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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 10 - Seções 10.1 e 10.2 do livro texto da disciplina: Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desse resumo a professora Liane Mendes Feitosa Soares. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 1/21

2 Aritmética Teorema de Euler Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Teorema de Euler Neste vídeo estudaremos um importante teorema da Teoria dos Números: O Teorema de Euler. Teorema (Euler) Dados inteiros a, m primos entre si, com m > 1, temos que a ϕ(m) 1 mod m. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 3/21

4 Teorema de Euler ax 1 mod m tem solução inteira? x 0 é solução m (ax 0 1) ax + my = 1 tem solução inteira (a, m) = 1 (pela proposição 5.10) Se x 1 é outra solução então x 0 x 1 mod m. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 4/21

5 Teorema de Euler Proposição Dados inteiros a e m, em que m > 1, então a congruência ax 1 mod m tem solução inteira se, e somente se, (a, m) = 1. Além disso, se x 0 é uma soluções inteira da congruência, um inteiro x será solução se, e somente se, x x 0 mod m. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 5/21

6 Exemplo Observação: Uma solução da congrência ax 1 mod m determina e é determinada por qualquer outra solução A congruência 7X 1 mod 8 tem x 0 = 7 como solução e as soluções inteiras são x 7 mod 8, isto é, x = 7 + 8t, t Z. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 6/21

7 Sistema completo de resíduos Definição Um sistema completo de resíduos módulo m é qualquer lista de inteiros a 1,..., a m, dois a dois incongruentes. Equivalentemente, o resto da divisão dos a i s por m são os números 0, 1,..., m 1, sem repetições e numa ordem qualquer. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 7/21

8 Sistema reduzido de resíduos Definição Um sistema reduzido de resíduos módulo m é qualquer lista de inteiros r 1,..., r s, tais que: 1 (r i, m) = 1, i = 1,..., s; 2 r i r j mod m, se i j; 3 para cada n Z primo com m tem-se que n r i mod m para algum i = 1,..., s. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 8/21

9 Sistema reduzido de resíduos Podemos, a partir de um sistema completo de resíduos módulo m, obter um sistema reduzido de resíduos módulo m. Basta eliminarmos os números que não são primos com m. Exemplo 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 forma um sistema completo de resíduos módulo 8. Portanto 1, 3, 5, 7 é um sistema reduzido de resíduos módulo 8. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 9/21

10 A função ϕ de Euler Dois sistemas reduzidos de resíduos módulo m têm o mesmo número de elementos, o qual denotaremos por ϕ(m). ϕ(m) corresponde ao número de naturais entre 0 e m 1 que são primos com m. Convencionaremos ϕ(1) = 1. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 10/21

11 A função ϕ de Euler Definição A função ϕ : N N assim definida é chamada de função fi de Euler. Observações: por definição ϕ(m) m 1; ϕ(m) = m 1 m é primo. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 11/21

12 Exercícios Exercício Se n = kd com k, d N, então {m N / 1 m n, (m, n) = d} = ϕ(k). De fato, 1 m n e (m, kd) = d m = rd, com { 1 r k e (r, k) = 1 Portanto, {m N / 1 m n, (m, n) = d} = {r N / 1 r k, (r, k) = 1} = ϕ(k). PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 12/21

13 Exercícios Exercício Se n N, então d n ϕ(d) = n. De fato, tome I = {1, 2,..., n} e para cada divisor d de n defina I d = {m I / (m, n) = d}. Claramente, se d d I d I d = ; d n I d = I. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 13/21

14 Exercícios Exercício Se n N, então d n ϕ(d) = n. Portanto, n = I = d n I d. Observe que os elementos de I d são os múltiplos de d da forma sd, em que (s, n d ) = 1 e 1 s n d. Portanto I d = ϕ( n d ). Quando d percorre os divisores de n, os números n d também o fazem. Logo n = d n I d = d n ϕ( n d ) = d n ϕ(d). PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 14/21

15 Teorema de Euler Teorema (Euler) Sejam m, a N, com m > 1 e primo com a. Então a ϕ(m) 1 mod m. Seja r 1,..., r ϕ(m) um sistema reduzido de resíduos módulo m. Então ar 1,..., ar ϕ(m) também é um sistema reduzido de resíduos módulo m. Logo, a ϕ(m).r 1..r ϕ(m) = (ar 1 )..(ar ϕ(m) ) r 1..r ϕ(m) mod m Portanto a ϕ(m) 1 mod m. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 15/21

16 Calculando ϕ(m) Propriedade Dados m, m N com (m, m ) = 1, tem-se ϕ(m.m ) = ϕ(m).ϕ(m ). Propriedade Sejam p, r N, em que p é primo. Então ϕ(p r ) = p r p r 1 = p r (1 1 p ). PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 16/21

17 Calculando ϕ(m) Teorema Seja m > 1 um número natural e m = p α 1 1 pαn n sua decomposição primária. Então ) ) ϕ(m) = p α 1 1 pαn n (1 1p1 (1 1pn Podemos escrever ϕ(m) = p α p αn 1 n (p 1 1) (p n 1) PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 17/21

18 Pequeno Teorema de Fermat Corolário Sejam p, a N, com p primo e (a, p) = 1. Então a p 1 1 mod p. ϕ(p) = p 1. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 18/21

19 Exercício Exercício Determinar o resto da divisão de por 28. Sabemos que Como 3 ϕ(28) 1 mod 28 ϕ(28) = ϕ(2 2.7) = (2 1).(7 1) = 12 Temos mod 28 PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 19/21

20 Exercício Exercício Determinar o resto da divisão de por 28. Portanto = (3 12 ) mod = mod 28 PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 20/21

21 Exercício Exercício Determinar os possíveis restos da divisão de a 100 por 125. ϕ(125) = ϕ(5 3 ) = = 100; Se (a, 125) = 1 então por Euler a mod 125 Se (a, 125) 1 então 5 a a = 5 k.b e (5, b) = 1 a 100 = 5 100k.b k mod 125 Como = mod k 0 mod 125. Portanto, os possíveis restos são 0 e 1. PROFMAT - SBM Aritmética,, Teorema de Euler slide 21/21