Em matemática definimos e estudamos conjuntos de números, pontos, retas curvas, funções etc.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Em matemática definimos e estudamos conjuntos de números, pontos, retas curvas, funções etc."

Transcrição

1 INTRODUÇÃO Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 02 - Introdução, Plano Cartesiano, Pontos e Retas no Plano Conjuntos: A noção de Conjunto, fundamental na Matemática, não é suscetível de uma Definição precisa a partir de noções mais simples, isto é, é uma noção de conceito primitivo e foi introduzida no século XIX (19) pelo Matemático Georg Cantor. Intuitivamente, sob a designação de Conjunto, entenderemos toda coleção, bem definida, de objetos (elementos), não importando sua natureza e considerados globalmente. Segundo G.Cantor: Chama-se Conjunto o agrupamento, em um todo de objetos, discerníveis e bem definidos, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados de Elementos do Conjunto. Segundo o grupo N.Bourbaki: Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de possuírem certas propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos certas relações. Em matemática definimos e estudamos conjuntos de números, pontos, retas curvas, funções etc. Notamos, usualmente os conjuntos por uma letra Maiúscula (A,B,C, X,Y,Z) e os elementos por letras minúsculas (a,b,c, x,y,z), assim teremos em notação A={a,b,c, }, o conjunto A dos elementos a,b,c. Para indicar se elementos pertencem a um conjunto definimos a relação de Pertinência ( ). Um Conjunto cujos elementos são conjuntos é definido como uma Família de Conjuntos. São particularmente importantes os Conjuntos Numéricos: IN Z Q Ι IR C Conjunto dos Números Naturais { 0,1,2,3.} Conjunto dos Números Inteiros {.-3,-2,-1,0,1,2,3.} Conjunto dos Números Racionais (os que podem ser escritos na forma p/q, com q 0) Conjunto dos Números Irracionais (os que não podem ser escritos na forma p/q) Conjunto dos Números Reais (A reunião dos Racionais e Irracionais) Conjunto dos Números Complexos ( os números da forma (a+bi) com a e b Reais e i= -1. ( todo o número real a é um Complexo visto que a=a+0i). Obs.: Consideraremos como conhecidos e de domínio dos alunos os conceitos de: Conjunto Unitário; Conjunto Vazio; Conjunto Universo; Conjunto Finito e Infinito; Igualdade de Conjuntos; Relação de inclusão( ); Subconjunto; Conjuntos Comparáveis; Conjunto das Partes de um Conjunto; Complementar de um Conjunto; Operações elementares de conjuntos( União, Intersecção, Diferença, diferença Simétrica.

2 PRODUTO CARTESIANO: Dados dois elementos x e y, definimos como par ordenado a um terceiro elemento que indicamos por (x,y), podendo inclusive ser y igual a x. O elemento x chama-se primeiro elemento ou primeira projeção ou primeira coordenada do par ordenado (x,y) e o elemento y chama-se segundo elemento ou segunda projeção ou segunda coordenada do par ordenado (x,y). Considerando A e B dois conjuntos não vazios, definimos como Produto Cartesiano de A por B (notamos AxB), ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y), tais que o primeiro elemento x pertença ao Conjunto A e o segundo elemento y ao conjunto B. Observamos que o Produto Cartesiano é uma operação entre conjuntos, e que AxB é, usualmente diferente de BxA. No caso particular em que A=B o produto AxA chama-se Quadrado Cartesiano ou apenas Quadrado de A e pode ser indicado por A 2. O Produto Cartesiano AxB de dois conjuntos pode ser representado por um Diagrama Cartesiano como segue: Considerando x os elementos de A e y os elementos de B. AxB B y (x,y) 0 x A GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica constitui no estudo da Geometria e das figuras através da Álgebra, isto é, cada uma das figuras da Geometria pode ser representada por uma Equação Algébrica, através da qual todos os cálculos das figuras e de seus elementos, posições relativas, distâncias, áreas volumes etc, poder ser realizados, Algebricamente de uma forma melhor e mais precisa do que quando realizados Geometricamente. Considerando que o conjunto dos números Reais pode ser representado através dos pontos de uma reta, utilizando duas retas perpendiculares associadas aos números Reais, podemos estruturar um plano que definiremos como Plano de Coordenadas Ortogonais ou Plano Cartesiano, assim: y P=(x, y) x Cada ponto P de um plano pode ser representado por um par ordenado de números reais que serão suas coordenadas (Abscissa x e Ordenada y). Desta forma temos a primeira figura geométrica, que é o Ponto, por uma representação algébrica que é o par ordenado de reais (x,y). Observamos que cada uma das coordenadas representa numericamente o valor da distância do ponto aos eixos do plano cartesiano, assim x é a distância do ponto ao eixo y e y é a distância do ponto ao eixo x

