Em matemática definimos e estudamos conjuntos de números, pontos, retas curvas, funções etc.
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1 INTRODUÇÃO Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 02 - Introdução, Plano Cartesiano, Pontos e Retas no Plano Conjuntos: A noção de Conjunto, fundamental na Matemática, não é suscetível de uma Definição precisa a partir de noções mais simples, isto é, é uma noção de conceito primitivo e foi introduzida no século XIX (19) pelo Matemático Georg Cantor. Intuitivamente, sob a designação de Conjunto, entenderemos toda coleção, bem definida, de objetos (elementos), não importando sua natureza e considerados globalmente. Segundo G.Cantor: Chama-se Conjunto o agrupamento, em um todo de objetos, discerníveis e bem definidos, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados de Elementos do Conjunto. Segundo o grupo N.Bourbaki: Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de possuírem certas propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos certas relações. Em matemática definimos e estudamos conjuntos de números, pontos, retas curvas, funções etc. Notamos, usualmente os conjuntos por uma letra Maiúscula (A,B,C, X,Y,Z) e os elementos por letras minúsculas (a,b,c, x,y,z), assim teremos em notação A={a,b,c, }, o conjunto A dos elementos a,b,c. Para indicar se elementos pertencem a um conjunto definimos a relação de Pertinência ( ). Um Conjunto cujos elementos são conjuntos é definido como uma Família de Conjuntos. São particularmente importantes os Conjuntos Numéricos: IN Z Q Ι IR C Conjunto dos Números Naturais { 0,1,2,3.} Conjunto dos Números Inteiros {.-3,-2,-1,0,1,2,3.} Conjunto dos Números Racionais (os que podem ser escritos na forma p/q, com q 0) Conjunto dos Números Irracionais (os que não podem ser escritos na forma p/q) Conjunto dos Números Reais (A reunião dos Racionais e Irracionais) Conjunto dos Números Complexos ( os números da forma (a+bi) com a e b Reais e i= -1. ( todo o número real a é um Complexo visto que a=a+0i). Obs.: Consideraremos como conhecidos e de domínio dos alunos os conceitos de: Conjunto Unitário; Conjunto Vazio; Conjunto Universo; Conjunto Finito e Infinito; Igualdade de Conjuntos; Relação de inclusão( ); Subconjunto; Conjuntos Comparáveis; Conjunto das Partes de um Conjunto; Complementar de um Conjunto; Operações elementares de conjuntos( União, Intersecção, Diferença, diferença Simétrica.
2 PRODUTO CARTESIANO: Dados dois elementos x e y, definimos como par ordenado a um terceiro elemento que indicamos por (x,y), podendo inclusive ser y igual a x. O elemento x chama-se primeiro elemento ou primeira projeção ou primeira coordenada do par ordenado (x,y) e o elemento y chama-se segundo elemento ou segunda projeção ou segunda coordenada do par ordenado (x,y). Considerando A e B dois conjuntos não vazios, definimos como Produto Cartesiano de A por B (notamos AxB), ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y), tais que o primeiro elemento x pertença ao Conjunto A e o segundo elemento y ao conjunto B. Observamos que o Produto Cartesiano é uma operação entre conjuntos, e que AxB é, usualmente diferente de BxA. No caso particular em que A=B o produto AxA chama-se Quadrado Cartesiano ou apenas Quadrado de A e pode ser indicado por A 2. O Produto Cartesiano AxB de dois conjuntos pode ser representado por um Diagrama Cartesiano como segue: Considerando x os elementos de A e y os elementos de B. AxB B y (x,y) 0 x A GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica constitui no estudo da Geometria e das figuras através da Álgebra, isto é, cada uma das figuras da Geometria pode ser representada por uma Equação Algébrica, através da qual todos os cálculos das figuras e de seus elementos, posições relativas, distâncias, áreas volumes etc, poder ser realizados, Algebricamente de uma forma melhor e mais precisa do que quando realizados Geometricamente. Considerando que o conjunto dos números Reais pode ser representado através dos pontos de uma reta, utilizando duas retas perpendiculares associadas aos números Reais, podemos estruturar um plano que definiremos como Plano de Coordenadas Ortogonais ou Plano Cartesiano, assim: y P=(x, y) x Cada ponto P de um plano pode ser representado por um par ordenado de números reais que serão suas coordenadas (Abscissa x e Ordenada y). Desta forma temos a primeira figura geométrica, que é o Ponto, por uma representação algébrica que é o par ordenado de reais (x,y). Observamos que cada uma das coordenadas representa numericamente o valor da distância do ponto aos eixos do plano cartesiano, assim x é a distância do ponto ao eixo y e y é a distância do ponto ao eixo x
3 PONTOS Consideramos de domínio do aluno a capacidade de representar qualquer par ordenado de reais (x,y) no plano cartesiano, para as coordenadas de valores positivos, negativos ou nulos. Distância entre dois Pontos: Considerando dois pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), representados no plano Cartesiano como segue e tendo em vista que o triângulo ABC é retângulo em C, a Distância entre os pontos é dada por: D AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 y B B=(x B, y B ) y A C A=(x A, y A ) 0 x A x B Divisão de um segmento de reta numa razão r : Dado um segmento AB, dizemos que um ponto P divide este segmento numa razão r, quando AP/PB =r. Considerando um segmento AB determinado pelos pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), se o Ponto P=(x,y), divide o segmento na razão r, as coordenadas deste ponto P podem ser obtidas por: P=(x,y) (x A + r x B) x= 1+r (y A + r y B ) y= 1+r Ponto Médio: Particularmente quando um ponto M=(x,y), é médio de um segmento AB, a razão de divisão é r=1 e as coordenadas de M são as médias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B, assim teremos: M=(x,y) (x A + x B ) x= 2 (y A + y B) y= 2 Condição de Alinhamento de três (3) Pontos: Considerando que dois pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), são sempre alinhados, um terceiro ponto P=(x,y), poderá ou não ser alinhado com A e B. A condição de alinhamento destes pontos pode ser verificada pelo valor do determinante da matriz a seguir: x y 1 Os pontos P,A e B serão alinhados, se o valor do determinante da matriz for igual a 0. x A y A 1 Os pontos não serão alinhados, se o valor do determinante for diferente de 0. x B y B 1 Geometricamente, o Valor, em módulo, do determinante desta matriz, representa a metade da Área do Triângulo ABP.
