MA14 - Aritmética Lista 1. Unidades 1 e 2

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1 MA14 - Aritmética Lista 1 Unidades 1 e 2 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 05 a 11 de agosto 2013

2 Unidade 1 1. Mostre, por indução matemática, que, para todo n N {0}, a) 8 3 2n + 7 b) 9 10 n n Mostre que, para todo n N {0}, a) n n+2 b) n n+1 c) n n+1 3. Sejam a, b Z. a) Se a b, mostre que, para todo n N, n 2, a n b n a b = an 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1. b) Se a + b 0, mostre que, para todo n N, a 2n+1 + b 2n+1 = a 2n a 2n 1 b + ab 2n 1 + b 2n. a + b c) Se a + b 0, mostre que para todo n N, a 2n b 2n a + b = a 2n 1 a 2n 2 b + + ab 2n 2 b 2n 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 1 - Unidades 1 e 2 slide 2/5

3 Unidade 1 - Continuação 4. Para quais valores de a N a) a 2 a 3 + 4? b) a + 3 a 3 3? c) a + 2 a 4 + 2? d) a + 2 a 4 + 2a 3 + a 2 + 1? 5. Mostre que, para todos a, m, n Z, m > n 0 = a 2n + 1 a 2m Mostre, para todo n N, que n 2 (n + 1) n Mostre, para todo a Z, que a) 2 a 2 a b) 3 a 3 a c) 5 a 5 a d) 7 a 7 a PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 1 - Unidades 1 e 2 slide 3/5

4 Unidade 2 1. a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, a n é par, qualquer que seja n N. b) Mostre que a n ± a m é sempre par, quaisquer que sejam n, m N. c) Mostre que, se a e b são ímpares, então a 2 + b 2 é divisível por 2 mas não divisível por Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual a) à metade do quociente? b) ao quociente? c) ao dobro do quociente? d) ao triplo do quociente? 3. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número do terno abaixo é divisível por 3. n, n + 10, n + 23 PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 1 - Unidades 1 e 2 slide 4/5

5 Unidade 2 - Continuação 4. a) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a 2 deixa resto 1 na divisão por 3. b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a 2 + b 2, então a e b são divisíveis por O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5? 6. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 1 - Unidades 1 e 2 slide 5/5

6 MA14 - Aritmética Lista 2 Unidades 3 e 4 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 12 a 18 de agosto 2013

7 Unidade 3 1. Um certo número de três algarismos na base 10 aumenta de 36 se permutarmos os dois algarismos da direita, e diminui de 270 se permutarmos os dois algarismos da esquerda. O que acontece ao número se permutarmos os dois algarismos extremos? 2. Critério de divisibilidade por uma potência de 2 Seja dado um número a, representado na base 10 por a = a n a n 1... a 0. Usando o fato de que 2 k 10 k, mostre que 2 k divide a se, e somente se, o número a k 1... a 1 a 0 é divisível por 2 k. Em particular, a é divisível por 2 se, e somente se, a 0 é 0, 2, 4, 6 ou 8; também, a é divisível por 4 se, e somente se, a 1 a 0 é divisível por Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, de modo que os algarismos das centenas a e o das unidades c difiram de, pelo menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale Justifique esse fato. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 2 - Unidades 3 e 4 slide 2/5

8 Unidade 3 - Continuação 4. Seja dado o número na base 10; escreva-o nas seguintes bases: 2, 7, 12 e O número está na base 7; escreva-o nas bases 5 e Um número na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se-á 52? 7. Considere 73 na base 10; em que base ele escrever-se-á 243? 8. Escreva a tabuada na base 5. Use-a para calcular [132] 5 + [413] 5 e [23] 5 [342] Utilize o método do Exemplo 4.10 para calcular PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 2 - Unidades 3 e 4 slide 3/5

9 Unidade 3 - Continuação 10. Escreva: a) O número 2 n 1 na base 2. b) O número bn 1 b 1 na base b. 11. Sendo a = [a n... a 1 a 0 ] b, mostre que o número a (a a n ) é divisível por b 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 2 - Unidades 3 e 4 slide 4/5

