Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT.

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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 2 - Seções 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 1/15

2 Números e Funções Reais Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 O Conjunto dos Números Naturais Lentamente, a medida que se civilizava, a humanidade apoderou-se desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três,...) que são os números naturais. Elon Lages Lima. Números e Funções Reais. Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 3/15

4 O Conjunto dos Números Naturais A descrição que faremos aqui, do conjunto dos números naturais N, é devida ao matemático italiano Giuseppe Peano. Intuitivamente, dados n, n N, diremos que n é o sucessor de n quando n vier logo depois de n. Evidentemente isso não é uma definição. O termo sucessor não será definido explicitamente, mas seu uso e suas propriedades serão regidos pelas regras abaixo. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 4/15

5 Os axiomas de Peano 1 Todo número natural tem um único sucessor; 2 Números naturais diferentes têm sucessor diferentes; 3 Existe um único número natural, chamado de um (representado por 1), que não é sucessor de nenhum outro número; 4 Seja X N tal que: a) 1 N; b) o sucessor de n pertence a X sempre que n pertencer a X. Então, X = N. As afirmações acima são conhecidas como axiomas de Peano. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 5/15

6 Sistema de numeração O sistema de numeração decimal nos permite representar os números naturais com o auxílio dos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O sucessor do número um chama-se dois, o sucessor do números dois chama-se três, etc. É preferível designar números grandes por suas representações decimais e abrir mão de dar-lhes nomes. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 6/15

7 Indução O último axioma de Peano é conhecido como princípio de indução. Esse axioma é uma poderosa ferramenta para demonstrar proposições envolvendo números naturais. Podemos enunciá-lo em forma de propriedades da seguinte forma: Seja P(n) uma propriedade sobre o número natural n. Suponha que 1 P(1) é verdadeira; 2 n N, a validez de P(n) implica a validez de P(n ), onde n é o sucessor de n. Então P(n) é verdadeira, para todo n N. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 7/15

8 Indução De fato, tomando X = {n N; P(n) é verdadeira}, temos: 1 X em virtude de (1); n X n X, em virtude de (2). Logo, pelo axioma de indução, X = N. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 8/15

9 Adição e multiplicação Entre números naturais n, p quaisquer, estão definidas duas operações fundamentais: A adição (ou soma) n + p é o número natural que se obtém a partir de n aplicando-se p vezes a operação de tomar o sucessor; Em particular, n + 1 é o sucessor de n. A multiplicação (ou produto) é definido por: n.1 = n e, quando p 1, np é a soma de p parcelas de n. PROFMAT - SBMNúmeros e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordemslide 9/15

10 10/15 Ordem Dados m, n N, diremos que m é menor do que n e escrevemos m < n, quando existir algum número natural p tal que n = m + p. Propriedades 1 Transitividade: Se m < n e n < p então m < p; 2 Tricotomia: Dados m, n N vale uma, e somente uma, das alternativas: m < n, m = n ou n < m; 3 Monotonicidade: Se m < n então, m + p < n + p e mp < np, para qualquer p N; 4 Boa-ordem: Todo subconjunto não-vazio X N possui um menor elemento. Observação: Esta última propriedade significa que existe m 0 X que é menor que todos os outros elementos de X. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem slide

11 11/15 Exercícios Exercício Mostre que, para todo n N, vale a igualdade P(n) : n(n + 1) = n n + 1. Solução: Usaremos indução. Para n = 1, P(1) se resume a afirmar que = Supondo P(n) verdadeira para um certo valor de n, somemos 1 (n+1)(n+2) nos membros da igualdade acima e obtemos n(n + 1) + 1 (n + 1)(n + 2) = n n (n + 1)(n + 2) = PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem slide

12 12/15 Exercícios ou seja, = n(n + 2) + 1 (n + 1)(n + 2) = (n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) = n + 1 n n(n + 1) + 1 (n + 1)(n + 2) = n + 1 n + 2. Entretanto, esta última igualdade é P(n+1). Logo P(n) P(n+1). Portanto, pelo princípio de indução, a igualdade é verdadeira para todo n N. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem slide

13 13/15 Exercícios Exercício Mostre que, dados a, b N, existe um número c N {0} tal que b.c a < b.(c + 1). Solução: Usaremos o Princípio da Boa Ordenação. Se a < b, basta tomar c = 0. Suponhamos que b a e tomemos o conjunto A = {n N; b.n > a}. Observemos que A pois a+1 A (verifique!). Seja x 0 o menor elemento de A. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem slide

14 14/15 Exercícios Observemos que x 0 > 0 e tomemos c o antecessor de x 0. Então, b.x 0 > a, pois x 0 A, e além disso c A, pela minimalidade de x 0. Logo, b.c a < b.x 0 = b.(c + 1). PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem slide

15 . 15/15 Obrigado! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Números Naturais: Axioma de Indução, Adição, Multiplicação e Ordem slide