confiar desconfiando

Transcrição

1 partilha de senhas

2 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação.

3 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas

4 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente...

5 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente... Uma solução é garantir que, só juntas, estas pessoas poderão ter acesso ao segredo.

6 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente... Uma solução é garantir que, só juntas, estas pessoas poderão ter acesso ao segredo. Mas

7 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente... Uma solução é garantir que, só juntas, estas pessoas poderão ter acesso ao segredo. Mas...

8 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente... Uma solução é garantir que, só juntas, estas pessoas poderão ter acesso ao segredo. Mas...e se alguém

9 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente... Uma solução é garantir que, só juntas, estas pessoas poderão ter acesso ao segredo. Mas...e se alguém...

10 confiar desconfiando Suponha um segredo encriptado com uma chave S. Estamos preocupados com a possibilidade da chave se perder, e não se conseguir mais recuperar a informação. Queremos então dividir o segredo com outras pessoas, mas não se confia em ninguém especificamente... Uma solução é garantir que, só juntas, estas pessoas poderão ter acesso ao segredo. Mas...e se alguém...faltar?

11 Outra garantia que se quer ter é de que nenhuma das pessoas, separadamente, conseguirá obter informações a respeito do segredo.

12 Outra garantia que se quer ter é de que nenhuma das pessoas, separadamente, conseguirá obter informações a respeito do segredo. Um esquema de divisão de senhas é caracterizado por um par [t, n], onde n é o número de pessoas envolvidas na divisão e t é o número de pessoas necessárias para se recuperar o segredo.

13 Outra garantia que se quer ter é de que nenhuma das pessoas, separadamente, conseguirá obter informações a respeito do segredo. Um esquema de divisão de senhas é caracterizado por um par [t, n], onde n é o número de pessoas envolvidas na divisão e t é o número de pessoas necessárias para se recuperar o segredo. Tem-se que n > 2 e 2 < t < n. Por exemplo, uma divisão [3, 10]

14 Outra garantia que se quer ter é de que nenhuma das pessoas, separadamente, conseguirá obter informações a respeito do segredo. Um esquema de divisão de senhas é caracterizado por um par [t, n], onde n é o número de pessoas envolvidas na divisão e t é o número de pessoas necessárias para se recuperar o segredo. Tem-se que n > 2 e 2 < t < n. Por exemplo, uma divisão [3, 10] significa que 10 pessoas vão receber partes do segredo, mas, para descobrir o segredo, bastam 3 delas juntarem as suas respectivas partes.

15 Shamir criou um algoritmo para resolver o problema da divisão [t, n] baseado na técnica da Interpolação de Lagrange.

16 Shamir criou um algoritmo para resolver o problema da divisão [t, n] baseado na técnica da Interpolação de Lagrange. Temos um segredo S. Este deve ser um inteiro S > 0.

17 DESCRIÇÃO DO MÉTODO 1.. Gera-se um número primo aleatório p, tal que p > max(s, n).

18 DESCRIÇÃO DO MÉTODO 1.. Gera-se um número primo aleatório p, tal que p > max(s, n). 2.. a 0 S.

19 DESCRIÇÃO DO MÉTODO 1.. Gera-se um número primo aleatório p, tal que p > max(s, n). 2.. a 0 S. 3.. Para i de 1 até (t - 1) faz-se: a i um número aleatório, 0 < a i < (p 1). 4.. Seja f(x) a função polinomial modular: f(x) = a 0 + a 1.x a t 1.x t 1 mod p.

20 DESCRIÇÃO DO MÉTODO 1.. Gera-se um número primo aleatório p, tal que p > max(s, n). 2.. a 0 S. 3.. Para i de 1 até (t - 1) faz-se: a i um número aleatório, 0 < a i < (p 1). 4.. Seja f(x) a função polinomial modular: f(x) = a 0 + a 1.x a t 1.x t 1 mod p. 5.. Para i de 1 até n faz-se: a. k i um número aleatório tal que 1 < k i < (p 1)

21 DESCRIÇÃO DO MÉTODO 1.. Gera-se um número primo aleatório p, tal que p > max(s, n). 2.. a 0 S. 3.. Para i de 1 até (t - 1) faz-se: a i um número aleatório, 0 < a i < (p 1). 4.. Seja f(x) a função polinomial modular: f(x) = a 0 + a 1.x a t 1.x t 1 mod p. 5.. Para i de 1 até n faz-se: a. k i um número aleatório tal que 1 < k i < (p 1) b. S i f(k i )

22 DESCRIÇÃO DO MÉTODO 1.. Gera-se um número primo aleatório p, tal que p > max(s, n). 2.. a 0 S. 3.. Para i de 1 até (t - 1) faz-se: a i um número aleatório, 0 < a i < (p 1). 4.. Seja f(x) a função polinomial modular: f(x) = a 0 + a 1.x a t 1.x t 1 mod p. 5.. Para i de 1 até n faz-se: a. k i um número aleatório tal que 1 < k i < (p 1) b. S i f(k i ) c. O i-ésimo participante recebe o par [k i, S i ].

