Roteiro da segunda aula presencial - ME
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- João Guilherme Sintra
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1 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Matemática Elementar Departamento de Matemática Universidade Federal da Paraíba 29 de outubro de 2014
2 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q1 Questão 1 Use o princípio da indução finita para provar que, para todo número natural n, vale a igualdade: n(n + 1) n = 2
3 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q1 Resposta da questão 1 n(n + 1) n = 2 Usando o Princípio da Indução temos: Quando n = 1, verifica-se que a fórmula acima é válida pois: 1(1 + 1) 1 = = = 1
4 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q1 Resposta da questão 1 n(n + 1) n = 2 Suponhamos que a fórmula acima seja verdadeira para n = k, ou seja, a soma dos k primeiros números seja: k(k + 1) k = 2
5 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q1 Resposta da questão 1 k(k + 1) k = 2 Fazendo n = (k + 1), e somando aos dois lados da igualdade acima por (k + 1), obtemos: k(k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) k +(k +1) = +(k +1) = 2 2 (k + 1)(k + 2) isto é, a soma dos k + 1 primeiros é. 2 Provamos assim, por indução, que a igualdade acima é verdadeira para todo n N.
6 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q1 Resposta da questão 1 k(k + 1) k = 2 Fazendo n = (k + 1), e somando aos dois lados da igualdade acima por (k + 1), obtemos: k(k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) k +(k +1) = +(k +1) = 2 2 (k + 1)(k + 2) isto é, a soma dos k + 1 primeiros é. 2 Provamos assim, por indução, que a igualdade acima é verdadeira para todo n N.
7 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q2 Questão 2 Em relação à conjuntos enumeráveis, assinale as alternativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificando/exemplificando cada resposta dada. a b c d ( ) A é dito enumerável quando existir uma bijeção entre A e um subconjunto dos números naturais N. ( ) Se A e B são conjuntos enumeráveis então a união A B é não enumerável. ( ) Se A é um conjunto não enumerável então todo subconjunto infinito de A é não enumerável. ( ) Se o produto cartesiano A B é não enumerável, então A e B são conjuntos enumeráveis.
8 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q2 Resposta da questão 2) a ( ) A é dito enumerável quando existir uma bijeção entre A e um subconjunto dos números naturais N. Verdadeiro. Pois se A é finito basta considerar uma bijeção com um subconjunto finito de N e se A for infinito basta considerar uma bijeção com o próprio conjunto N.
9 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q2 Resposta da questão 2) b ( ) A é dito enumerável quando existir uma bijeção entre A e um subconjunto dos números naturais N. Falso. Pois se A e B são conjuntos enumeráveis então existem funções bijeção f A e f B de A e B em subconjuntos de N, logo a função definida por { 2fA (x) se x A F(x) = 2f B (x) + 1 se x B é uma bijeção com um subconjunto de N.
10 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q2 Resposta da questão 2) c ( ) Se A é um conjunto não enumerável então todo subconjunto infinito de A é não enumerável. Falso. Pois considere o conjunto R não enumerável e o subconjunto infinito N R que é enumerável.
11 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q2 Resposta da questão 2) d ( ) Se o produto cartesiano A B é não enumerável, então A e B são conjuntos enumeráveis. Falso. Pois se o produto cartesiano A B é não enumerável, necessariamente A ou B é não enumerável.
12 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Questão 3 Escreva o número [1234] 5 na forma decimal (base dez) e o número decimal 1234 na base 5.
13 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 3) Para escrever [1234] 5 na base decimal, basta observar a construção deste número que é [1234] 5 = = = 194
14 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 3) Para escrever 1234 na base 5, usaremos o algoritmo da divisão: = resto = resto = resto = resto = resto 1 Logo 1234 = [14414] 5 (observe a ordem dos números)
15 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Questão 4 Dado um número natural n, considere os conjuntos D(n) e M(n) como o conjunto dos divisores e dos múltiplos de n respectivamente: a b Determine MDC(22, 28) pelo Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) e MDC(22, 28, 36) como o maior elemento do conjunto D(22) D(28) D(36). Determine via processo de decomposição simultânea o MMC(22, 28) e MMC(8, 12, 16) como o menor elemento do conjunto M(8) M(12) M(16).