10 Unidade 4 1. Determine, em cada caso apresentado abaixo, se a posição é segura ou insegura. a) b) c) d) 2. Determine qual das seguintes situações iniciais no Jogo de Nim permite ao primeiro jogador traçar uma estratégia vencedora. a) (12, 14, 15), b) (7, 9, 14), c) (7, 9, 15, 17). Em tal caso faça uma jogada que lhe será favorável. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 2 - Unidades 3 e 4 slide 5/5

11 MA14 - Aritmética Lista 3 Unidades 5 e 6 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 19 a 25 de agosto 2013

12 Unidade 5 1. Para cada par de números naturais a e b dados abaixo, ache (a, b) e determine números inteiros m e n tais que (a, b) = ma + nb. a) 637 e b) 648 e c) 551 e 874 d) e Seja n N. Mostre que a) (n, 2n + 1) = 1; b) (n + 1, n 2 + n + 1) = 1; c) (2n + 1, 9n + 4) = 1; d) (n! + 1, (n + 1)! + 1) = Mostre que (a, a 2 + na + b) b, quaisquer que sejam a, b, n N. 4. Seja dado a Z \ { 1}. a) Se m N, mostre que ( a 2m ) 1 a + 1, a + 1 = (a + 1, 2m). PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 3 - Unidades 5 e 6 slide 2/6

13 Unidade 5 - Continuação b) Se m N {0}, mostre que ( a 2m a + 1 ), a + 1 = (a + 1, 2m + 1). 5. Calcule ( 3 a) 40 ) , 35 1 ( 2 40 ) + 1 c) , ( b) 6 d) ), 6 ( , ). 6. Sejam a e n números naturais com a 1. Mostre que (a 1) 2 a n 1 a 1 n. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 3 - Unidades 5 e 6 slide 3/6

14 Unidade 6 1. Sejam a, b, d Z com d 0. Mostre que se I (a, b) = dz, então d = (a, b). 2. Mostre que a) se (a, b) = 1, a c e b c, então ab c. b) se (a, b) = 1, então (ac, b) = (c, b). c) (ac, b) = 1 se, e somente se, (a, b) = (c, b) = 1. d) (a, b) = (a, d) = (c, b) = (c, d) = 1 se, e somente se, (ac, bd) = 1. e) se (a, b) = 1, então (a n, b m ) = 1, para todos n, m N {0}. 3. Para todos a, b Z e todo n N, mostre que (a n, b n ) = (a, b) n. 4. a) Mostre que, se n é ímpar, então n(n 2 1) é divisível por 24. b) Mostre que 24 divide n(n 2 1)(3n + 2) para todo n N. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 3 - Unidades 5 e 6 slide 4/6

15 Unidade 6 - Continuação 5. a) Mostre que n 5 n é divisível por 30. b) Mostre que n 5 e n possuem o mesmo algarismo das unidades. 6. Mostre que se a e b não são ambos nulos, então a bc se, e a somente se, (a, b) c. 7. Sejam a e b dois números inteiros com (a, b) = 1. a) Mostre que (b + a, b a) é 1 ou 2. b) Mostre que (a + b, a 2 + b 2 ) é 1 ou Mostre que, se a, b, x, y Z, com ax + by = (a, b), então, (x, y) = Sejam a e b dois números naturais com (a, b) = 1. Mostre que a b se é par. então é ímpar. Vale a recíproca? (a, b) (a, b) PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 3 - Unidades 5 e 6 slide 5/6

16 Unidade 6 - Continução 10. Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra com 700 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares tem o prédio. 11. Calcule (1 116, 984, 855). 12. Mostre que se três números inteiros são tais que dois deles são coprimos, então eles são coprimos. Mostre que não vale a recíproca; isto é, exiba três números inteiros coprimos mas que não são dois a dois coprimos. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 3 - Unidades 5 e 6 slide 6/6

17 MA14 - Aritmética Lista 4 Unidades 7 e 8 Abramo Hefez PROFMAT - SBM

18 Unidade 7 1. Calcule o mmc dos pares de números: a) 38, 46; b) 35, 75; c) 235, a) Mostre que [ca, cb] = c [a, b]. b) Se m é um múltiplo comum positivo de a e b, mostre que ( m m = [a, b] a, m ) = 1. b c) Se r e s não são nulos e ra = sb > 0, mostre que ra (r, s) = sb = [a, b]. (r, s) 3. Sejam a, b, c três números naturais. Mostre que abc = [a, b, c](ab, ac, bc). PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 4 - Unidades 7 e 8 slide 2/7