4 RETAS Equação Geral da reta: Considerando dois pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), o conjunto de todos os pontos P=(x,y), alinhados a A e B, constituem uma reta. assim se calcularmos o valor do determinante abaixo e igualarmos a zero teremos uma equação cuja solução nos permitirá obter todos os pontos alinhados com A e B, portanto dados os pontos de uma reta. x y 1 x A y A 1 = 0. Este cálculo nos conduzira a uma equação de primeiro grau com duas variáveis tal x B y B 1 como ax + by + c = 0. Esta Equação é definida como a Equação Geral da reta no plano. Todos os pares de valores (x,y) que satisfazem esta equação (que são infinitos), representam todos os infinitos pontos da reta. Particularmente as retas especiais que representam os eixos coordenados e as retas paralelas a estes tem suas equações representadas como segue: Equação do eixo das Abscissas(x): y=0; Equação do eixo das Ordenadas(y): x=0; Equação paralela ao eixo das Abscissas(x): y=k (onde k é o ponto que a reta intercepta o eixo y); Equação paralela ao eixo das Ordenadas(y): x=k (onde k é o ponto que a reta intercepta o eixo x); Equação Reduzida da reta: Se escrevermos a equação geral da reta ax +by + c =0 em função de y teremos uma equação do tipo Y = mx + n, (onde = -a/b e = -c/b). Esta equação é definida como a Equação Reduzida da reta no plano. Os coeficientes m e n desta equação tem um significado importante para a definição da reta e recebem por isso denominações diferenciadas de acordo com seu significado como segue: O coeficiente m é chamado de Coeficiente Angular e seu valor numérico é m=tg ϕ, sendo ϕ o ângulo que a reta forma com o semi eixo positivo das abscissas (x). O coeficiente n é chamado de Coeficiente Linear e seu valor numérico é o valor da ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo das Ordenadas (y). Considerando o significado dos coeficientes Angular(m) e Linear(n), podemos assegurar que estes coeficientes determinam perfeitamente a posição de uma reta no plano cartesiano: ϕ y B B r 1 : y=mx +n m=tg ϕ y A A ou n (y B y A) m= (x B x A) ϕ x A x B r 2 : y=mx +n Observamos que: O coeficiente Angular pode ser também obtido através de dois pontos quaisquer da reta A=(x A,y A) e B=(x B,y B ). Quando m>0, o ângulo ϕ <90 (reta r 1 ); Quando m<0, o ângulo ϕ >90 (reta r 2 ); Particularmente teremos: y=n: A equação de uma reta paralela ao eixo x, pois neste caso ϕ =0 e m=tg 0 =0; x=k: A equação de uma reta perpendicular ao eixo x (k constante IR), pois neste caso ϕ =90 e m=tg 90, não é definido;
5 Equação Segmentária da reta: A equação de uma reta pode ser particularmente obtida através dos pontos em que a mesma intercepta os eixos cartesianos P=(p,0) para o eixo x e Q=(0,q) para o eixo y. Neste caso a equação que representa a reta pode ser escrita na forma: q x y + = 1 p q p que é conhecida como Equação Segmentária da reta. Posições relativas entre ponto e reta: Considerando um ponto P=(x 0,y 0) e uma reta r: ax + by + c =0, poderemos ter: i. P r, isto é, o ponto está na reta; ii. P r, isto é o ponto não está na reta e existe uma distância entre o ponto e a reta que pode ser calculada pela fórmula: Particularmente a distância de uma ax 0 + by 0 + c reta à origem do sistema cartesiano c D Pr = que é o ponto O=(0,0) é calculado D Or = a 2 + b 2 pela fórmula: a 2 + b 2 Posições relativas entre retas: Considerando as retas r 1 : y = m 1 x + n 1 e r 2 : y = m 2 x + n 2, poderemos ter: i. r 1 r 2, as retas são Coincidentes e neste caso m 1 =m 2 e n 1 =n 2 ; ii. r 1 // r 2, as retas são Paralelas e neste caso m 1 =m 2 e n 1 n 2 ; iii. r 1 X r 2, as retas são Concorrentes e neste caso m 1 m 2 (independentemente de n 1 e n 2 ) e as retas formam um ângulo diferente de 0 entre si; Particularmente neste caso as retas serão Perpendiculares (formando um ângulo de 90 ), quando m 1 m 2 = 1. O ângulo θ, formado pelas retas r 1 e r 2, pode ser determinado através da fórmula: m 1 m 2 m 1 m 2 tg θ = ou θ = arc tg 1+m 1 m 2 1+m 1 m 2 Área de um Triângulo ABC: Considerando os pontos A=(x 1,y 1 ), B=(x 2,y 2 ) e C=(x 3,y 3 ), a área do Triângulo que tem A,B e C como vértices, tem sua área calculada pelo determinante da matriz conforme a fórmula: x 1 y 1 1 A ABC = ½ x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.
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