Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 42

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1 1 / 42 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019

2 2 / 42 1 Combinatória 2 3 Grafos

3 3 / 42 Capítulo 2

4 4 / 42 Axiomática dos Inteiros Sejam a e b inteiros. Designaremos por a + b a sua soma e a b (ou ab) a sua multiplicação. Admitem-se válidos os seguintes axiomas: I1. a + b e ab pertencem a Z; I2. a + b = b + a e ab = ba; I3. (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc); I4. a + 0 = a e a 1 = a; I5. a(b + c) = ab + ac; I6. Para cada a Z existe um único inteiro representado por a, tal que a + ( a) = 0; I7. Se a 0 e ab = ac, então b = c.

5 5 / 42 Axiomática dos Inteiros Proposição São válidas as seguintes propriedades: 1 O elemento neutro da adição em Z é único; 2 Sendo a,b,c Z é válida a lei do corte para a adição, ou seja se a + b = a + c, então b = c; 3 Se a Z,a 0 = 0; 4 Sendo a,b Z é válida a lei do anumlamento do produto, ou seja ab = 0 sse a = 0 ou b = 0.

6 6 / 42 Axiomática dos Inteiros Definição A subtração de inteiros representa-se por a b e define-se como se segue: a b = a + ( b).

7 7 / 42 Axiomática dos Inteiros Suponha-se que existe uma relação de ordem nos inteiros representado pelo símbolo. Sejam a,b e c inteiros. Admitem-se válidos os seguintes axiomas: I8. a a; I9. Se a b e b a, então a = b; I10. a b e b c, então a c; I11. a b a + c b + c; I12. a b e 0 c, então ac bc. Observação De referir que se pode definir as relações,< e >: a b sse b a; a < b sse a b e a b; a > b sse b a e a b.

8 8 / 42 Axiomática dos Inteiros Definição Seja X um subconjunto de Z. Diz-se que l é um minorante de X se l x, x X. Se l X diz-se que l é mínimo de X. I13. (Princípio da boa ordenação de Z) Se X é um subconjunto não vazio de Z com um minorante, então X tem mínimo. Princípio da boa ordenação de N: Se X é um subconjunto não vazio de N ou N 0, então X tem mínimo.

9 Princípio de Indução Teorema Seja P(n) uma afirmação na variável n N que satisfaz as seguintes condições: i) Base de indução: P(1) é verdadeira; ii) Passo de indução: para qualquer k N se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira. Então P(n) é verdadeira para todo o n N. 9 / 42

10 Princípio de Indução (1 a variante) Teorema Seja a N e P(n) uma afirmação na variável n N com n a que satisfaz as seguintes condições: i) Base de indução: P(a) é verdadeira; ii) Passo de indução: para qualquer k a se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira. Então P(n) é verdadeira para todo o n a. 10 / 42

11 Princípio de Indução completa Teorema Sejam a,r N e P(n) uma afirmação na variável n N com n a que satisfaz as seguintes condições: i) Base de indução: P(a), P(a + 1),..., P(a + r) são verdadeiras; ii) Passo de indução: para qualquer k a + r se P(a),P(a + 1),...,P(a + r),...,p(k) são verdadeiras, então P(k + 1) é verdadeira. Então P(n) é verdadeira para todo o n a. 11 / 42

12 12 / 42 Divisão Inteira Teorema Dados a,b Z, existem inteiros q e r, tais que a = bq + r, 0 r < b, onde q e r têm respetivamente o nome de quociente e resto da divisão de a por b. Além disso, q e r são únicos.

13 Representação de números em diferentes bases Seja b 2 um inteiro. Dado a N, se utilizarmos repetidamente o teorema anterior concluímos que a = bq 0 + r 0 q 0 = bq 1 + r 1. q n 2 = bq n 1 + r n 1 q n 1 = bq n + r n. Se eliminarmos por retrosubstituição os quocientes q i conseguimos representar a da seguinte maneira: que usualmente se representa por a = r n b n + r n 1 b n r 1 b + r 0, a = (r n r n 1...r 1 r 0 ) b. 13 / 42

14 14 / 42 Divisibilidade Definição Dados inteiros a e b, diz-se que a é divisor de b se b = aq para algum q Z. Denota-se por a b. Quando a não divide b utiliza-se a notação a b.

