11.1) Noções Elementares 11.2) MDCs e algoritmos de Euclides 11.3) Aritmética modular 11.4) Aplics da MD: O sistema criptográfico RSA

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1 Teoria de Números 11.1) Noções Elementares 11.2) MDCs e algoritmos de Euclides 11.3) Aritmética modular 11.4) Aplics da MD: O sistema criptográfico RSA Material extraído dos livros-textos (Cormen( Cormen) E também do livro de Criptografia do Stinson 1

2 Aritmética modular Def.: : Para a inteiro e n inteiro positivo, a mod n é o resto que é obtido quando a é dividido por n. a mod n é o inteiro r tal que a=q.n+r e 0 r<n Exemplos: 17 mod 5 = 2 (17= ) -133 mod 9 = 2 (-133 = ) 2001 mod 101 = 82 (2001= ) 2

3 Aritmética modular e congruências Existe também notação para indicar que 2 ints têm o mesmo resto quando divididos por um mesmo int n. Def.: : Se a e b são inteiros e n é um inteiro positivo, então a é congruente a b módulo n n sse n (a-b) 3

4 Aritmética modular e congruências Existe também notação para indicar que 2 ints têm o mesmo resto quando divididos por um mesmo int n. Def.: : Se a e b são inteiros e n é um inteiro positivo, então a é congruente a b módulo n n sse n (a-b) Inteiros a e b congruentes têm mesmo resto quando divididos por um mesmo inteiro n Usa-se a notação: a b (mod n) Note que a b (mod n) sse a mod n = b mod n 4

5 Aritmética Modular Exemplos: (i) 24 9 (mod 5) pois 24-9 = 3 53 (ii) 17 5 (mod 6) pois 17-5 = 2 62 (iii) (mod 7) pois =

6 O conjunto Z n Para um dado n, a relação congruência módulo n particiona Z em classes de equivalência : todo inteiro a é mod n a um único inteiro r entre 0 e n-1, pois: se a=q.n+r, onde 0 0 r<n, então a r (mod n) a e r estão em uma mesma classe de equivalência 6

7 O conjunto Z n Para um dado n, a relação congruência módulo n particiona Z em classes de equivalência : todo inteiro a é mod n a um único inteiro r entre 0 e n-1, pois: se a=q.n+r, onde 0 0 r<n, então a r (mod n) a e r estão em uma mesma classe de equivalência Def.: : Uma classe de equivalência de um inteiro a pode ser definida como o conjunto de todos os inteiros congruentes a a mod n. n Def.: : Os inteiros módulo n, representados por Z n, são o conjunto dos inteiros {0,1,2,...,n-1{ 0,1,2,...,n-1}. Adição, multiplicação e subtração em Z n são realizadas mod n. n 7

8 Aritmética modular e congruências Teorema: : Seja n um inteiro positivo. Os inteiros a e b são congruentes módulo n sse existe um inteiro k tal que a = b + k n 8

9 Aritmética modular e congruências Teorema: : Seja n um inteiro positivo. Os inteiros a e b são congruentes módulo n sse existe um inteiro k tal que a = b + k n Prova: 1) se a b a b (mod n), então n (a-b) existe um inteiro k tal que a-b=k n a=b+k n 2) conversamente: se existe um inteiro k tal que a=b+k n, então k n=b-ak n divide a-b a b b (mod n) 9

10 Aritmética modular e congruências Teorema: : Se a b b (mod n) e c d d (mod n),, então: a+c b+d (mod n) a c b d (mod n) 10

11 Aritmética modular e congruências Teorema: : Se a b b (mod n) e c d d (mod n),, então: a+c b+d (mod n) a c b d (mod n) Prova: : como a b a b (mod n) e c d c d (mod n), há inteiros s e t com b = a+s n n e d = c+t n b + d = (a+s n) + (c+t n) = (a+c) + (s+t( s+t) n a+c b+d (mod n) b d = (a+s n) (c+t n) = a c a c + (a t( t + c s c s + s t n) ns a c b d d (mod n) 11

12 Aritmética modular e congruências Exemplo: : Como 7 2 (mod 5) e 11 1 (mod 5), o teorema anterior garante que: (mod 5), ou seja, 18 3 (mod 5) (mod 5), ou seja, 77 2 (mod 5) 12