23 O método de divisão descrito se baseia no fato de que um polinômio f(x) de grau (t 1) pode ser determinado a partir de t pares [x i, f(x i )] utilizando a técnica da Interpolação de Lagrange.

24 O método de divisão descrito se baseia no fato de que um polinômio f(x) de grau (t 1) pode ser determinado a partir de t pares [x i, f(x i )] utilizando a técnica da Interpolação de Lagrange. Deve-se tomar cuidado no passo 5.a do algoritmo, pois todos os k i devem ser números distintos.

25 O método de divisão descrito se baseia no fato de que um polinômio f(x) de grau (t 1) pode ser determinado a partir de t pares [x i, f(x i )] utilizando a técnica da Interpolação de Lagrange. Deve-se tomar cuidado no passo 5.a do algoritmo, pois todos os k i devem ser números distintos. Outra observação é que o segredo S é nada mais que S = a 0 = f(0). Finalmente, é importante saber que o valor do primo p deve ser divulgado aos participantes, já que ele é necessário no processo de recuperação do segredo.

26 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0

27 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1;

28 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1

29 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1 c). Para j de 1 até t faz-se: i. Se i j então faz-se:

30 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1 c). Para j de 1 até t faz-se: i. Se i j então faz-se: A). a (a.kj) mod p

31 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1 c). Para j de 1 até t faz-se: i. Se i j então faz-se: A). a (a.kj) mod p B). b [b(k j k i )] mod p

32 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1 c). Para j de 1 até t faz-se: i. Se i j então faz-se: A). a (a.kj) mod p B). b [b(k j k i )] mod p d). c (a.b 1 ) mod p

33 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1 c). Para j de 1 até t faz-se: i. Se i j então faz-se: A). a (a.kj) mod p B). b [b(k j k i )] mod p d). c (a.b 1 ) mod p (b 1 é a inversa multiplicativa de b módulo p)

34 recuperar o segredo O processo para se recuperar S a partir de t pares [k i, S i ] funciona como segue. 1). S 0 2). Para i de 1 até t faz-se: a). a 1; b). b 1 c). Para j de 1 até t faz-se: i. Se i j então faz-se: A). a (a.kj) mod p B). b [b(k j k i )] mod p d). c (a.b 1 ) mod p (b 1 é a inversa multiplicativa de b módulo p) e). S (S + c.s i ) mod p

35 O algoritmo acima é equivalente à equação: S = ( i c i.s i )( mod p), onde c i = 1<j<t,j i k j (k j k i ) que corresponde à interpolação de Lagrange para polinômios em um corpo finito. f(x) = i f(x i )[ j i(x j x)/(x j x i )]( mod p)

36 A equivalência descrita acima garante que o valor do polinômio f(x) de grau n 1 pode ser determinado para qualquer valor de x desde que se conheçam n pares ( x i, f(x i )) do gráfico desse polinômio.

37 A equivalência descrita acima garante que o valor do polinômio f(x) de grau n 1 pode ser determinado para qualquer valor de x desde que se conheçam n pares ( x i, f(x i )) do gráfico desse polinômio. Uma vantagem deste método é que o número n pode ser aumentado a qualquer momento (mas t deve permanecer fixo). Desejando-se incluir mais uma pessoa na divisão, basta calcular um novo par [k i, S i ] para esta pessoa.

38 A equivalência descrita acima garante que o valor do polinômio f(x) de grau n 1 pode ser determinado para qualquer valor de x desde que se conheçam n pares ( x i, f(x i )) do gráfico desse polinômio. Uma vantagem deste método é que o número n pode ser aumentado a qualquer momento (mas t deve permanecer fixo). Desejando-se incluir mais uma pessoa na divisão, basta calcular um novo par [k i, S i ] para esta pessoa. Este texto foi extraído (e modificado) do livro Segurança de Dados com Criptografia: métodos e algoritmos, Daniel Balparda de Carvalho. (notas originais preparadas por Reginaldo B. Batista)