AULA DO CPOG. Teoria dos conjutos

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1 AULA DO CPOG Teoria dos conjutos

2 TEORIA DOS CONJUNTOS Professor Felipe Técnico de Operações P-25 Petrobras Contatos Felipe da Silva Cardoso skype para aula particular online: felipedasilvacardoso

3 Tipos de conjunto Conjunto dos dias da semana, Conjunto dos times de futebol da primeira divisão, Conjunto das marcas de cerveja Conjunto dos alunos do Ensino Médio de um colégio

4 Todo conjunto é formado por um ou vários objetos que são denominados elementos. Por exemplo: No conjunto dos dias da semana são elementos a segunda-feira, a terça feira, a quarta feira, etc. De maneira geral indicamos um conjunto por uma letra maiúscula

5 CONCEITOS IMPORTANTES PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura relacionar um elemento com um conjunto. Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto. Quando um elemento pertence a um conjunto, é por que ele está dentro do conjunto. Se o elemento não pertence a um conjunto, é por que ele está fora do conjunto. Para representar um elemento pertencente a um conjunto usamos o símbolo e para indicar um elemento que não pertence a um conjunto usamos o símbolo.

6 SUBCONJUNTO Esse conceito visa estabelecer uma relação entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A também é um elemento do conjunto B. Indica-se por: A B (lê-se A está contido em B) E dizemos que B é conjunto no qual encontrase o conjunto A. Indica-se por: B A (lê-se B contém A)

7 IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. Observação: A ordem em que os elementos aparecem não é importante quando trabalhamos com conjuntos. Sendo assim, dois conjuntos que possuam os mesmos elementos são iguais mesmo que os elementos apareçam em ordens diferentes.

8 Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um tipo particular de conjunto, já que ele não possui elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma situação impossível de ocorrer. Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou. Nunca indique o conjunto vazio por { }. Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que possui apenas um elemento. Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso estudo.

9 FORMAS DE REPRESENTAR UM CONJUNTO Por extensão: Nesse tipo de representação costumamos enumerar os elementos, escrevendo-os entre vírgulas e os limitando por meio de chaves: Exemplo: Seja A o conjunto que representa os meses do ano: A = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}. Por Compreensão: Nesse tipo de situação procuramos representar o conjunto por meio de uma propriedade ou uma característica de seus elementos. Exemplo: Seja C o conjunto dos números naturais menores que 6. C = {x N/ x < 6}

10 Por figura: Também conhecida como Diagrama de Euler-Venn, a representação por meio de figuras é uma alternativa muito boa para visualizarmos melhor o conjunto com o qual trabalhamos. Nesse tipo de representação colocamos os elementos que pertencem ao conjunto dentro da figura e os elementos que não pertencem ao conjunto fora da figura. Exemplo: Neste caso, os elementos 1,2,3,4 pertencem ao conjunto A, já os elementos 5, 6 não pertencem ao conjunto A.

11 CONJUNTO DAS PARTES O conjunto das partes de um conjunto é formado por todos os subconjuntos de A. Ou seja: P (A) = {x / {x} A} Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo: A = {0, 1} é: P (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}} Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes será P (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}

12 PROPRIEDADES IMPORTANTES a) Ø P (A) b) A P (A) c) Se A possui n elementos, P (A) possui elementos

13 Relações entre conjuntos A {0,1, 2,3, 4} B {1,2} C {} ou C 1 A 1 pertence a A {1} A {1} está contido em A {3} B {3} não está contido em B B A B está contido em A A B A não está contido em B B O conjunto vazio está contido em B

14 Operações com conjuntos: Intersecção Seja o conjunto A={0, 1,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A B = {x/x A e x B} (Intersecção) A B = {0, 2} A B

15 Operações com conjuntos: União Seja o conjunto A={0, 1,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A B = {x/x A ou x B} (União) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6} A B

16 Operações com conjuntos: Diferença Seja o conjunto A={0, 1,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A - B = {x/x A e x B} (Diferença) A - B = {1, 3, 4} A B

17 Operações com conjuntos: Complementar Caso especial: um conjunto está contido no outro: A={0, 1,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos: O complementar de B em relação a A: A B C A B B A {5,6} A B = {0, 1, 2, 5,6} = B A B = {0, 1, 2} = A A-B={ } B-A={5, 6}

18 Operações com conjuntos: Produto cartesiano Seja o conjunto A={0, 1,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A x B = {(x,y)/x A e y B} (Produto cartesiano) AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)} Atenção: n(a) = 5 e n(b)=4 e n(axb)=5. 4 = 20 Par ordenado: (2, 0) (0, 2)

19 Representação no plano cartesiano B A A={0, 1,2, 3, 4} B={0, 2, 5, 6} Atenção para: AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical (0,2) e (2,0) são pontos distintos Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!

20 NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais A representação matemática deste conjunto é: N = { 1, 2, 3, 4, 5,... }

21 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS INTEIROS Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 3-4 era impossível. A ideia do número negativo, aparece na Índia,associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

22 NÚMEROS INTEIROS A representação matemática deste conjunto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} A representação matemática deste conjunto através de diagramas e feita desta maneira N Z

23 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS RACIONAIS Entretanto...surgiu outro tipo de problema: Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

24 Conjuntos numéricos Representação decimal de números racionais: A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b. a Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou b dízimas periódicas: 1 2 0, ,

25 NÚMEROS RACIONAIS A representação matemática deste conjunto é: Q = Z { números fracionários } A representação matemática deste conjunto através de diagramas e feita desta maneira. N Z Q

26 NÚMEROS IRRACIONAIS É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Alguns números irracionais famosos: Pi que vale 3, Phi φ que vale 1, Raízes quadradas de números primos

27 Conjunto numéricos Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir) Números decimais que não admitem representação fracionária Exemplo:, a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas, 2, 3, 5 27,

28 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS REAIS Os pitagóricos ao aplicarem o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida.

29 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS REAIS A representação matemática deste conjunto é: R = Q { números irracionais } A representação matemática deste conjunto através de diagramas e feita desta maneira. R N Z Q I

30 Petrobras 2003 TO CESP Um posto de abastecimento de combustíveis vende gasolina comum (GC), álcool anidro (AA) e óleo dísel (OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes, cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados, de acordo com a tabela. Considerando essas informações e que cada veículo consome apenas um tipo de combustível, é correto afirmar que 26) 35 clientes possuem apenas veículos que consomem OD. 27) pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de 120 clientes. 28) 10 clientes possuem mais de um veículo, sendo que pelo menos um desses veículos consome GC e outro consome AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD.

31 PETROBRAS Cesp 2007

32 PETROBRAS 2008 CESP

33 PETROBRAS 2010 MAIO

34 PETROBRAS 2010

35 PETROBRAS 2010

36 PETROBRAS

37 PETROBRAS

38 PETROBRAS BIOCOMBUSTIVEIS

39 PETROQUIMICA SUAPE 2009