13 Operações com Aritmética modular Teorema: : A aritmética modular exibe as propriedades: [(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a+b) mod n [(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a-b) mod n [(a mod n) (b mod n)] mod n = (a b) mod n 13

14 Operações com Aritmética modular Teorema: : A aritmética modular exibe as propriedades: [(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a+b) mod n [(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a-b) mod n [(a mod n) (b mod n)] mod n = (a b) mod n Exemplo: : Encontre 11 7 mod 13: 11 2 = mod mod mod 13 14

15 Propriedades da Aritmética Modular sobre Z n Nota: Se (a+b) b) (a+c) (mod n), então b c b c (mod n) Porém: Se (a b) b) (a c) (mod n), então b c b c (mod n) somente se a é relativamente primo a n ou: mdc(a,n)=1 Para a divisão modular,, é preciso o algoritmo de Euclides estendido 15

16 Aritmética modular - Divisão Regra: pode-se dividir por a (mod n) quando mdc(a,n)=1 Proposição: : Sejam a,b,c,n inteiros com mdc(a,n)=1. Se ab ac ac (mod n),, então b c c (mod n). Se a e n são relativamente primos,, pode-se dividir os 2 lados da congruência por a. 16

17 Aritmética modular - Divisão Regra: pode-se dividir por a (mod n) quando mdc(a,n)=1 Proposição: : Sejam a,b,c,n inteiros com mdc(a,n)=1. Se ab ac ac (mod n),, então b c c (mod n). Se a e n são relativamente primos,, pode-se dividir os 2 lados da congruência por a. Prova: Como mdc(a,n)=1,, existem inteiros x,y tais que ax+ny=1. Multiplicando por (b-c) obtemos: (ab - ac).x + n.(b-c).y = b-c por hipótese, (ab - ac) é múltiplo de n também n(b-c)y é múltiplo de n daí: (b-c) também deve ser múltiplo de n b c (mod n) 17

18 Equações lineares modulares Exemplo: : Resolver 5x+6 13 (mod 11) Solução: 5x 7 (mod 11) como (mod 11), isto é o mesmo que: 5x 40 (mod 11) x 8 (mod 11) ou, como (mod 11): x 45x 63 8 (mod 11) 18

19 Equações lineares modulares Exemplo: Resolver 2x+7 3 (mod 17) Solução: : 2x x (mod 17) pois: mdc(2,17)=1 19

20 Equações lineares modulares Se precisarmos resolver uma congruência da forma ax b (mod n) quando mdc(a,n)=d > 1, o procedimento é: 1) Se d não divide b, não há solução. 2) Assuma que d b. Então considere a nova congruência: (a/d)x (b/d) (mod n/d) note que a/d, b/d e n/d são inteiros e que mdc(a/d,n/d)=1 resolva esta congruência e obtenha uma solução x 0 3) As soluções da congruência original ax b (mod n) são: x 0, x 0 +(n/d), x 0 +2.(n/d),..., x 0 +(d-1)(n/d) (mod n) 20

21 Equações lineares modulares Exemplo: : Resolver 12.x (mod 39). Solução: mdc(12,39)=3: não temos mdc(a,n)=1 mas temos que mdc(12,39) divide 21 dividir por 3 para obter a nova congruência: 4.x 7 (mod 13) x 0 = 5 as soluções para a congruência original são: x 5, 18, 31 (mod 39) 21

22 Equações lineares modulares Estas mesmas equações podem ser resolvidas utilizando- se inversas multiplicativas em Z n 22

23 Inversas multiplicativas Def.: : Seja a Z n. A inversa multiplicativa de a módulo n é um inteiro x Zx n tal que a x a 1 (mod n) se tal x existe, ele é único e é denotado por a -1 23

24 Inversas multiplicativas Def.: : Seja a Z n. A inversa multiplicativa de a módulo n é um inteiro x Zx n tal que a x a 1 (mod n) se tal x existe, ele é único e é denotado por a -1 Fato: : Seja a Z n. Então a é inversível sse mdc(a,n)=1 ou seja, se a é relativamente primo a n 24

25 Inversas multiplicativas A inversa multiplicativa pode ser eficientemente calculada com o algoritmo de Euclides estendido Proposição: : Seja mdc(a,n)=1 e sejam x e y inteiros tais que a.x+.x+n.y=1.y=1 (do AEE). Então: a.x 1 (mod n) x é a inversa multiplicativa para a (mod n) Prova: : como a.x-1=-n.y, nota-se que a.x-1 é múltiplo de n 25

