando P 1 P 2 P 3... P k Q é um argumento válido? Pela tabela verdade da implicação e pela definição da conjunção, quando: uma das premissas for falsa; ou quando todas as premissas e a conclusão são verdadeiras. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
16 Argumentos válidos Exemplo Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou a independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. Esse argumento tem duas hipóteses: A: Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. B: Dom Pedro I Declarou a independência. Conclusão: C: Todo dia tem 24 horas. Representação simbólica: A B C. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
17 Argumentos válidos Exemplo Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou a independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. Representação simbólica: A B C. Pergunta: Isso é um argumento válido? Não! A conclusão é um fato isolado. Não tem relação com as hipóteses! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
18 Argumentos válidos Exemplo Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou a independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. Representação simbólica: A B C. Pergunta: Isso é um argumento válido para a conclusão? Não! A conclusão é um fato isolado. Não tem relação com as hipóteses! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
19 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: A: O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. B: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. (A B) A B Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
20 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: A: O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. B: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. (A B) A B Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
21 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: (A B) A B Hipóteses: A B A Conclusão: B Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
22 Pergunta: Esse é um argumento válido? Sim! A conclusão segue inevitavelmente da hipótese. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: (A B) A B. Hipóteses: A B A Conclusão: B
23 Pergunta: Esse é um argumento válido? Sim! A conclusão segue inevitavelmente da hipótese. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: (A B) A B. Hipóteses: A B A Conclusão: B
24 Argumentos válidos Essa forma de argumentação é conhecida como Modus Ponens ou eliminação da implicação. (A B) A B É uma das regras de inferência usadas na Lógica Proposicional. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
25 Argumentos Válidos Considere que as seguintes hipóteses são verdadeiras. Se Marília fizer muitos exercícios, então vai bem na prova de Matemática Discreta. Marília fez muitos exercícios. Por modus ponens, Marília vai bem na prova de Matemática Discreta. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
26 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? Se 2 > 3 2, então ( 2) 2 > ( 3 2 )2. Sabemos que 2 > 3 2. Por modus ponens, ( 2) 2 = 2 > ( 3 2 )2 = 9 4. Usar modus ponens é válido, mas as premissas tem que ser verdadeiras. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
27 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? Se 2 > 3 2, então ( 2) 2 > ( 3 2 )2. Sabemos que 2 > 3 2. falsa Por modus ponens, ( 2) 2 = 2 > ( 3 2 )2 = 9 4. falsa Usar modus ponens é válido, mas as premissas tem que ser verdadeiras. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
28 Argumentos Válidos Esse argumento é válido? Se 2 > 3 2, então ( 2) 2 > ( 3 2 )2. Sabemos que 2 > 3 2. falsa Por modus ponens, ( 2) 2 = 2 > ( 3 2 )2 = 9 4. falsa Usar modus ponens é válido, mas as premissas tem que ser verdadeiras. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
29 Regras de Inferência Existem outras regras de inferência, que podem auxiliar a verificar a validade dos argumentos quando as premissas são verdadeiras. Vejamos alguns exemplos... Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
30 Regras de Inferência A A B Está chovendo. Portanto, está chovendo ou esquentando. Nome da regra de inferência: adição. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
31 Regras de Inferência A B A Está chovendo e esfriando. Portanto, está chovendo. Nome da regra de inferência: simplificação. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
32 Regras de Inferência (A B) (B C) (A C) Se chover hoje, não terá churrasco. Se não tiver churrasco hoje, terá churrasco amanhã. Então, se chover hoje, terá churrasco amanhã. Nome da regra de inferência: silogismo hipotético. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
33 Regras de Inferência (A B) B A Nome da regra de inferência: modus tollens. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
34 Regras de Inferência Entendendo o Modus Tollens A seguir, uma sequência de prova que garante a validade do Modus Tollens. (A B) B A Hipóteses: 1) A B 2) A Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
35 Regras de Inferência Modus Tollens: (p q) q p 1) A B (hipótese) 2) B (hipótese) 3) B A (equivalência lógica de (1), contraposição) 4) A (Modus Ponens de (2) e (3)) Portanto, concluímos A. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
36 Regras de Inferência (A B) A B Vou ao cinema ou vou estudar para a prova. Não vou ao cinema. Então vou estudar para a prova. Nome da regra de inferência: silogismo disjuntivo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
37 Regras de Inferência Resolução é o nome da seguinte regra de inferência: (A B) ( A C) (B C) Se A é verdade, então C tem que ser verdade. Se A é falso, então B tem que ser verdade. Então, ou C ou B tem que ser verdade. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
38 Regras de Inferência Resolução é o nome da seguinte regra de inferência: (A B) ( A C) (B C) Jasmim está esquiando ou não está nevando. Está nevando ou José está jogando futebol. Portanto, Jasmim está esquisando ou José está jogando futebol. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