16 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 a) Usando o Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para determinar MDC(22, 28) temos: = resto = resto = resto = resto 0 Logo o resultado é o último divisor, não nulo, deste processo, ou seja, MDC(22,28) = 2.
17 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 a) Usando o Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para determinar MDC(22, 28) temos: = resto = resto = resto = resto 0 Logo o resultado é o último divisor, não nulo, deste processo, ou seja, MDC(22,28) = 2.
18 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 a) Para determinar MDC(22, 28, 36) como o maior elemento do conjunto D(22) D(28) D(36), vamos encontrar esses conjuntos: D(22) = {1,2,11,22} D(28) = {1,2,4,7,14,28} D(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} Logo D(22) D(28) D(36) = {1,2} Portanto concluímos que: MDC(22, 28, 36) = 2
19 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 a) Para determinar MDC(22, 28, 36) como o maior elemento do conjunto D(22) D(28) D(36), vamos encontrar esses conjuntos: D(22) = {1,2,11,22} D(28) = {1,2,4,7,14,28} D(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} Logo D(22) D(28) D(36) = {1,2} Portanto concluímos que: MDC(22, 28, 36) = 2
20 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 a) Para determinar MDC(22, 28, 36) como o maior elemento do conjunto D(22) D(28) D(36), vamos encontrar esses conjuntos: D(22) = {1,2,11,22} D(28) = {1,2,4,7,14,28} D(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} Logo D(22) D(28) D(36) = {1,2} Portanto concluímos que: MDC(22, 28, 36) = 2
21 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Determinando via processo de decomposição simultânea o MMC(22, 28), temos Logo MMC(22,28) = = 308
22 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Determinando via processo de decomposição simultânea o MMC(22, 28), temos Logo MMC(22,28) = = 308
23 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Para MMC(8, 12, 16) como o menor elemento do conjunto M(8) M(12) M(16), vamos encontrar esses conjuntos: M(8) = {8,16,24,32,40,48,56,...} M(12) = {12,24,36,48,60,72,...} M(16) = {16,32,48,64,80,96,...} Logo M(8) M(12) M(16) = {48,96,...} Portanto concluímos que: MMC(8, 12, 16) = 48
24 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Para MMC(8, 12, 16) como o menor elemento do conjunto M(8) M(12) M(16), vamos encontrar esses conjuntos: M(8) = {8,16,24,32,40,48,56,...} M(12) = {12,24,36,48,60,72,...} M(16) = {16,32,48,64,80,96,...} Logo M(8) M(12) M(16) = {48,96,...} Portanto concluímos que: MMC(8, 12, 16) = 48
25 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Para MMC(8, 12, 16) como o menor elemento do conjunto M(8) M(12) M(16), vamos encontrar esses conjuntos: M(8) = {8,16,24,32,40,48,56,...} M(12) = {12,24,36,48,60,72,...} M(16) = {16,32,48,64,80,96,...} Logo M(8) M(12) M(16) = {48,96,...} Portanto concluímos que: MMC(8, 12, 16) = 48
26 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Só para calcular e confirmar o valor do MMC(8,12,16) via processo de decomposição simultânea: Logo MMC(8,12,16) = = 48
27 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q3 Q4 Resposta da questão 4 b) Só para calcular e confirmar o valor do MMC(8,12,16) via processo de decomposição simultânea: Logo MMC(8,12,16) = = 48
28 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Questão 5 Definição Dados a e b números inteiros, temos a b mod n se, e somente se, a e b possuem o mesmo resto quando divididos por n. Verifique as equivalências abaixo são verdadeiras: a 2 43 mod 5 b 2 20 mod 5 c mod 5 d 4 17 mod 5
29 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 5 a A equivalência: 2 43 mod 5 é verdadeira pois os restos são iguais a 3: Ou, 2 43 = 45 0 mod 5 2 = resto 3 43 = resto 3
30 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 5 b A equivalência: 2 20 mod 5 é falsa pois os restos são diferentes: Ou, 2 20 = 18 0 mod 5 2 = resto 2 20 = resto 0
31 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 5 c A equivalência: mod 5 é verdadeira pois os restos são iguais a 2: Ou, = 5 0 mod 5 12 = resto 2 17 = resto 2
32 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 5 d A equivalência: 4 17(mod 5) é falsa pois os restos são diferentes: Ou, 4 17 = 21 0 mod 5 4 = resto 1 17 = resto 2
33 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Questão 6 Dados a e b em Z n = {0,1,2,3,,n 1}, definimos o produto a.b como sendo a classe de equivalência módulo n do produto (usual) a.b e que a é divisível por b se existe c Z n tal que a = b.c. Em Z 7 = {0,1,2,3,4,5,6} determine: a b 5 3 c 8 12 d a da divisão de 3 por 4 e o inverso multiplicativo de 3 f uma solução para a equação x 2 1 = 3
34 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 6 a = = 17 = 3 Pois 17 3 mod 7.