3 PONTOS Consideramos de domínio do aluno a capacidade de representar qualquer par ordenado de reais (x,y) no plano cartesiano, para as coordenadas de valores positivos, negativos ou nulos. Distância entre dois Pontos: Considerando dois pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), representados no plano Cartesiano como segue e tendo em vista que o triângulo ABC é retângulo em C, a Distância entre os pontos é dada por: D AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 y B B=(x B, y B ) y A C A=(x A, y A ) 0 x A x B Divisão de um segmento de reta numa razão r : Dado um segmento AB, dizemos que um ponto P divide este segmento numa razão r, quando AP/PB =r. Considerando um segmento AB determinado pelos pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), se o Ponto P=(x,y), divide o segmento na razão r, as coordenadas deste ponto P podem ser obtidas por: P=(x,y) (x A + r x B) x= 1+r (y A + r y B ) y= 1+r Ponto Médio: Particularmente quando um ponto M=(x,y), é médio de um segmento AB, a razão de divisão é r=1 e as coordenadas de M são as médias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B, assim teremos: M=(x,y) (x A + x B ) x= 2 (y A + y B) y= 2 Condição de Alinhamento de três (3) Pontos: Considerando que dois pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), são sempre alinhados, um terceiro ponto P=(x,y), poderá ou não ser alinhado com A e B. A condição de alinhamento destes pontos pode ser verificada pelo valor do determinante da matriz a seguir: x y 1 Os pontos P,A e B serão alinhados, se o valor do determinante da matriz for igual a 0. x A y A 1 Os pontos não serão alinhados, se o valor do determinante for diferente de 0. x B y B 1 Geometricamente, o Valor, em módulo, do determinante desta matriz, representa a metade da Área do Triângulo ABP.