26 Inversas multiplicativas Resumo: : para encontrar a -1 (mod n): Use Euclides estendido para encontrar inteiros x e y tais que a.x + n.y = 1 Então: a -1 x (mod n) 26

27 Inversas multiplicativas Exemplo: : encontrar (mod 12345). Solução: : Do cálculo de mdc(11111, 12345) obtemos: x = 2471 ou seja: (mod 12345) 27

28 Os conjuntos Z n * e Z p * Def.: : O grupo multiplicativo de Z n é definido como: * Z n = { a Za n mdc(a,n)=1 } Em particular: * Z p = {1,2,..., p-1}, se p é primo 28

29 Quantidade de inversas multiplicativas A quantidade de inteiros em Z n relativamente primos a n é dada por (n) (n), a função de Euler: * (n) = Z n Exemplo: : Os inversíveis em Z 9 são: 1, 2, 4, 5, 7 e 8 Neste caso: (9) = 6 29

30 Quantidade de inversas multiplicativas Se n = p r, teremos que remover todo p-ésimo nro a fim de obter a lista dos a s com mdc(a,n)=1 o que leva a: (p r ) = (1 1/p).p r em particular: (p) = (p - 1) 30

31 Quantidade de inversas multiplicativas Em geral, pode-se usar o TCR para mostrar que, para qualquer n: n =n p n 1 1 p Em particular, quando n = p.q (produto de 2 primos), temos: (p.q) = (p-1).(q-1) Exemplos: (10) = (2-1).(5-1) = 4 (120) = 120.(1-1/2).(1-1/3).(1-1/5) = 32 31

32 Potências de um elemento Assim como é natural considerar múltiplos, mod n, de um dado elemento a: também é considerada a sequência de potências de a: a a 0, a 1, a 2, a 3,... 32

33 O Teorema de Fermat Teor.: : Se p é primo e se mdc(a,p)=1, então: a p-1 p-1 1 (mod p) 33

34 O Teorema de Fermat Teor. de Fermat: a p-1 1 (mod p) Ilustração (ideia da prova): : Para p=7 e a=3, temos: (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) Logo: (1.3).(2.3).(3.3).(4.3).(5.3).(6.3) (mod 7) De modo que: (mod 7) Portanto: 3 6.6! 6! (mod 7) ou: (mod 7) 34

35 O Teorema de Fermat Exemplos: : 2 53 (mod11) = (2 10 ) (mod 11) Note que, quando trabalhando mod 11,, estamos essencialmente trabalhando com os expoentes mod 10 Ex.: : (mod 101) (2 (2 100 ) (mod 101) 35

36 O Teorema de Fermat Obs.: : Normalmente, se 2 n-1 1 (mod n), o número é primo Esta é uma maneira de verificar se um dado número é primo. Mas há exceções: os pseudoprimos pseudoprimos Exemplo: 561 = , mas (mod 561) 36

37 Teorema de Euler Vamos precisar também do análogo do teorema de Fermat para um módulo composto... 37

38 Teorema de Euler Se mdc(a,n)=1, então: a (n) 1 (mod n) Prova: : semelhante à do teorema de Fermat. 38

39 Teorema de Euler: a (n) 1 (mod n) Exemplo: : quais são os últimos 3 dígitos de ? 39

40 Teorema de Euler: a (n) 1 (mod n) Exemplo: últimos 3 dígitos de : mesmo que trabalhar mod

41 Teorema de Euler: a (n) 1 (mod n) Exemplo: últimos 3 dígitos de : mesmo que trabalhar mod 1000 como (1000) = 1000.(1-1/2).(1-1/5) = 400,, temos: = (7 400 ) (mod 1000) portanto, os últimos 3 dígitos são 343 nota: trocamos o expoente de 803 para 3 porque: (mod (1000)) 41

42 Teorema de Euler Então: : sejam a,n,x,y inteiros com mdc(a,n)=1: se x y y (mod (n)) (n)),, então a x a y (mod n) trabalhar mod n na base é equivalente a trabalhar mod (n) no expoente Prova: : Faça x = y + (n).k. Então: a x = a y+φ(n).k = a y (a (n) ) k a y 1 k a y (mod n) 42

43 Aritmética Modular Ler Cormen2: seções 31.6, 31.7 e 31.8 Ler Rosen6: seção