RLM - PROFESSOR CARLOS EDUARDO AULA 3

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Laura Tuschinski Tomé
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1 AULA 3 Sucessões = sequências(numéricas) São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser FINITA ou INFINITA. Ex: a) (3, 6, 9, 12) sequência finita P.A de razão 3 b) (5, 10, 15,...) sequência infinita P.A de razão 5 IPC: É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência. Representação (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ), em que: a 1 é o primeiro termo a 2 é o segundo termo a 3 é o terceiro termo Ex: Monte a sucessão numérica onde o termo geral é dado pela seguinte fórmula a n =2.a n e o a 1 = 1 IPC: Nem sempre uma sequência será uma P.A. ou P.G. Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...) a n = a n-1 + a n-2 (a partir do 3º termo) 1) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado critério: ( 1, 5, 3, 15, 13, 65, 63,...) Se x/y é o 9º termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x + y é um número: a) menor que 400. b) múltiplo de 7. c) ímpar.

2 d) quadrado perfeito. e) maior que 500. Progressão Aritmética (PA) É toda sequência (a 1, a 2, a 3,...) tal que: a 1 = a a n+1 = a n + r (para n 1) Ex: (3, 7, 11, 15, 19) PA 5 termos a 1 = 3 r = 4 Propriedades I) II) a n+1 - a n = r a n = a n+1 + a n-1 2 Média Aritmética III) (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7 ) a 3 + a 5 = a 1 + a 7 Termo geral da PA a n = a 1 + (n-1)r Ex: Qual o a 15 de uma PA de razão 3 e o a 8 = 10?

3 Soma dos termos da PA S n = (a 1 + a n ) n 2 Ex: Numa PA com 30 termos o a 1 = 12 e o a 30 = 58. Qual o valor da soma de todos eles? Progressão Geométrica (PG) É toda sequência (a 1, a 2, a 3,...) tal que: a 1 = a a n+1 = a n q (para n 1) a 0 e q 0 Ex: (3, 6, 12, 24) PG 4 termos a 1 = 3 q = 2 Propriedades I) a n+1 = q a n II) Ia n I = a n-1 x a n+1 Média Geométrica III) (3, 6, 12, 24) a 1 + a 4 = a 2 + a 3

4 Termo geral da PG a n = a 1 q n-1 Ex: Numa PG de razão 3, cujo 1º termo vale 2, o valor do 4º termo é? Soma dos termos da PG S n = a 1 (q n - 1) q-1 Para q 1 Ex: Numa PG com 10 termos, o a 1 = 25 e a razão é 2. Determinar a soma destes termos. Soma-limite de uma PG infinita Acontece numa PG onde a razão está entre 0 e 1

5 S = a q Ex: Determinar a soma-limite da expressão _ + 1_ + 1_ ) Considerando que, em uma PA a razão seja positiva, a 1 = 2 e os termos a 1, a 3 e a 11 estejam, nessa ordem, em PG, julgue o item a seguir: A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética será sempre um número inteiro. 3) Uma sequência de números k1, k2, k3, k4,...,kn é denominada Progressão Geométrica - PG - de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão.

6 Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p - 2); p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a: a) (6 - p); 2/3; 21 b) (p +6); 3/2; 19 c) 6; (6 p); 21 d) (6 - p); 3/2; 19 e) (p - 6); p; 20 MDC e MMC Múltiplos É só lembrar-se da tabuada que aprendemos lá na infância. Ex: 3 x 0 = 0 3 x 1 = 1 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30.. Primeiros 11 múltiplos Conjunto infinito

7 . Divisores É o nº que divide certo número dando resto zero. Ex: 12 : 4 = 3 O nº 4 é divisor de 12 Conjunto dos divisores de um nº natural D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50} conjunto finito 50 = 2 x 5² 6 divisores M.D.C. e M.M.C. Calcular o MDC e o MMC entre os números 64 e 24 M(64) = {64, 128, } D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} M(24) = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, } D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} MDC (64, 24) = 8 MMC (64, 24) = 192 4) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e

8 um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. I. Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados esses catálogos será igual a: a) 20 b) 34 c) 54 d) 10 e) 17 II. Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará: a) 8,3 kg b) 8,4 kg c) 8 kg d) 8,1 kg e) 8,2 kg