4 RETAS Equação Geral da reta: Considerando dois pontos A=(x A,y A ) e B=(x B,y B ), o conjunto de todos os pontos P=(x,y), alinhados a A e B, constituem uma reta. assim se calcularmos o valor do determinante abaixo e igualarmos a zero teremos uma equação cuja solução nos permitirá obter todos os pontos alinhados com A e B, portanto dados os pontos de uma reta. x y 1 x A y A 1 = 0. Este cálculo nos conduzira a uma equação de primeiro grau com duas variáveis tal x B y B 1 como ax + by + c = 0. Esta Equação é definida como a Equação Geral da reta no plano. Todos os pares de valores (x,y) que satisfazem esta equação (que são infinitos), representam todos os infinitos pontos da reta. Particularmente as retas especiais que representam os eixos coordenados e as retas paralelas a estes tem suas equações representadas como segue: Equação do eixo das Abscissas(x): y=0; Equação do eixo das Ordenadas(y): x=0; Equação paralela ao eixo das Abscissas(x): y=k (onde k é o ponto que a reta intercepta o eixo y); Equação paralela ao eixo das Ordenadas(y): x=k (onde k é o ponto que a reta intercepta o eixo x); Equação Reduzida da reta: Se escrevermos a equação geral da reta ax +by + c =0 em função de y teremos uma equação do tipo Y = mx + n, (onde = -a/b e = -c/b). Esta equação é definida como a Equação Reduzida da reta no plano. Os coeficientes m e n desta equação tem um significado importante para a definição da reta e recebem por isso denominações diferenciadas de acordo com seu significado como segue: O coeficiente m é chamado de Coeficiente Angular e seu valor numérico é m=tg ϕ, sendo ϕ o ângulo que a reta forma com o semi eixo positivo das abscissas (x). O coeficiente n é chamado de Coeficiente Linear e seu valor numérico é o valor da ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo das Ordenadas (y). Considerando o significado dos coeficientes Angular(m) e Linear(n), podemos assegurar que estes coeficientes determinam perfeitamente a posição de uma reta no plano cartesiano: ϕ y B B r 1 : y=mx +n m=tg ϕ y A A ou n (y B y A) m= (x B x A) ϕ x A x B r 2 : y=mx +n Observamos que: O coeficiente Angular pode ser também obtido através de dois pontos quaisquer da reta A=(x A,y A) e B=(x B,y B ). Quando m>0, o ângulo ϕ <90 (reta r 1 ); Quando m<0, o ângulo ϕ >90 (reta r 2 ); Particularmente teremos: y=n: A equação de uma reta paralela ao eixo x, pois neste caso ϕ =0 e m=tg 0 =0; x=k: A equação de uma reta perpendicular ao eixo x (k constante IR), pois neste caso ϕ =90 e m=tg 90, não é definido;

5 Equação Segmentária da reta: A equação de uma reta pode ser particularmente obtida através dos pontos em que a mesma intercepta os eixos cartesianos P=(p,0) para o eixo x e Q=(0,q) para o eixo y. Neste caso a equação que representa a reta pode ser escrita na forma: q x y + = 1 p q p que é conhecida como Equação Segmentária da reta. Posições relativas entre ponto e reta: Considerando um ponto P=(x 0,y 0) e uma reta r: ax + by + c =0, poderemos ter: i. P r, isto é, o ponto está na reta; ii. P r, isto é o ponto não está na reta e existe uma distância entre o ponto e a reta que pode ser calculada pela fórmula: Particularmente a distância de uma ax 0 + by 0 + c reta à origem do sistema cartesiano c D Pr = que é o ponto O=(0,0) é calculado D Or = a 2 + b 2 pela fórmula: a 2 + b 2 Posições relativas entre retas: Considerando as retas r 1 : y = m 1 x + n 1 e r 2 : y = m 2 x + n 2, poderemos ter: i. r 1 r 2, as retas são Coincidentes e neste caso m 1 =m 2 e n 1 =n 2 ; ii. r 1 // r 2, as retas são Paralelas e neste caso m 1 =m 2 e n 1 n 2 ; iii. r 1 X r 2, as retas são Concorrentes e neste caso m 1 m 2 (independentemente de n 1 e n 2 ) e as retas formam um ângulo diferente de 0 entre si; Particularmente neste caso as retas serão Perpendiculares (formando um ângulo de 90 ), quando m 1 m 2 = 1. O ângulo θ, formado pelas retas r 1 e r 2, pode ser determinado através da fórmula: m 1 m 2 m 1 m 2 tg θ = ou θ = arc tg 1+m 1 m 2 1+m 1 m 2 Área de um Triângulo ABC: Considerando os pontos A=(x 1,y 1 ), B=(x 2,y 2 ) e C=(x 3,y 3 ), a área do Triângulo que tem A,B e C como vértices, tem sua área calculada pelo determinante da matriz conforme a fórmula: x 1 y 1 1 A ABC = ½ x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.

