MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (6/6) Carlos Luz. EST Setúbal / IPS Maio 2012

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1 MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (6/6) Carlos Luz EST Setúbal / IPS Maio 2012 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

2 Congruências Lineares De nição A congruência da forma ax b (mod m), diz-se uma congruência linear. Teorema mdc(a, m) = 1 =) 9x 0 2 Z : ax 0 b (mod m) Todas as outras soluções de ax b (mod m) são da forma x 0 + km, k 2 Z. Demonstração 1 a parte: Como mdc(a, m) = 1, existem inteiros s e t tais que as + mt = 1. Então, as 1 (mod m), donde, multiplicando ambos os membros por b, vem a(sb) b (mod m). Considerando x 0 = sb, tem-se que x 0 é solução de ax b (mod m). 2 a parte: Ver Sebenta. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

3 Algoritmo de Resolução 0. Dados: ax b (mod m) com mdc(a, m) = Determinar uma combinação linear inteira de a e m que seja igual a 1, isto é, inteiros s e t tais que as + mt = 1 (os coe cientes da combinação linear podem ser calculados a partir da retrosubstituição dos restos fornecidos pelo algoritmo de Euclides); 2. Utilizar o coe ciente s obtido no passo acima para calcular a solução da congruência x 0 = sb. Resolver a congruência linear 33x 38 (mod 280) e indicar o conjunto das suas soluções. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

4 Caso Geral Teorema Seja mdc(a, m) = d. Então, ax b (mod m) tem solução sse djb. Nesta situação, x 0 é solução de ax b (mod m) () x 0 é solução de a d x b d mod m d 6x 9 (mod 15) tem solução porque mdc(6, 15) = 3 e 3j9. As soluções coincidem com as da congruência 6 3 x 9 mod 15, 2x 3 (mod 5). 3 3 Dado que x 0 = 4 é solução de 2x 3 (mod 5), o conjunto das soluções de 6x 9(mod 15) é f4 + 5k : k 2 Zg. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

5 Observação Prova-se que o conjunto x 0 + k m d : k 2 Z das soluções da congruência ax b (mod m) é a união dos conjuntos das soluções das congruências x x 0 (mod m), x x 0 + m (mod m), d x x m (mod m),..., x x 0 + (d 1) m (mod m). d d Estes últimos conjuntos são disjuntos dois a dois, pelo que é costume dizer que, por exemplo, x 0, x 0 + m d,..., x 0 + (d 1) m d são soluções distintas módulo m da congruência ax b (mod m). Vimos no exemplo anterior que o conjunto das soluções da congruência 6x 9 (mod 15) é f4 + 5k : k 2 Zg. De acordo com a nota anterior, este conjunto é a união dos conjuntos das soluções de x 4 (mod 15), x 9 (mod 15) e x 14 (mod 15). Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

6 Teorema Chinês dos Restos Existe um número natural que, quando dividido por 3, dá resto 2, quando dividido por 5, dá resto 4 e que, quando dividido por 7, dá resto 6? Teorema Sejam m 1, m 2,..., m k números naturais primos entre si dois a dois e a 1, a 2,..., a k inteiros quaisquer. Então, existe uma solução x que resolve simultaneamente as congruências 8 x a 1 (mod m 1 ) >< x a 2 (mod m 2 ) >:. x a k (mod m k ) Quaisquer duas soluções são congruentes módulo M = m 1 m 2 m k.. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

7 Algoritmo de Resolução de um Sistema de Congruências 1 Calcular M = m 1 m 2 m k, M 1 = M m 1, M 2 = M m 2,..., M k = M m k ; 2 Determinar soluções particulares s i de cada uma das congruências M i x 1 (mod m i ), i = 1, 2,..., k. 3 Formar a solução particular x 0 = M 1 s 1 a 1 + M 2 s 2 a M k s k a k. 4 As soluções do sistema são os valores de x tais que x x 0 (mod M). Resolver o sistema 8 < : x 2 (mod 3) x 4 (mod 5) x 6 (mod 7). Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