19 Unidade 7 - Continuação 4. Seja n N; calcule [n 2 + 1, n + 1]. 5. Mostre que a) (a, b) = [a, b] a = b, a, b N. b) [a n, b n ] = [a, b] n, a, b Z, n N. 6. Sejam a, b Z ambos não nulos. Considere o conjunto M(a, b) = az bz = {x Z; m, n Z tais que x = ma e x = nb}. a) Mostre que [a, b] = min (M(a, b) N). b) Mostre que M(a, b) = [a, b]z. 7. Sejam d, m N. Mostre que uma condição necessária e suficiente para que existam a, b Z tais que (a, b) = d e [a, b] = m é que d m. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 4 - Unidades 7 e 8 slide 3/7

20 Unidade 7 - Continuação 8. Sejam a 1,..., a n Z \ {0}. Mostre que (a i, a j ) = 1, i j [a 1,..., a n ] = a 1 a n. 9. Mostre que [a 1, a 2,..., a n 1, a n ] = [[a 1, a 2,..., a n 1 ], a n ]. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 4 - Unidades 7 e 8 slide 4/7

21 Unidade 8 1. Resolva em Z as equações: a) 90X + 28Y = 22 b) 50X 56Y = 74 c) 40X 65Y = 135 d) 8X 13Y = Para quais valores de c em N a equação 10X + 14Y = c não possui soluções em N {0}? 3. Resolva em N {0} as equações: a) 16X + 7Y = 601 b) 30X + 17Y = 201 c) 47X + 29Y = 1288 d) 8X + 13Y = Dispondo de R$100, 00, quais são as quantias que se podem gastar comprando selos de R$5, 00 e de R$7, 00? 5. Determine os múltiplos naturais de 11 e de 9 cuja soma é igual a a) 79 b) 80 c) Determine o menor inteiro positivo que tem restos 11 e 35 quando dividido, respectivamente, por 37 e 48. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 4 - Unidades 7 e 8 slide 5/7

22 Unidade 8 - Continuação 7. Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses dois números é a menor possível? 8. Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau. Subindo a mesma escada de três em três degraus, sobram dois degraus. Determine quantos degraus possui a escada, sabendo que o seu número é múltiplo de 7 e está compreendido entre 40 e (ENC 2002) Em certo país, as cédulas são de $4 e $7. Com elas, é possível pagar, sem troco, qualquer quantia inteira a) a partir de $11, inclusive. b) a partir de $18, inclusive. c) ímpar, a partir de $7, inclusive. d) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3. e) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 4 - Unidades 7 e 8 slide 6/7

23 Unidade 8 - Continuação 10. De quantas maneiras pode-se comprar selos de R$3, 00 e de R$5, 00 de modo que se gaste R$50, 00? 11. Sejam a 1, a 2,..., a n, c Z. Mostre que a equação a 1 X 1 + a 2 X a n X n = c possui soluções inteiras se, e somente se, (a 1, a 2,..., a n ) c. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 4 - Unidades 7 e 8 slide 7/7

24 MA14 - Aritmética Lista 5 Unidades 10 e 11 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 9 a 15 de setembro 2013

25 Unidade Sejam a, m, n N, a > 1. Mostre que a n 1 a m 1 se, e somente se, n m. 2. Sejam n, m N com n m e m n (a m + 1, a n + 1) = a n Sejam a, m, n N, com m > n. Mostre que ( a 2 m 1, a 2n + 1 ) = a 2n + 1. ímpar. Se a N, mostre que 4. Calcule a) ( , ) b) ( , ) c) ( , ) PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 5 - Unidades 10 e 11 slide 2/4

26 Unidade 10 - Continuação 5. Seja (M n ) n a sequência definida por M n = 2 n 1. Mostre que a) 3 M n se, e somente se, n é par. b) 5 M n se, e somente se, n é múltiplo de 4. c) 9 M n se, e somente se, n é múltiplo de 6. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 5 - Unidades 10 e 11 slide 3/4