Curso de Geometria Analítica. Hipérbole

Curso de Geometria Analítica. Hipérbole Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 03 - Cônicas- Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA 2017

GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro -

Leia mais

3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta

3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta 1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada

Leia mais

Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos

Capítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e

Leia mais

Tecnologia em Construções de Edifícios

Tecnologia em Construções de Edifícios 1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até

Leia mais

Geometria Analítica:

Geometria Analítica: Geometria Analítica: DISCIPLINA : Geometria Analítica - II PROFESSOR:: Erandi Alves de Lima Moraújo CE Janeiro - 2018-1 - GEOMETRIA ANALÍTICA 1.. O PLANO CARTESIIANO Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz

Leia mais

Equação fundamental da reta

Equação fundamental da reta GEOMETRIA ANALÍTICA Equação fundamental da reta (Xo, Yo) (X, Y) (Xo, Yo) (X, Y) PARA PRATICAR: 1. Considere o triângulo ABC, cujos vértices são A (3, 4), B (1, 1) e C (2, 4). Determine a equação fundamental

Leia mais

Curso de Geometria Analítica

Curso de Geometria Analítica Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos. I.

Leia mais

GEOMETRIA ANALI TICA PONTO MEDIANA E BARICENTRO PLANO CARTESIANO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

GEOMETRIA ANALI TICA PONTO MEDIANA E BARICENTRO PLANO CARTESIANO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS GEOMETRIA ANALI TICA PONTO PLANO CARTESIANO Vamos representar os pontos A (-2, 3) e B (4, -3) num plano cartesiano. MEDIANA E BARICENTRO A mediana é o segmento que une o ponto médio de um dos lados do

Leia mais

Ponto 1) Representação do Ponto

Ponto 1) Representação do Ponto Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

Sistema de coordenadas cartesiano

Sistema de coordenadas cartesiano Sistema de coordenadas cartesiano Geometria Analítica Prof. Rossini Bezerra Definição Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano Um esquema reticulado necessário

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5).

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5). GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, ya) e B(xB, yb) e sendo d(a, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos 1 Conjuntos Um conjunto está bem caracterizado quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou não

Leia mais

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais

Professor Mascena Cordeiro

Professor Mascena Cordeiro www.mascenacordeiro.com Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -)

Leia mais

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,

Leia mais

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 1 1º Bimestre 2012 Aluno(a): Número: Turma: 1) Resolva

Leia mais

Título do Livro. Capítulo 5

Título do Livro. Capítulo 5 Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas. 5.1. Sistema

Leia mais

Plano Cartesiano e Retas. Vitor Bruno Engenharia Civil

Plano Cartesiano e Retas. Vitor Bruno Engenharia Civil Plano Cartesiano e Retas Vitor Bruno Engenharia Civil Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é o

Leia mais

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica?

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica? X GEOMETRIA ANALÍTICA Por que aprender Geometria Analítica?... A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

COORDENADAS CARTESIANAS

COORDENADAS CARTESIANAS Aula 32 Geometria Analítica COORDENADAS CARTESIANAS Consideremos o plano determinado por dois eixos perpendiculares em O. Considere um ponto P qualquer do plano, e trace por ele as paralelas aos eixos,

Leia mais

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido: Capítulo 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r é assim definido: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, se as retas são concorrentes, isto é, r1

Leia mais

Preliminares de Cálculo

Preliminares de Cálculo Preliminares de Cálculo Profs. Ulysses Sodré e Olivio Augusto Weber Londrina, 21 de Fevereiro de 2008, arquivo: precalc.tex... Conteúdo 1 Números reais 2 1.1 Algumas propriedades do corpo R dos números

Leia mais

ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO. (B)y = x + 3 (C)y = 2x + 3 (D)y = 3x - 3 (E)y = 5x + 5 Gabarito: D.

ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO. (B)y = x + 3 (C)y = 2x + 3 (D)y = 3x - 3 (E)y = 5x + 5 Gabarito: D. ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO ITEM 1 DA ADA Observe as equações da reta a seguir: I) y = x 1 II) y 4x = III) y 4x + = 0 IV) y + 1 = x V) y + 1 = (x 1 ) Dessas equações, a que

Leia mais

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse: 02/05/2012

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse:  02/05/2012 1. FUNÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para

Leia mais

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: a. -1 b. 1 c. 6 d. 7 e. 8 2. Se

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Geometria Analítica. Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) P( 5, 2 ) B( 3, 2 ) Q( 3, 4 ) d = 5.