15 Divisibilidade Proposição Sejam a,b,c,d Z. Então: 1 ±a a, e 1 a; 2 a b sse ( a) b sse a ( b); 3 se c 0, então a b sse ac bc; 4 se a b, então a bc; 5 se ab c, então a c e b c; 6 se a b e b c, então a c; 7 se a b e c d, então ac bd; 8 se a b e a c, então a (bx + cy), para quaisquer x,y Z; 9 se a b e b a, então a = ±b; 10 se a 1, então a = ±1; 11 se a,b N e a b, então a b; 15 / 42

16 16 / 42 Máximo divisor comum Um inteiro d é um divisor comum dos inteiros a e b se d a e d b. Definição Sejam a,b inteiros não ambos nulos. Ao maior dos divisores comuns de a e b dá-se o nome de máximo divisor comum de a e b. Representa-se por mdc(a,b).

17 17 / 42 Máximo divisor comum Lema (Algoritmo de Euclides) Se a = bq + r, então mdc(a,b) = mdc(b,r).

18 Máximo divisor comum Teorema Sejam a e b inteiros não ambos nulos e d = mdc(a,b). Então, existem inteiros x e y, tais que d = ax + by. 18 / 42

19 Máximo divisor comum Teorema Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Então d = mdc(a,b) sse i) d > 0; ii) d a e d b; iii) se c a e c b, então c b. 19 / 42

20 20 / 42 Números primos entre si Definição Sejam a,b Z. Diz-se que a e b são primos entre si (ou primos relativos) se mdc(a, b) = 1. Proposição Dois inteiros a e b são primos entre si sse existem inteiros x e y, tais que 1 = ax + by.

21 21 / 42 Números primos entre si Proposição Sejam a, b, c Z. Se mdc(a, b) = 1, a c e b c, então ab c. Proposição (Lema de Euclides) Sejam a,b,c Z. Se a bc e mdc(a,b) = 1, então a c.

22 22 / 42 Menor múltiplo comum Definição Sejam a e b inteiros não nulos. Ao menor dos múltiplos comuns de a e b dá-se o nome de menor múltiplo comum de a e b. Representa-se por mmc(a,b).

23 Menor múltiplo comum Teorema Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Então m = mmc(a,b) sse: 1 m > 0; 2 a m e b m; 3 sendo c 0, se a c e b c, então m c. 23 / 42

24 24 / 42 Relação entre mdc e mmc Teorema Se a e b são inteiros não nulos, então mmc(a,b) = ab mdc(a,b).

25 25 / 42 Equação linear diofantina a 2 incógnitas Teorema Sejam a,b,c Z,a,b 0 e d = mdc(a,b). 1 a equação ax + by = c tem soluções inteiras sse d c; 2 suponhamos que d c. Então, se (x 0,y 0 ) é uma solução inteira da equação ax + by = c, qualquer outro par (x,y) é solução sse for da forma x = x 0 + b d t y = y 0 a d t, t Z.

26 26 / 42 Números primos Definição Um número natural maior do que 1 diz-se primo se não tem outros divisores positivos além dele próprio e do 1. Um número que não é primo diz-se composto.

27 27 / 42 Números primos Teorema Qualquer número natural maior do que 1 é produto de números primos, isto é pode ser decomposto em fatores primos.

28 28 / 42 Trial division Corolário Seja n > 1 um número natural. Se n não é primo, então existe um primo p, tal que p n e p n.

29 29 / 42 Números primos Teorema Existe um número infinito de primos.

30 30 / 42 Decomposição em fatores primos Teorema Sejam a e b números inteiros e p um número primo. Se p divide ab, então p divide a ou p divide b. Corolário Se p é um número primo e x 1,x 2,...,x n são inteiros, tais que p x 1 x 2... x n, então p x i, para algum i = 1,2,...,n.