27 Unidade Mostre que, se na sequência de Fibonacci existir um termo divisível por um número natural m, então, existem infinitos tais termos. 2. Na sequência de Fibonacci, mostre que a) u m é par se, e somente se, m é divisível por 3. b) u m é divisível por 5 se, e somente se, m é divisível por 5. c) u m é divisível por 13 se, e somente se, m é divisível por Na sequência de Fibonacci, mostre que a) u m é divisível por 21 sempre que m for divisível por 8. b) u m é divisível por 8 sempre que m for divisível por 6. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 5 - Unidades 10 e 11 slide 4/4

28 MA14 - Aritmética Lista 6 Unidades 12 e 13 Abramo Hefez PROFMAT - SBM

29 Unidade Ache os possíveis valores de n, m N {0} de modo que o número 9 m 10 n tenha: a) 27 divisores b) 243 divisores. 2. Qual é a forma geral dos números naturais que admitem: a) um só divisor além de 1 e dele próprio? b) um número primo de divisores? 3. Sejam a, b N, com (a, b) = 1. Mostre que, se ab é um quadrado, então a e b são quadrados. Generalize para ab uma potência r-ésima. 4. Seja m N. Pode o número m(m + 1) ser a sétima potência de um número natural? (Generalize.) 5. (ENC-2002) Qual é o menor valor do número natural n que torna n! divisível por 1000? 6. Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n divide o seu produto se, e somente se, n + 1 é composto. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 6 - Unidades 12 e 13 slide 2/5

30 Unidade 12 - Continuação 7. Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números naturais a e b através da fatoração em primos desses números, prove que (a, b)[a, b] = ab. 8. Mostre que todo número primo p > 2 escreve-se de modo único como diferença de dois quadrados. 9. Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade: Se p divide o produto de dois números naturais quaisquer, então p divide um dos fatores. Mostre que p é necessariamente primo. 10. Mostre que, se n e m são dois números naturais não nulos tais que (n, m) = 1, então d(nm) = d(n)d(m). 11. Mostre que, se n é composto, então o n-ésimo número de Fibonacci u n é composto. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 6 - Unidades 12 e 13 slide 3/5

31 Unidade Mostre que 42 a 7 a para todo número natural a. 2. Ache o resto da divisão de 12 p 1 por p quando p é primo. 3. Mostre que, para todo n N, é natural o número 3 5 n n n. 4. Mostre que, para todo n N, 15 3n 5 + 5n 3 + 7n. 5. Seja n N. Mostre que a) Se 5 n, 5 n 1, 5 n + 1, então 5 n b) Se 7 n, 7 n 1, 7 n 3 + 1, então 7 n 2 + n Sejam a N. Mostre que 7 a 18 1, se (a, 7) = 1. Generalize. 7. Um terno de primos é dito de primos trigêmeos se for da forma p, p + 2 e p + 4. Mostre que 3, 5 e 7 é o único terno de primos trigêmeos. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 6 - Unidades 12 e 13 slide 4/5

32 Unidade 13 - Continuação 8. Mostre que a 12 b 12 é divisível por 13, se a e b são primos com 13. Mostre também que é divisível por 91, se a e b são primos com 91. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 6 - Unidades 12 e 13 slide 5/5

33 MA14 - Aritmética Lista 7 Unidades 15 e 16 Abramo Hefez PROFMAT - SBM

34 Unidade 15 Problemas 1.1 a 1.7 do Capítulo 8, Seção 1. Unidade 16 Problemas 2.1 a 2.6 do Capítulo 8, Seção 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 7 - Unidades 15 e 16 slide 2/2

35 MA14 - Aritmética Lista 8 Unidades 17 e 18 Abramo Hefez PROFMAT - SBM

36 Unidade 17 - Capítulo 8, Seção Ache a decomposição em fatores primos de 50! e determine com quantos zeros termina esse número a) Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 1000!. b) Determine com quantos zeros termina o número 1000!. c) Ache a maior potência de 104 que divide 1000!. d) Ache o menor número natural n tal que 5 7 n!. ( ) (Profmat 2011) É possível repartir exatamente 528 objetos entre 49 pessoas? Mostre que não há nenhum número natural n tal que 3 7 seja a maior potência de 3 que divida n! Mostre que, se m, n N são tais que (m, n) = 1, então, (m + n 1)! m!n! N. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 2/7