Geometria Analítica. Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) P( 5, 2 ) B( 3, 2 ) Q( 3, 4 ) d = 5. Erivaldo UDESC Geometria Analítica Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) B( 3, 2 ) d 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 d = 5 P( 5, 2 ) Q( 3, 4 ) d 2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2 d =

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução 7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica

Leia mais

r : Exemplo: Considere a reta r :

r : Exemplo: Considere a reta r : 4.7. Equação paramétrica da reta. Também podemos representar uma reta no plano com equação paramétrica, mas no plano temos apenas duas coordenadas. A forma paramétrica de uma reta no plano é: x a r : y

Leia mais

PROFª: ROSA G. S. DE GODOY

PROFª: ROSA G. S. DE GODOY ATIVIDADE DE MATEMÁTICA Nome: nº SÉRIE: 3ª E.M. Data: / / 2017 PROFª: ROSA G. S. DE GODOY FICHA DE SISTEMATIZAÇÃO PARA A 3ª AVAL. DO 2º TRIMESTRE BOAS FÉRIAS E APROVEITE PARA ESTUDAR UM POUQUINHO!! BJS

Leia mais

matemática geometria analítica pontos, baricentro do triângulo, coeficiente angular e equações da reta Exercícios de distância entre dois pontos

matemática geometria analítica pontos, baricentro do triângulo, coeficiente angular e equações da reta Exercícios de distância entre dois pontos Exercícios de distância entre dois pontos 1. (FUVEST 1ª fase) Sejam A = (1, ) e B = (3, ) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60º, no

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 GEOMETRIA ANALÍTICA

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 GEOMETRIA ANALÍTICA 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 5 SUMÁRIO Apresentação ---------------------------------------------- 3 Capítulo 5 ---------------------------------------------------4

Leia mais

Capítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1

Capítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1 Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

Em Matemática existem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações

Em Matemática existem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Relações Prof.: Rogério Dias

Leia mais

Mat. Monitor: Gabriella Teles

Mat. Monitor: Gabriella Teles Mat. Professor: Rafael Jesus Monitor: Gabriella Teles Geometria analítica plana: distância e reta 13 out RESUMO Distância entre dois pontos: Dado dois pontos A e B do plano cartesiano, chama-se distância

Leia mais

Exemplo: As retas r: 2x 3y = 1 e s: 10x 15y = 18 são paralelas?

Exemplo: As retas r: 2x 3y = 1 e s: 10x 15y = 18 são paralelas? 4.13. Condição de Paralelismo. Analisando as retas com equação na forma geral, facilmente sabemos, pela resolução do sistema de equações, qual é a posição relativa entre as retas. Agora, se as equações

Leia mais

2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano

2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano 1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α,

Leia mais

A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante?

A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante? Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos:

Leia mais

Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Estudo do Plano Prof Marcelo Maraschin de Souza Plano Equação Geral do Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = a, b, c, n 0, um vetor normal (ortogonal)

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio. Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio. Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta Terceiro Ano - Médio Autor: Prof Angelo Papa Neto Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Condição de alinhamento de três pontos Consideremos

Leia mais

Portal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio

Portal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Terceiro Ano - Médio Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta Terceiro Ano - Médio Autor: Prof Angelo Papa Neto Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 Condição de alinhamento de três pontos Consideremos

Leia mais

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos Tópicos de Matemática Lic. em Ciências da Computação Teoria elementar de conjuntos Carla Mendes Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho 2010/2011 Tóp. de Matemática - LCC - 2010/2011 Dep. Matemática

Leia mais

Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações

Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações 1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente

Leia mais

Geometria Analítica - Aula

Geometria Analítica - Aula Geometria Analítica - Aula 18 228 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 19 Continuamos com o nosso estudo da equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 1. Hipérbole Definição 1 Uma hipérbole, H, de focos F 1

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA RETA EQUAÇÃO GERAL DA RETA... EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA... 8 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA... 4 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA... 5 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO... 8 CONDIÇÃO DE PARALELISMO... 6 CONDIÇÃO DE

Leia mais

Revisão de conceitos Matemáticos. Matemática e Fundamentos de Informática

Revisão de conceitos Matemáticos. Matemática e Fundamentos de Informática Revisão de conceitos Matemáticos Matemática e Fundamentos de Informática 1 1 Conjuntos Teoria dos conjuntos Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar

Leia mais

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P.

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P. Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas. 1) Represente no plano cartesiano

Leia mais

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno Estudo da Reta I - Inclinação de uma reta () direção É a medida do ângulo que a reta forma com o semieixo das abscissas (positivo) no sentido anti-horário.

Leia mais

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Retas e Planos Prof. Lilian

Leia mais

Formação Continuada em Matemática. Matemática 3º ano - 3º Bimestre / Plano de Trabalho 2. Geometria Analítica

Formação Continuada em Matemática. Matemática 3º ano - 3º Bimestre / Plano de Trabalho 2. Geometria Analítica Formação Continuada em Matemática Matemática 3º ano - 3º Bimestre / 2014 Plano de Trabalho 2 Geometria Analítica Tarefa 2 Cursista: Marciele Euzébio de Oliveira Nascimento Grupo:1 Tutora:Bianca Coloneze

Leia mais

MATEMÁTICA A ÁLGEBRA LINEAR

MATEMÁTICA A ÁLGEBRA LINEAR MATEMÁTICA A ÁLGEBRA LINEAR Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica ESSC / USP Licenciada em Matemática UFSCar 1 GEOMETRIA ANALÍTICA (GA), & ÁLGEBRA LINEAR Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica

Leia mais

Em todas as questões, está fixado um sistema ortogonal (O, i, j, k) com base ( i, j, k) positiva.

Em todas as questões, está fixado um sistema ortogonal (O, i, j, k) com base ( i, j, k) positiva. 1 Em todas as questões, está fixado um sistema ortogonal (O, i, j, k) com base ( i, j, k) positiva a1q1: Sejam r uma reta, A e B dois pontos distintos não pertencentes a r Seja L o lugar geométrico dos

Leia mais

EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014

EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014 EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014 Disciplina: Matemática Professor: Flávio Calônico Júnior Turma: 3 ano do Ensino Médio Data 15/setembro 17/setembro 18/setembro 22/setembro Conteúdo NÚMEROS COMPLEXOS

Leia mais

Fundação CECIERJ/ Consórcio CEDERJ. Matemática 3º Ano - 3º Bimestre / Plano de Trabalho. Geometria Analítica. Tarefa 2

Fundação CECIERJ/ Consórcio CEDERJ. Matemática 3º Ano - 3º Bimestre / Plano de Trabalho. Geometria Analítica. Tarefa 2 Fundação CECIERJ/ Consórcio CEDERJ Matemática 3º Ano - 3º Bimestre / 2014 Plano de Trabalho Geometria Analítica Tarefa 2 Cursista: Jocimar de Avila Tutora: Danúbia 1 S u m á r i o Introdução.....................................

Leia mais

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1)

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1) Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1) A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para

Leia mais

Colégio Notre Dame de Campinas Congregação de Santa Cruz PLANTÕES DE JULHO MATEMÁTICA AULA 1

Colégio Notre Dame de Campinas Congregação de Santa Cruz PLANTÕES DE JULHO MATEMÁTICA AULA 1 PLANTÕES DE JULHO MATEMÁTICA AULA 1 Nome: Nº: Série: 3º ANO Turma: Prof: Luis Felipe Bortoletto Data: JULHO 2018 Lista 1 1) Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar

Leia mais

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg Geometria Analítica Cônicas Prof. Vilma Karsburg Cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendiculares. Considere e fixa e g girar 360 em torno de e, mantendo constante o ângulo entre

Leia mais

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

NOTAÇÕES. Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados

NOTAÇÕES. Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados ITA006 NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais i: unidade imaginária; i z = x+ iy, x, y = 1 : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0, 1,, 3,...

