MA14 - Aritmética Unidade 20 Resumo. Teoremas de Euler e de Wilson

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1 MA14 - Aritmética Unidade 20 Resumo Teoremas de Euler e de Wilson Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 10 - Seções 10.1 e 10.2 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 2/14

3 Teorema de Euler Nesta Unidade, estudaremos dois importantes teoremas em Teoria dos Números: o Teorema de Euler, uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, e um teorema de Lagrange, conhecido pelo nome de Teorema de Wilson. O Teorema de Euler e suas consequências serão fundamentais para o estudo dos sistemas criptográficos que empreenderemos nas Unidades 23 e 24. Será muito útil no que se segue, determinar se a congruência ax 1 mod m possui alguma solução em X. A esse propósito temos o seguinte resultado: Proposição Sejam a, m Z, com m > 1. A congruência ax 1 mod m possui solução se, e somente se, (a, m) = 1. Além disso, se x 0 Z é uma solução, então x é uma solução da congruência se, e somente se, x x 0 mod m. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 3/14

4 Uma solução da congruência ax 1 mod m determina e é determinada por qualquer outra solução. Se considerarmos que duas soluções congruentes módulo m são, essencialmente, a mesma, temos a unicidade da solução da congruência ax 1 mod m. Exemplo 1. A congruência 3X 1 mod 10 possui x 0 = 7 como solução e as soluções inteiras são x x 0 mod 7, isto é, x = t, com t Z. Exemplo 2. A congruência 9X 1 mod 10 possui x 0 = 9 como solução e as soluções inteiras são x x 0 mod 9, isto é, x = t, com t Z. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 4/14

5 Sistema Reduzido de Resíduos módulo m Um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto de números inteiros r 1,..., r s tais que a) (r i, m) = 1, para todo i = 1,..., s; b) r i r j mod m, se i j; c) Para cada n Z tal que (n, m) = 1, existe i tal que n r i mod m. Pode-se obter um sistema reduzido de resíduos r 1,..., r s, módulo m, a partir de um sistema completo qualquer de resíduos a 1,... a m, módulo m, eliminando os elementos a i que não são primos com m. Exemplo 3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 é um sistema completo de resíduos módulo 10, enquanto 1, 3, 7, 9 é um sistema reduzido de resíduos módulo 10. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 5/14

6 A Função ϕ de Euler Dois sistemas reduzidos de resíduos módulo m têm o mesmo número de elementos. Designaremos por ϕ(m) o número de elementos de um sistema reduzido de resíduos módulo m > 1, que corresponde à quantidade de naturais entre 0 e m 1 que são primos com m. Pondo ϕ(1) = 1, isso define uma importante função chamada função fi de Euler. Pela definição, temos que Também vale a igualdade ϕ : N N, ϕ(m) m 1, para todo m 2. ϕ(m) = m 1 se, e somente se, m é um número primo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 6/14

7 Mais adiante, mostraremos como calcular ϕ(m), em geral. A função ϕ é de grande utilidade em Teoria de Números. Uma das primeiras aplicações pode ser apreciada no seguinte exemplo. Exemplo 4. Se n = kd, com k, d N, então a quantidade de números naturais m tais que 1 m n e (m, n) = d é ϕ(k). De fato, temos que 1 m n e (m, kd) = d m = λd, com { 1 λ k e (λ, k) = 1. Portanto, a quantidade de números naturais m, como acima, é igual à quantidade dos λ N tais que 1 λ k e (λ, k) = 1; ou seja, ϕ(k). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 7/14

8 Exemplo 5. Seja n N. Tem-se que ϕ(d) = n, d N. d n De fato, seja I = {1, 2,..., n} e seja d N tal que d n. Defina I d = {m I ; (m, n) = d}. Note que, se d d, então I d I d = e Portanto, n = #I = d n #I d. I d = I. Por outro lado, os elementos de I d são os múltiplos de d da forma md, com ( m, n ) d = 1 e 1 m n d. Portanto, #I d = ϕ ( ) n d. Note que, quando d percorre todos os divisores de n, os números n d d n também percorrem todos os divisores de n, logo, n = #I d = ( n ) ϕ = ϕ(d). d d n d n d n PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 8/14

9 O Cálculo de ϕ(m) O cálculo de ϕ(m) em geral é feito através dos dois resultados a seguir: Proposição Sejam m, m N tais que (m, m ) = 1. Então ϕ(m m ) = ϕ(m)ϕ(m ). Proposição Se p é um número primo e r, um número natural, então tem-se que ( ϕ(p r ) = p r p r 1 = p r 1 1 ). p PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 9/14

10 Assim, obtemos: Teorema Seja m > 1 e seja m = p α 1 1 pαn n a decomposição de m em fatores primos. Então, ) ) ϕ(m) = p α 1 1 pαn n (1 1p1 (1 1pn. A fórmula do Teorema acima pode ser reescrita como se segue: ϕ(p α 1 1 pαn n ) = p α p αn 1 n (p 1 1) (p n 1). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 10/14

11 Teorema de Euler Recorde o Pequeno Teorema de Fermat (PTF): Se p é primo e a Z é tal que (a, p) = 1, então a p 1 1 mod p. Pois, bem, como ϕ(p) = p 1, por ser p primo, podemos reescrever o PTF usando a função de Euler como segue: Se p é primo e a Z é tal que (a, p) = 1, então a ϕ(p) 1 mod p. Este resultado se generaliza para um número natural m qualquer no lugar do primo p, como segue: Teorema (Euler) Sejam m, a Z com m > 1 e (a, m) = 1. Então, a ϕ(m) 1 mod m. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 11/14

12 Para calcular o resto da divisão de uma potência a n por um número natural m > 1, é conveniente achar um expoente h de modo que a potência a h 1 mod m, pois, se n = hq + r é a divisão euclidiana de n por h, teremos a n a hq a r a r mod m. Portanto, é clara a utilidade do Teorema de Euler para a resolução desse tipo de questão, como se pode ver no próximo exemplo. Exemplo 6. Vamos achar o resto da divisão de por 34. Note que ϕ(34) = ϕ(2 17) = (2 1)(17 1) = 16. Pelo Teorema de Euler, temos que mod 34, logo, = mod 34. Portanto, 13 é o resto da divisão de por 34. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 12/14

13 Teorema de Wilson Se p é um número primo, então (p 1)! 1 mod p. Demonstração O teorema é válido obviamente para p = 2 e p = 3. Suponhamos p 5 primo. Pela proposição inicial, a congruência ix 1 mod p possui uma única solução, módulo p, para cada i {1,..., p 1}; ou seja, dado i {1,..., p 1} existe um único j {1,..., p 1} tal que ij 1 mod p. Por outro lado, se i {1,..., p 1} é tal que i 2 1 mod p, então p i 2 1, o que equivale a p i 1 ou p i + 1, o que só pode ocorrer se i = 1 ou i = p 1. Logo, e, portanto, 2 (p 2) 1 mod p. 1 2 (p 2)(p 1) p 1 1 mod p, PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 13/14

14 Exemplo 7. Se p é um número primo ímpar, então p 2 p 1 + (p 1)!. De fato, sendo p um número primo ímpar, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que p 2 p 1 1. Por outro lado, pelo Teorema de Wilson, p (p 1)! + 1. Logo, p [2 p 1 1] + [(p 1)! + 1] = 2 p 1 + (p 1)!. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 20 - Resumo - Teoremas de Euler e de Wilson slide 14/14