Matemática I Conjuntos Conjuntos Numéricos. Prof.: Joni Fusinato 1

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1 Matemática I Conjuntos Conjuntos Numéricos Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com 1

2 Teoria dos Conjuntos Teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano de Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor ( ). Georg Ferdinand Ludwig P. Cantor O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc. 2

3 CONJUNTOS: Coleções ou agrupamentos de objetos. Indica-se um conjunto por uma letra maiúscula de nosso alfabeto (A, B, C, D, E,...) Elementos: é cada objeto de uma coleção. Indica-se um elemento por uma letra minúscula de nosso alfabeto (a, b, c, d, e,...) RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: (Pertence) Os símbolos ao lado, são usados para relacionar os elementos com os conjuntos. (Não pertence)

4 Representação dos Conjuntos 1. Forma Tabular ou Enumerativa: Escrevemos os elementos entre chaves e separados por vírgulas. Exemplo: a) Conjunto V das vogais. V = {a, e, i, o,u} (conjunto finito) b) Conjunto A dos números ímpares positivos. A = {1, 3, 5, 7, 9,...} (conjunto infinito) c) Conjunto U dos números pares primos positivos. U = {2}

5 Representação dos Conjuntos 2. Diagrama de Venn: Escrevemos os elementos no interior de uma figura geométrica. Exemplo: a) Conjunto V das vogais. V a e o u i b) Conjunto P dos números primos positivos. P

6 Representação dos Conjuntos 3. Propriedade Característica: Representamos o conjunto através de uma propriedade característica de seus elementos. a) Conjunto V das vogais. V { x x é vogal} { a, e, i, o, u} Exemplos: b) Conjunto P dos números primos positivos. P { x x é número primo positivo} {2,3,5,7,11,...} c) Conjunto U dos números pares primos positivos. U { x x é número par primo positivo} {2}

7 Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos elementos. {1, 2, 3} = {3, 1, 2} A repetição de elementos não altera um conjunto. {b, c, c, c, d, e, e} = {b, c, d, e} A ordem dos elementos não altera um conjunto. {g, o, l} = {l, o, g, o} e {f, i, a, t} = {f, a, t, i, a} 7

8 Tipos de Conjuntos Conjunto Unitário: apresenta um único elemento. A = { Azul } U { x x é número par positivo e primo} {2} Conjunto Vazio: não apresenta elemento algum Indicado por { } ou Conjunto Universo: limita os elementos que podem ser soluções de um estudo. Cores da bandeira do Brasil U = {verde, amarelo, azul e branco}

9 A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencerem a B. Podemos dizer a mesma coisa de quatro formas diferentes: A está contido em B. B contém A. A é subconjunto de B. A é parte de B. A B B A

10 Exemplo: Escrever todos os subconjuntos do conjunto A = {0, 5, 7, 9}. Subconjunto com nenhum elemento: Φ Subconjuntos com um elemento: {0}; {5}; {7}; {9} Subconjuntos com dois elementos: {0,5}; {0,7}; {0,9}; {5,7}; {5,9}; {7;9} Subconjuntos com três elementos: {0,5,7}; {0,5,9}; {0,7,9}; {5,7,9} Subconjuntos com quatro elementos: {0,5,7,9} Φ é subconjunto de qualquer conjunto. O número total de subconjuntos é igual a 16. Então se A tem n elementos, A tem 2 n subconjuntos.

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12 1) Dado o conjunto A = {1, {2, 3}, {4}, julgue se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. a) 1 A b) {1} A c) 1 A d) {1} A e) {2, 3} A f) Φ A a) V pois 1 é elemento de A b) F, pois {1} é subconjunto de A símbolo c) F, pois 1 é elemento de A símbolo d) V, pois {1} é subconjunto de A e) F, pois {2, 3} é elemento de A símbolo f) F, pois Φ é subconjunto de A símbolo 2) Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) ( ) A B b) ( ) D B c) ( ) A D d) ( ) B C e) ( ) B D f) ( ) C A 12

13 Atividades Recapitular a Teoria lendo as páginas 8 a 13. Fazer os exercícios propostos 1, 2, 3 e 4 da página

14 Operações com conjuntos

15 União de conjuntos Dados os conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A B = {x x A ou x B}

16 Intersecção de conjuntos Dados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. A B = {x x A e x B}

17 Diferença de conjuntos Dados os conjuntos A e B, a diferença de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B. A B = {x x A e x B}

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20 Atividades Recapitular a Teoria lendo as páginas 14 a 18. Fazer os exercícios propostos 7, 8 e 10, da página 16. Desafio!! Exercício 11. Fazer o exercício proposto 13 (itens a, b e c) da página

21 Introdução a Teoria dos Conjuntos. Subconjuntos União e Intersecção. Diferença e Complementar de um conjunto. 21

22 Aplicações Numa sala de aula: 15 alunos jogam basquete como única atividade esportiva; 25 jogam futebol, também como única atividade esportiva; 7 praticam as duas atividades: basquete e futebol. Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo menos por um dos dois esportes?

23 Livro p. 21 R4 Foi realizada uma pesquisa com 350 pessoas para avaliar a eficácia de um anúncio na divulgação de dois produtos novos, A e B. Ao final da pesquisa constatou-se que, dos entrevistados, precisamente: 280 conheciam o produto A; 80 conheciam os dois produtos; 20 não conheciam nenhum dos dois produtos. De acordo com esses dados, quantas pessoas entrevistadas conheciam apenas o produto B? 23

24 Livro p. 22 R5 Dos 180 funcionários que trabalham no escritório de uma empresa, precisamente: 108 falam inglês; 68 falam espanhol; 32 não falam inglês nem espanhol. Quantos funcionários desse escritório falam as duas línguas, inglês e espanhol? 24

25 No edital da UFSC o programa de Literatura indica a leitura dos livros: Helena, Senhora e A Moreninha. Uma pesquisa realizada com candidatos constatou que: Alunos Leitura 600 Leram A Moreninha 400 Leram Helena 300 Leram Senhora 200 Leram A Moreninha e Helena 150 Leram A Moreninha e Senhora 100 Leram Senhora e Helena 20 Leram A Moreninha, Senhora e Helena. 25

26 Calcule: a) O número de alunos que leram apenas um dos livros indicados. b) O número de alunos que leram apenas dois dos livros indicados. c) O número de alunos que não leram nenhum dos livros indicados. 26

27 Atividades Recapitular a Teoria lendo as páginas 21 a 23. Fazer os exercícios propostos 16 a 20 da página

28 Aplicações da lógica de conjuntos. 28

29 Conjuntos Numéricos N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... } N* = {1, 2, 3, 4, 5,... } Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} N Z Q Z* ={, - 3, -2, -1, 1, 2, 3, 29

30 Irracionais (I) São aqueles que, em sua forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos. 30

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32 Conjuntos Numéricos Fonte: Esquema extraído do site Virtual Escola 32

33 Atividades Recapitular a Teoria lendo as páginas 24 a 33. Fazer os exercícios propostos 21 e 23 da página