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

ÁLGEBRA. AULA 1 _ Conjuntos Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA. AULA 1 _ Conjuntos Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora 1 ÁLGEBRA AULA 1 _ Conjuntos Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora 2 Pode-se dizer que a é, em grande parte, trabalho de um único matemático: Georg Cantor (1845-1918). A noção de conjunto não é suscetível

Leia mais

Matemática B Semi-Extensivo V. 3

Matemática B Semi-Extensivo V. 3 Matemática Semi-Extensivo V. Exercícios 01 (x, x; (, 1; (7, d, = d, x x x x = x + 4x + 4 + x + x + 1 = x 14x + 49 + x 4x + 4 4x = 48 x = (, 0 (1, 1; G(, ; M(, 1 (x, y = x = 1 x x = 5 = y x y 1 = 1 y x

Leia mais

SUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica

SUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica SUMÁRIO Unidade 1 Matemática Básica Capítulo 1 Aritmética Introdução... 12 Expressões numéricas... 12 Frações... 15 Múltiplos e divisores... 18 Potências... 21 Raízes... 22 Capítulo 2 Álgebra Introdução...

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO GEOMETRIA 2ºANO

LISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO GEOMETRIA 2ºANO LISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO GEOMETRIA 2ºANO 1) Se o ponto P(2m-8, m) pertence ao eixo das ordenadas, então: a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 e) m

Leia mais

A x,y e B x,y, as coordenadas do ponto médio desse segmento serão dadas por:

A x,y e B x,y, as coordenadas do ponto médio desse segmento serão dadas por: . Plano Cartesiano: é formado por dois eixos perpendiculares, um horizontal (eixo das abscissas) e outro vertical (eixo das ordenadas), dividido em quatro quadrantes contados no sentido anti-horário como

Leia mais

CURSO DO ZERO. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,...

CURSO DO ZERO. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,... ssunto: Conjunto e Conjuntos Numéricos ssunto: Teoria dos Conjuntos Conceitos primitivos. Representação e tipos de conjunto. Operação com conjuntos. Conceitos Primitivos: CURSO DO ZERO Para dar início

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)

Leia mais

Pensamento. (Provérbio Chinês) Prof. MSc. Herivelto Nunes

Pensamento. (Provérbio Chinês) Prof. MSc. Herivelto Nunes Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017 Pensamento Não creio em números, não creio na palavra tudo e nem na palavra nada. São três afirmações exatas e imóveis: o mundo está sempre dando voltas.

Leia mais

Equação de 1º Grau. ax = -b

Equação de 1º Grau. ax = -b Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a

Leia mais

MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1

MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1 MATEMÁTICA I FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 1 EMENTA Funções Reais de uma Variável Real Principais Funções Elementares e suas Aplicações Matrizes Livro Teto: Leithold, Louis.

Leia mais

Formação Continuada em Matemática. Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ. Matemática 3º ano. Geometria analítica 4º bimestre

Formação Continuada em Matemática. Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ. Matemática 3º ano. Geometria analítica 4º bimestre Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ Matemática 3º ano Geometria analítica 4º bimestre - 2012 Tarefa 2 Plano de Trabalho Cursista : Isabel Vilares Pereira Tutor: Claudio

Leia mais

Formação Continuada em MATEMÁTICA. Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ. Matemática 3º Ano - 4º Bimestre/2013 Plano de Trabalho Geometria Analítica

Formação Continuada em MATEMÁTICA. Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ. Matemática 3º Ano - 4º Bimestre/2013 Plano de Trabalho Geometria Analítica Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 3º Ano - 4º Bimestre/2013 Plano de Trabalho Geometria Analítica Tarefa 2 Cursista: Rogério Galeazzi Galvagni Tutura: Maria