8 Resolução 1 Sejam M = = 105 e M 1 = = 35, M 2 = = 21 e M 3 = = Procuremos então soluções particulares das congruências 8 < : 35x 1 (mod 3) 21x 1 (mod 5) 15x 1 (mod 7) Soluções procuradas: s 1 = 2, s 2 = 1 e s 3 = 1; 3 x 0 = (35 2 2) + (21 1 4) + (15 1 6) = 314; 4 O conjunto solução é f k : k 2 Zg ou equivalentemente, f k : k 2 Zg.. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

9 Função de Euler S n = fr 2 N 0 : 0 r n 1 ^ mdc(r, n) = 1g. De nição Função de Euler: φ : N! N n! φ(n) = js n j s n S n φ(n) 1 f0g 1 2 f1g 1 3 f1, 2g 2 4 f1, 3g 2 n S n φ(n) 5 f1, 2, 3, 4g 4 6 f1, 5g 2 7 f1, 2, 3, 4, 5, 6g 6 8 f1, 3, 5, 7g 4 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

10 Observações 1 Se p é um número primo, então todos os inteiros 1, 2,..., p 1 são relativamente primos com p. Logo, Mais geralmente: φ(p) = p 1. φ(p k ) = p k p k 1 = p k 1 1. p 2 Se m e n são números naturais primos entre si, então φ(mn) = φ(m)φ(n). Por exemplo, φ(341) = φ(11 31) = φ(11)φ(31) = = Das obs. 1 e 2 conclui-se mais geralmente que, se n = p e 1 1 φ(n) = n 1. r k=1 Se n = 108 = , φ(108) = p k 1 pe = 36. r, 2 pe r Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

11 Teorema (de Euler) Sejam n 2 N e a 2 Z. Se mdc(a, n) = 1, então a φ(n) 1 (mod n). Calcular o resto da divisão de 2 60 por 77. O número 77 é composto pois 77 = Então, visto que 7 e 11 são primos entre si, φ(77) = φ(7)φ(11) = (7 1) (11 1) = 60. Como 2 é invertível módulo 77, isto é, mdc(2, 77) = 1, tem-se pelo teorema de Euler: 2 φ(77) 1(mod 77), (mod 77). Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

12 (Pequeno) Teorema de Fermat Teorema Seja a um número inteiro e p um número primo. Se p - a então a p 1 1 (mod p). Vejamos a aplicação do teorema de Fermat ao cálculo do resto da divisão de por 101. Visto que 101 é primo e não divide 2, tem-se (mod 101) pelo teorema de Fermat. Como = , vem, pelas propriedades das congruências: = = (mod 101). Portanto, o resto requerido é 8. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

13 Corolário Se a é um número inteiro e p é um número primo, então a p por p, isto é, a p a (mod p). a é divisível Demonstração Consideremos os casos p - a e pja. No primeiro caso, o teorema de Fermat garante que a p 1 1 (mod p) ; então, multiplicando ambos os membros desta congruência por a, obtém-se a p a (mod p). No segundo cado, isto é, se pja, p também divide a p a e, portanto, a congruência a p a (mod p) é igualmente válida. Exercício Mostre que para todo o inteiro a, o número a 3 + (a + 1) 3 + (a + 2) 3 é divisível por 3. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

14 Calcular o resto da divisão de 2 40 por 77. Como 77 = 7 11 e 7 e 11 são primos entre si, vamos utilizar o resultado: 2 40 x(mod 7) 2 40 ) 2 x(mod 11) 40 x(mod 77) Pelo pequeno teorema de Fermat, 2 6 1(mod 7) ) 2 40 = = (mod 7) (mod 11) ) 2 40 = (mod 11). Recorrendo ao teorema chinês dos restos, podemos resolver x 2(mod 7). Obtém-se então x 23(mod 77) donde x 1(mod 11) (mod 7) (mod 11) ) (mod 77). Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15

15 De nição Os números naturais compostos n que satifazem a congruência a n 1 1 (mod n), para algum a, designam-se por pseudoprimos de Fermat relativos à base a. O número composto 341 = é um pseudoprimo de Fermat relativamente à base 2 pois veri ca De nição (mod 341). Os números compostos n que que satisfazem a congruência a n a (mod n), qualquer que seja o natural a, dizem-se números de Carmichael. s Os números compostos 561, 1105 e 1729 são os primeiros números de Carmichael. Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (6/6) Maio / 15