9 Teoria dos Conjuntos Conjunto Uma definição básica para conjunto é que ele é uma reunião de elementos. Estes elementos podem ser pessoas, animais, objetos, números etc. Ex: A = {a, b, c, d, e,..., z} Pode também ser representado por uma propriedade... A = {x/x é letra do alfabeto}...ou através de um diagrama, chamado Diagrama de Venn A a b c d e f g h i j l m n o p q r s t u v x z Pertinência (Є ou Є) Analisar se um elemento qualquer pertence ou não pertence a determinado conjunto. Ex: B = {x/x é consoante da palavra FEDERAL} P Є B? Conjunto Vazio não possui elementos. É representado por { } ou Ø. Conjunto unitário possui apenas um elemento. Conjuntos numéricos Conjunto dos números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos números Inteiros Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos números Inteiros Não Positivos

10 Z _ = {...-4, -3, -2, -1, 0} Conjunto dos números Inteiros Negativos Z * _ = {...-4, -3, -2, -1} IPC: O zero não é positivo nem negativo. Conjunto dos números Racionais Z = {x/x = a, a Є Z e b Є Z* } b Conjunto dos números Irracionais I = { 2, 7, π,...} ** Conjunto dos números Reais R = Q U I Q. 2 5 Z. -3 I N , π R Igualdade entre conjuntos A = {3, 5, 11} B = {11, 11, 11, 3, 5, 3, 5} A = B? Relação de Inclusão A Ϲ B ou B Ͻ A / A Ȼ B ou B Ͻ A

11 Se todos os elementos da A forem também de B, A está contido em B ou B contém A. E se pelo menos um elemento de A não for também elemento de B, A não está contido em B ou B não contém A. A Ϲ B ou B Ͻ A B A=B A A Ȼ B ou B Ͻ A A B IPC: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto porque ele não tem nenhum elemento que não seja elemento do outro conjunto. 5) Classifique em C ou E os itens abaixo: a) Ø Є {11, 12, 13} b) -4 Є N c) N* = Z* + d) Ø Ϲ {0, 1, 2, 2} e) R Ϲ Q

12 Conjunto das Partes O conjunto das partes de A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Ex: A = {1, 3, 5} P(A) = {Ø, {1}, {3}, {5}, {1}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}} N [P(A)] = 2 n Interseção de conjuntos A B É o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também a B. A B União de conjuntos A U B É o conjunto formado por todos os elementos de A e todos os elementos de B. A B IPC: n(a U B) = n(a) + n(b) n(a B) ** Propriedades A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C) Diferença de conjuntos A - B É o conjunto formado pelos elementos de A que não pertençam a B.

13 A B Conjunto Universo Quando definimos um conjunto para fazermos uma operação matemática. Ex: x + 6 = 3, sendo U = Z x = -3 Є Z (tem solução) x + 6 = 3, sendo U = N x = -3 Є N (não tem solução) Conjunto Complementar C B A É a diferença B A, quando A é subconjunto de B. ** B A 6) Julgue C ou E. Considere os conjuntos A, B e C, seus respectivos complementares e as seguintes declarações: Para esses conjuntos e seus respectivos complementares, estão corretas as declarações I, II e III.

14 7) (Analista/SEBRAE/Cespe-Unb/2008) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se prepararam para esse concurso usando esse livros revelou que: 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 candidatos utilizaram somente o livro N; 90 candidatos utilizaram o livro L; 20 candidatos utilizaram os livros L e M; 25 candidatos utilizaram os livros M e N; 15 candidatos utilizaram os três livros; Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes: I) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. II) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. III) 90 candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelo menos dois desses livros. IV) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a ) (IDENE - FUNRIO) Um levantamento entre leitores revelou que: 37% leem a revista X, 42% leem a revista Y e 18% leem as duas revistas, X e Y. A porcentagem dos leitores entrevistados que não leem a revista X nem a revista Y é: a) 39 % b) 40 % c) 41 % d) 42 %

15 e) 43 % GABARITO 1) D 2) C 3) D 4) I) A; II) B 5) a) E; b) C; c) C; d) C; e) E 6) E 7) I) E; II) C; III) C; IV) E 8) A Exercício extra Racha-Cuca Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 cortes. Divirta-se! E persista até alcançar o êxito!

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