Leia mais

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),

Leia mais

n. 17 ESTUDO DA RETA: equações Uma direção e um ponto determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta

n. 17 ESTUDO DA RETA: equações Uma direção e um ponto determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta n. 17 ESTUDO DA RETA: equações Uma direção e um ponto determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta Equação geral de uma reta Para determinar a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados

Leia mais

1 Vetores no Plano e no Espaço

1 Vetores no Plano e no Espaço 1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no

Leia mais

1) Seja o conjunto A = (0;1). Quantas relações binárias distintas podem ser definidas sobre o conjunto A?

1) Seja o conjunto A = (0;1). Quantas relações binárias distintas podem ser definidas sobre o conjunto A? RESUMO A relação binária é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática. Um par ordenado consiste de dois termos,

Leia mais

Ô, 04 ! ^ D. Exercícios

Ô, 04 ! ^ D. Exercícios O Espaço 93 O, 0,0), Q 2 (6, O, 0), Q 3 (6, 8, 0), Q 4 (0, 8,0), Q 5 (6, O, 4),

Leia mais

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Coletânea de Questões Isoladas ITA 1970

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Coletânea de Questões Isoladas ITA 1970 A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Coletânea de Questões Isoladas ITA 1970 Essas 24 questões foram coletadas isoladamente em diversas fontes bibliográficas. Seguindo sugestão de uma

Leia mais

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 )

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 ) Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x

Leia mais

1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que:

1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: retas; planos; interseções de retas e planos; posições relativas entre retas e planos; distância

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y ORIGEM EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X COORDENADAS DE UM

Leia mais

n. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas

n. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas n. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A (x1, y1, z1) e tem a direção de um vetor

Leia mais

1º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A

1º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): nº Data: / /0 º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A - 0 0) Seja N o conjunto dos inteiros positivos. Dados os conjuntos A = {p N; p é primo}

Leia mais

Lista 5. Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo (O; i, j, k)

Lista 5. Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo (O; i, j, k) UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM045 - Geometria Analítica Prof. José Carlos Eidam Lista 5 Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo

Leia mais

Equações da reta no plano

Equações da reta no plano 3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........

Leia mais

Questão 1 a) A(0; 0) e B(8; 12) b) A(-4; 8) e B(3; -9) c) A(3; -5) e B(6; -2) d) A(2; 3) e B(1/2; 2/3) e) n.d.a.

Questão 1 a) A(0; 0) e B(8; 12) b) A(-4; 8) e B(3; -9) c) A(3; -5) e B(6; -2) d) A(2; 3) e B(1/2; 2/3) e) n.d.a. APOSTILAS (ENEM) VOLUME COMPLETO Exame Nacional de Ensino Médio (ENEM) 4 VOLUMES APOSTILAS IMPRESSAS E DIGITAIS Questão 1 (UFPE) Determine o ponto médio dos segmentos seguintes, que têm medidas inteiras:

Leia mais

TEORIA DOS CONJUNTOS

TEORIA DOS CONJUNTOS Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Matemática (versão 2.1) A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para

Leia mais

Com o auxílio do software vamos verificar se os pontos A(4, 7) e B(3, 5) pertencem à reta r do exemplo acima. Procedimentos para o uso do Winplot:

Com o auxílio do software vamos verificar se os pontos A(4, 7) e B(3, 5) pertencem à reta r do exemplo acima. Procedimentos para o uso do Winplot: Retas Equações de uma reta com o software Winplot Equação geral Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(x A, y A ) e

Leia mais

A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas).

A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas). MAT 105- Lista de Exercícios 1. Prolongue o segmento com extremos em (1, -5) e (3, 1) de um comprimento de (10) unidades. Determine as coordenadas dos novos extremos. 2. Determine o centro e o raio da

Leia mais