37 8.3.6 a) Mostre que, para todo n N, tem-se que 2 n n!. b) Mostre que 2 n 1 n! se, e somente se, existe m N tal que n = 2 m. c) Determine todos os números naturais n tais que 2 n 2 n!. d) Se r N, determine todos os números naturais n tais que 2 n r n! Sejam n, m N; mostre que (nm)! é divisível por [(n!) m, (m!) n ] Para todo n N, mostre que (n!) (n 1)! divide (n!)! Seja m, n N, com n m 1. Mostre que é inteiro o número ( ) (n, m) n n m PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 3/7

38 Exercícios Suplementares 8.S.1 Mostre que 2 n divide (2n)!. Mostre que, geralmente, o produto de 2n números naturais consecutivos é divisível por 2 n. 8.S.2 Mostre que 2 n (n + 1)(n + 2) (2n), mas 2 n+1 (n + 1)(n + 2) (2n). 8.S.3 Mostre que n!2 n 3 n divide (3n)!. ( ) 8.S.4 Se 1 r p n p n com E p (r) = k, mostre que é divisível r por p n k, mas não por p n k+1. 8.S.5 Mostre que , mas que PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 4/7

39 Unidade 18 - Capítulo 9, Seção Sejam a, p N, com p primo. Mostre que, se a 2 1 mod p, então a 1 mod p ou a 1 mod p Ache o resto da divisão a) de 7 10 por 51 b) de por 11 c) de 5 21 por 127 d) de por 17 e) de ( ) 21 por 8 f) de por 3 g) de 1! + 2! + + (10 10 )! por (ENC 98) O resto da divisão de por 5 é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Para todo n N, mostre que a) 101 6n 1 é divisível por 70; b) 19 8n 1 é divisível por Determine o resto da divisão por 7 do número a) b) c) d) PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 5/7

40 9.1.6 Determine o resto da divisão por 4 do número a) b) Determine o algarismo das unidades do número Ache os algarismos das centenas e das unidades do número Mostre, para todo n N, que a) 10 2n 1 mod 11 b) 10 2n+1 1 mod (ENC 2000) Se x 2 1 mod 5, então, (A) x 1 mod 5 (B) x 2 mod 5 (C) x 4 mod 5 (D) x 1 mod 5 ou x 4 mod 5 (E) x 2 mod 5 ou x 4 mod 5 PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 6/7

41 Suponha que m = p α 1 1 pαr r. Mostre que a b mod m a b mod p α i i, i = 1,..., r Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e Mostre que a soma dos quadrados de quatro números naturais consecutivos nunca pode ser um quadrado. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 7/7

42 MA14 - Aritmética Lista 9 Unidades 19 e 20 Abramo Hefez PROFMAT - SBM

43 Unidade 19 - Capítulo 9, Seção a) Usando o fato de que 100 é divisível por 4, 25 e 100, ache critérios de divisibilidade por 4, 25 e 100. b) Considerando que 1000 é divisível por 8, 125 e 1000, ache critérios de divisibilidade por 8, 125 e Mostre que um número natural na base 10 é divisível por 6 se, e somente se, a soma do algarismo da unidade com o quádruplo de cada um dos outros algarismos é divisível por Usando o fato de que mod 7, mod 11, mod 13, prove o seguinte critério de divisibilidade por 7, 11 e 13: Um número natural n = n r... n 2 n 1 n 0, escrito na base 10, é divisível por 7, 11 ou 13, se, e somente se, n 2 n 1 n 0 n 5 n 4 n 3 + n 8 n 7 n 6 n 11 n 10 n mod 7, n 2 n 1 n 0 n 5 n 4 n 3 + n 8 n 7 n 6 n 11 n 10 n mod 11 e PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 2/9