35 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 6 b 5 3 = 5 3 = 15 = 1 Pois 15 1 mod 7.
36 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 6 c 8 12 = 8 12 = 1 8 = 1 Pois 8 1 mod 7.
37 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 6 d Da divisão de 3 por 4, o que se pede é um número X Z 7, tal que X 4 = 3, ou seja, valores para x Z de forma que 4x 7 tenha resto 3, portanto observe que todos os elementos do conjunto 6 = {..., 8, 1,6,13,...} satisfazem a condição. Logo a divisão de 3 por 4 é 6
38 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 6 e O inverso multiplicativo de 3 será um X Z 7, tal que X 3 = 3 X = 1, ou seja, valores para x Z de forma que 3x 7 tenha resto 1, portanto observe que todos os elementos do conjunto 5 = {..., 9, 2,5,12,...} satisfazem a condição. Logo o inverso multiplicativo de 3 será 5.
39 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 6 f Uma solução para a equação x 2 1 = 3 será um X Z 7, tal que X 2 1 = 3, ou seja, valores para x Z de forma que (x 2 1) 7 tenha resto 3, portanto observe que todos os elementos dos conjuntos 2 = {..., 12, 5,2,9,...} e 5 = {..., 9, 2,5,12,...} satisfazem a condição. Logo as soluções para a equação são 2 e 5. x 2 1 = 3
40 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Questão 7 Mostre que é divisível por 3.
41 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 7 Lembrando que se a b mod c, então a n b n mod c e (a + d) (b + d) mod c Além disso, dados a e b inteiros, temos que a é divisível por b se, e somente se, a 0 mod b Por exemplo 6 0 mod 3. Como 2 1 mod 3, então mod 3. Agora basta somar 2 e obtemos ( ) (1 + 2) mod 3 0 mod 3 Logo é divisível por 3
42 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 7 Lembrando que se a b mod c, então a n b n mod c e (a + d) (b + d) mod c Além disso, dados a e b inteiros, temos que a é divisível por b se, e somente se, a 0 mod b Por exemplo 6 0 mod 3. Como 2 1 mod 3, então mod 3. Agora basta somar 2 e obtemos ( ) (1 + 2) mod 3 0 mod 3 Logo é divisível por 3
43 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 7 Lembrando que se a b mod c, então a n b n mod c e (a + d) (b + d) mod c Além disso, dados a e b inteiros, temos que a é divisível por b se, e somente se, a 0 mod b Por exemplo 6 0 mod 3. Como 2 1 mod 3, então mod 3. Agora basta somar 2 e obtemos ( ) (1 + 2) mod 3 0 mod 3 Logo é divisível por 3
44 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 7 Lembrando que se a b mod c, então a n b n mod c e (a + d) (b + d) mod c Além disso, dados a e b inteiros, temos que a é divisível por b se, e somente se, a 0 mod b Por exemplo 6 0 mod 3. Como 2 1 mod 3, então mod 3. Agora basta somar 2 e obtemos ( ) (1 + 2) mod 3 0 mod 3 Logo é divisível por 3
45 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Q5 Q6 Q7 Resposta da questão 7 Lembrando que se a b mod c, então a n b n mod c e (a + d) (b + d) mod c Além disso, dados a e b inteiros, temos que a é divisível por b se, e somente se, a 0 mod b Por exemplo 6 0 mod 3. Como 2 1 mod 3, então mod 3. Agora basta somar 2 e obtemos ( ) (1 + 2) mod 3 0 mod 3 Logo é divisível por 3
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