39 Regras de Inferência Mostre que A B C e C D implicam A D. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
40 Regras de Inferência Mostre que A B C e C D implicam A D. 1 A B C (hipótese) 2 C D (hipótese) 3 (A C) (B C) (distributiva em (1)) 4 A C (simplificação em (3)) 5 C D (Regra da implicação em (2)) 6 (A C) ( C D) (conjunção de (4) e (5)) 7 A D (resolução em (6)). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
41 Regras de Inferência Método Dedutivo Considere o seguinte argumento: P 1 P 2 P 3... P n (R S), onde a conclusão R S é uma implicação. Pelo Método Dedutivo, pode-se considerar que R também é uma hipótese. Então: P 1 P 2 P 3... P n R S. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
42 Regras de Inferência Exemplo de uso do Método Dedutivo Prove que (A (A B)) (A B). 1 A (A B) (hipótese) 2 A (hipótese, pelo método dedutivo) 3 A B (modus ponens em (1) e (2)) 4 B (modus ponens em (2) e (3)) Pelo Método Dedutivo, B é a conclusão em que deveríamos chegar, então está provado. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
43 Verificando a Validade de Argumentos O argumento é válido? Esta tarde está ensolorada e está mais frio que ontem. Vamos nadar se estiver ensolarado. Se formos nadar, então vamos fazer um passeio de barco. Se fizermos um passeio de barco, estaremos em casa ao anoitecer. Então, estaremos em casa ao anoitecer. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
44 Verificando a Validade de Argumentos O argumento é válido? Esta tarde está ensolorada e está mais frio que ontem. Vamos nadar se estiver ensolarado. Se formos nadar, então vamos fazer um passeio de barco. Se fizermos um passeio de barco, estaremos em casa ao anoitecer. Então, estaremos em casa ao anoitecer. A: Esta tarde está ensolorada. B: Está mais frio que ontem. C: Vamos nadar. D: Vamos fazer um passeio de barco. E: Estaremos em casa ao anoitecer. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
45 Provas de Veracidade 1 A B (pelo enunciado) 2 A C (pelo enunciado) 3 C D (pelo enunciado) 4 D E (pelo enunciado) 5 C A (contrapositiva de (2)) 6 A (simplificação de (1)) 7 C (modus tollens de (5) e (6)) 8 D (modus ponens de (3) e (7)) 9 E (modus ponens de (4) e (8), conclusão.) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
46 Provas de Veracidade O argumento é válido? Se você me mandar um , então eu terminarei o programa. Se você não me mandar um , então vou dormir cedo. Se eu dormir cedo, acordarei me sentindo bem. Se eu não terminar o programa, acordarei me sentindo bem. A: Você me manda um . B: Eu termino o programa. C: Vou dormir cedo. D: Arcordarei me sentindo bem. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
47 Provas de Veracidade O argumento é válido? 1 A B (pelo enunciado) 2 A C (pelo enunciado) 3 C D (pelo enunciado) 4 A D (silogismo hipotético de (2) e (3)) 5 B A (contrapositiva de (1)) 6 B D (silogismo hipotético de (4) e (5)) É válido. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
48 Provas de Veracidade O argumento é válido? 1 A B (pelo enunciado) 2 A C (pelo enunciado) 3 C D (pelo enunciado) 4 A D (silogismo hipotético de (2) e (3)) 5 B A (contrapositiva de (1)) 6 B D (silogismo hipotético de (4) e (5)) É válido. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
49 Verificando a Validade de Argumentos O caso do advogado de defesa Se meu cliente é culpado, então a faca estava na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta, ou Jason Pritchard viu a faca. Se a faca não estava lá em 10 de outubro, então Jason Pritchard não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá em 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos nós sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. O argumento do advogado parece correto? Como você votaria? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
50 Falácia Falácias são argumentos inválidos baseados em regras de inferência incorretas. Exemplo: (A B) B A. Se fizer calor, vou nadar. Vou nadar. Portanto, está calor. Por que esse argumento é inválido? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
51 Falácia Falácias são argumentos inválidos baseados em regras de inferência incorretas. Exemplo: (A B) B A. Se fizer calor, vou nadar. Vou nadar. Portanto, está calor. Por que esse argumento é inválido? Eu não disse nada sobre o que faria se não estivesse calor. Posso inclusive nadar nesse caso! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
52 Falácia Falácias são argumentos inválidos baseados em regras de inferência incorretas. Exemplo: (A B) B A. Conhecida como falácia da afirmação da conclusão. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
53 Falácia Falácias são argumentos inválidos baseados em regras de inferência incorretas. Exemplo: (A B) A B. Se eu fizer todos os exercícios do Rosen, vou aprender Matemática Discreta. Não fiz todos os exercícios do Rosen. Portanto, não aprendi Matemática Discreta. Por que esse argumento é inválido? Porque é possível aprender Matemática Discreta sem fazer todos os exercícios do Rosen. Hipótese falsa com conclusão verdadeira, também é uma sentença verdadeira! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
54 Falácia Falácias são argumentos inválidos baseados em regras de inferência incorretas. Exemplo: (A B) A B. Se eu fizer todos os exercícios do Rosen, vou aprender Matemática Discreta. Não fiz todos os exercícios do Rosen. Portanto, não aprendi Matemática Discreta. Por que esse argumento é inválido? Porque é possível aprender Matemática Discreta sem fazer todos os exercícios do Rosen. Hipótese falsa com conclusão verdadeira, também é uma sentença verdadeira! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
55 Falácia Falácias são argumentos inválidos baseados em regras de inferência incorretas. Exemplo: (A B) A B. Conhecida como falácia da negação das hipóteses. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho / 55
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