44 9.2.4 Analisando a tabela do Exemplo 2.14 (do livro texto), determine os números de Fibonacci que são divisíveis por 8, por 11, por 13 ou por Mostre que um número da forma a n = 2 n 1 (2 n 1) para n > 2 é congruente a 1 módulo 9. Conclua que todo número perfeito par maior do que 6, assim como a soma de seus algarismos, é da forma 9k + 1. Sugestão. Utilize as fórmulas do Problema e indução Mostre que se n 2, então o número de Fermat F n tem algarismo da unidade igual a a) Mostre que para todo n 1 tem-se que F n 5 mod 12. b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado ou um cubo. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 3/9

45 9.2.8 Seja a N com a > 1. Considere a sequência α(a, n) = an 1 a 1. a) Mostre que α(a, n) 0 mod (a 1) se, e somente se, a 1 n. b) Mostre que α(a, n) 0 mod (a + 1) se, e somente se, n é par. c) Enuncie esses resultados para a = 10. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 4/9

46 Unidade 20 - Capítulo 10, Seções 1 e Ache o resto da divisão de a) 5 60 por 26 b) por Mostre que, se m > 2, então ϕ(m) é par Mostre que, se p é um número primo, então, para todo a Z e para todo k N, tem-se que a k(p 1)+1 a mod p a) Mostre que (i, m) = 1 1 i < m i = 1 2 m ϕ(m). b) Mostre que, se m 1,..., m ϕ(m) é um sistema reduzido de resíduos módulo m, então m divide m m ϕ(m). PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 5/9

47 Resolva em m N as equações a) ϕ(m) = 12 b) ϕ(m) = 8 c) ϕ(m) = 16 d) ϕ(m) = Supondo que (a, m) = (a 1, m) = 1, mostre que 1 + a + a a ϕ(m) 1 0 mod m Mostre que, se ϕ(m) = 2 r, para algum r N, então m é um produto de uma potência de 2 e de primos de Fermat distintos. Essa equação aparece na resolução dada por Gauss do problema clássico da construtibilidade com régua e compasso dos poĺıgonos regulares inscritos numa circunferência Supondo que (m, n) = 1, mostre que m ϕ(n) + n ϕ(m) 1 mod nm. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 6/9

48 Sejam a, m Z, com m > 1, tais que (a, m) = 1. Mostre que, se n 1 n 2 mod ϕ(m), então a n 1 a n 2 mod m Mostre que 2730 n 13 n, para todo n Z Sejam a Z e n, r N, com (r, n) = 1. Mostre que no conjunto {a, a + r,..., a + (n 1)r }, há exatamente ϕ(n) números primos com n Quais são os possíveis restos da divisão de a 100, onde a Z, quando dividido por 125? PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 7/9

49 Mostre que o número primo p é o menor inteiro maior do que 1 que divide o número (p 1)! Mostre que, se p > 2 é um número primo, então a) p (p 2)! 1 b) p (p 3)! (p 1)/ Seja p > 3 um número primo. a) Mostre que p! e (p 1)! 1 são primos entre si. b) Prove que, se n N e n (p 1)! 1 mod p!, então os p 2 inteiros que precedem n e os p inteiros que sucedem n são compostos Seja p um número primo e a N. Mostre que a) a p + (p 1)!a 0 mod p b) (p 1)!a p + a 0 mod p Seja p um número primo tal que p 3 mod 4. Mostre que [( ) p 1 2!] 1 mod p. 2 PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 8/9

50 Seja p um número primo ímpar e seja N = (p 2). Mostre que N 1 mod p ou N 1 mod p Seja p um número primo ímpar. Mostre que a) (p 2) (p 1) 2 mod p; b) se p 1 mod 4, então (p 1) 2 1 mod p; c) se p 3 mod 4, então (p 1) 2 1 mod p. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 9/9

51 MA14 - Aritmética Lista 10 Unidades 21 e 22 Abramo Hefez PROFMAT - SBM

52 Unidade 21 - Capítulo 11, Seções 1 e Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido por 26? E quando dividido por 25? Resolva, quando possível, as congruências: a) 3X 5 mod 7; b) 6X 21 mod 18; c) 12X 36 mod 28; d) 12X 36 mod 28; e) 151X 11 mod Seja p um número primo e seja a um número inteiro tal que p a. Mostre que a única solução módulo p da congruência ax b mod p é x = a p 2 b Sejam a, m Z, com m > 2 e (a, m) = 1. Mostre que a única solução módulo m da congruência ax b mod m é x = a ϕ(m) 1 b Mostre que a congruência X mod 7 não possui soluções. Conclua que a equação X 2 7Y 2 14X + 7Y 6 = 0 não admite soluções inteiras. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 2/7