31 Decomposição em fatores primos Teorema (Teorema fundamental da aritmética) A decomposição em fatores primos de um número maior do que 1 é única, a menos da ordem dos fatores. 31 / 42

32 32 / 42 Congruências Definição Sejam a,b inteiros e m um número natural. Diz-se que a é congruente com b módulo m se m divide a b. Representa-se por a b(mod m).

33 33 / 42 Congruências Proposição As seguintes afirmações são equivalentes: 1 a b(mod m); 2 Existe k Z, tal que a = b + km; 3 Os restos das divisões de a e b por m são iguais. Observação Dizer que a 0(mod m) equivale a dizer que m divide a; Se r é o resto da divisão de a por m, então a r(mod m).

34 34 / 42 Congruências Proposição Sejam m > 1 um inteiro e a,b,c,d Z. Então: 1 a a(mod m); 2 se a b(mod m), então b a(mod m); 3 se a b(mod m) e b c(mod m), então a c(mod m); 4 se a b(mod m) e c d(mod m), então a + c b + d(mod m) e ac bd(mod m); 5 se a b(mod m) e k Z, então a + k b + k(mod m) e ak bk(mod m); 6 se a b(mod m) e k N, então a k b k (mod m).

35 35 / 42 Critérios de divisibilidade Proposição (Critérios de divisibilidade por 3,9 e 11) Seja n N cuja representação na base 10 é n = k i=0 a i 10 i = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0. Então: 1 n é divisível por 3 sse a k + a k a 1 + a 0 for divisível por 3; 2 n é divisível por 9 sse a k + a k a 1 + a 0 for divisível por 9; 3 n é divisível por 11 sse a 0 a ( 1) k a k for divisível por 11.

36 Lei do corte Proposição (Lei do corte para as congruências) Se ab ac(mod m) e mdc(a,m) = 1, então b c(mod m). Corolário Se ab ac(mod m) e mdc(a,m) = d, então b c(mod m d ). 36 / 42

37 Congruências Lineares Definição Uma congruência da forma ax b(mod m) tem o nome de congruência linear. Teorema Se mdc(a,m) = 1, então existe solução da congruência ax b(mod m). Se x 0 é uma solução particular, então todas as soluções são da forma x = x 0 + km, k Z. 37 / 42

38 Congruências Lineares Teorema Se mdc(a,m) = d, então existe solução da congruência ax b(mod m) sse d divide b. Neste caso, x 0 é solução de ax b(mod m) sse é solução de a d x b d (mod m d ). 38 / 42

39 39 / 42 Congruências Lineares Observação O conjunto {x 0 + k m d : k Z} das soluções de ax b(mod m) é a união dos conjuntos das soluções das congruências ( x x 0 (mod m), x x 0 + m ) d (mod m),..., x ( x 0 + (d 1) m d ) (mod m). Este últimos conjuntos são todos distintos, pelo que é costume dizer-se que x 0,x 0 + m d,...,x 0 + (d 1) m d são soluções distintas módulo m da congruência ax b(mod m).

40 40 / 42 Teorema chinês dos restos Teorema Sejam m 1,m 2,...,m k números naturais primos entre si dois a dois e a 1,a 2,...,a k inteiros quaisquer. Então existe uma solução x que resolve simultaneamente as congruências x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ). x a k (mod m k ) Quaisquer duas soluções são congruentes módulo M = m 1 m 2... m k.

41 41 / 42 Função de Euler Definição Considere-se o conjunto S n = {r N 0 : 0 r n 1,mdc(r,n) = 1}. Define-se a função de Euler da seguinte maneira: φ :N N n φ(n) = S n.

42 42 / 42 Função de Euler Observação se p é primo, então e φ(p) = p 1 φ(p k ) = p k p k 1. se m e n são primos entre si, então se n = p e 1 1 pe pe k k, então φ(mn) = φ(m)φ(n). φ(n) = n r k=1 (1 1p k ).