53 Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4 e 5, respectivamente Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando dividido por 5, 7 e 9, respectivamente Dispomos de uma quantia de x reais menor do que Se distribuirmos essa quantia entre 11 pessoas, sobra R$1, 00; se a distribuirmos entre 12 pessoas, sobram R$2, 00 e se a distribuirmos entre 13 pessoas, sobram R$3, 00. De quantos reais dispomos? Um macaco, ao subir uma escada de dois em dois degraus, deixa de sobra um degrau; ao subir de três em três degraus, sobram dois degraus; e ao subir de cinco em cinco degraus, sobram três degraus. Quantos degraus possui a escada, sabendo que o número de degraus está entre 150 e 200? Resolva o sistema: 3X 1 mod 7, 5X 2 mod 11, 4X 3 mod 13. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 3/7

54 Levando em consideração que 2275 = , resolva a congruência 3X 11 mod Resolva o sistema: X 2 mod 3, X 3 mod 4, X 4 mod 5, X 5 mod Resolva o sistema: X 2 mod 3, X 3 mod 4, X 4 mod 5, X 2 mod (Yi Shing, aprox. 700d.C.) Ache os inteiros que deixam restos 1, 2, 5 e 5 quando divididos respectivamente por 2, 3, 6 e Sejam F 1,..., F n os n primeiros números de Fermat. Mostre que existe um número natural N tal que F i divide N + i 1 para i = 1,..., n. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 4/7

55 Unidade 22 - Capítulo 11, Seção Seja {a 1,..., a m } um sistema completo de resíduos módulo m. a) Mostre que se a é um inteiro, então {a 1 + a,..., a m + a} é um sistema completo de resíduos módulo m. b) Se (a, m) = 1, então {a a 1,..., a a m } é um sistema completo de resíduos módulo m. Mostre que vale a recíproca. c) Se p é primo e a um inteiro que não é múltiplo de p, mostre que a p 1 1 mod p (Pequeno Teorema de Fermat). d) Mostre que se (r, m) = 1, então {a, a + r,..., a + (m 1)r} é um sistema completo de resíduos módulo m. Sugestão. (para c) Considere os dois sistemas completos de resíduos mod p: {0, 1,..., p 1} e {0, a 1,..., a(p 1)} e note que 1 (p 1) a p 1 1 (p 1) mod p. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 5/7

56 Construa as tabelas da adição e da multiplicação para Z 6 e Z Ache os elementos invertíveis de Z 6, Z 7, Z 8 e Z Ache os inversos de a) [5] em Z 6 b) [3], [4] e [5] em Z 7 c) [3], [5], e [7] em Z 8 d) [5], [4] e [8] em Z 9 e) [1 951] em Z f) [3], [5] e [7] em Z a) Seja {a 1,..., a ϕ(m) } um sistema reduzido de resíduos módulo m. Mostre que se (a, m) = 1, então {a a 1,..., a a ϕ(m) } é um sistema reduzido de resíduos módulo m. b) Utilize o item anterior para dar uma outra demonstração do Teorema de Euler. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 6/7

57 Considere Z m para m > 2. Mostre que (a) Z m tem um número par de elementos invertíveis; (b) se [a] é invertível, então [a] é invertível e [a] [a]. (c) Mostre que a soma dos elementos invertíveis de Z m é igual a [0]. (d) Mostre que a soma de todos os elementos de um sistema reduzido qualquer de resíduos módulo m é sempre múltiplo de m (Enade 2008) No anel dos inteiros módulo 12, R = Z 12, (A) não há divisores de zero. (B) todo elemento não nulo é invertível. (C) o subconjunto dos elementos invertíveis forma um subanel de R. (D) a multiplicação não é comutativa. (E) há exatamente quatro elementos invertíveis. PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 7/7