Prof. MSc. David Roza José 1/37

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2 Métodos Abertos Objetivos: Reconhecer as diferenças entre os métodos intervalados e abertos para a localização de raízes; Compreender o método da iteração de ponto-fixo e avaliar suas características de convergência; Saber encontrar raízes através do método de Newton-Raphson e compreender o conceito de convergência quadrática; Saber implementar o método da secante e secante modificada; Compreender como o método de Brent combina a confiabilidade dos métodos fechados com a rapidez dos métodos abertos para localizar raizes de uma maneira robusta e eficiente; Dominar a função fzero do MATLAB para estimar raízes. 2/37

3 Contexto Nos métodos intervalados a raiz está localizada dentro de um intervalo prescrito por um limitante superior e inferior. A aplicação repetida destes métodos sempre resulta em estimativas mais próximas do valor real da raiz. Tais métodos são chamados de convergentes porque eles sempre se movem para mais perto da raiz conforme os cálculos progridem. Os métodos abertos, em contrapartida, necessitam de um ou dois valores iniciais e a raiz não necessariamente precisa estar contida no intervalo. Algumas vezes o algoritmo afasta-se da raiz, ou diverge. Entretanto, quando os métodos abertos convergem eles normalmente o fazem muito mais rapidamente que os métodos intervalados. 3/37

4 Contexto 4/37

5 Iteração de Ponto-Fixo Trabalha-se a equação de maneira a deixar a variável independente x do lado esquerdo da equação: O erro aproximado continua sendo, por definição, a diferença dos valores da raiz aproximada entre as iterações. 5/37

6 Exemplo Ponto-Fixo Encontrar a raiz da função: Podemos fazer a separação direta na forma de: Iniciamos com uma estimativa inicial de x=0, que nos dá o seguinte resultado 6/37

7 Exemplo Ponto-Fixo No exemplo anterior o erro verdadeiro decresce com determinada proporção: Essa propriedade, de razão aproximada de 0.5 a 0.6, chama-se de convergência linear. Isto é uma característica do método de iteração de ponto-fixo. 7/37

8 Iteração de Ponto-Fixo Graficamente podemos compreender a convergência ou divergência do método de iteração de ponto-fixo. Vamos supor que separamos a função Em duas funções distintas, de forma que: Assim teremos: As quais colocaremos num gráfico 8/37

9 Iteração de Ponto-Fixo 9/37

10 Iteração de Ponto-Fixo 10/37

11 Iteração de Ponto-Fixo 11/37

12 Iteração de Ponto-Fixo 12/37

13 Iteração de Ponto-Fixo Uma derivação ad-hoc pode ser utilizada para compreender o andamento do processo. O erro de uma iteração é linearmente proporcional ao erro da iteração anterior multiplicado pelo valor absoluto da curva de g, de forma que: Consequentemente, se g' <1, os erros diminuem com as iterações. Se g' >1 os erros aumentam. 13/37

14 Newton-Raphson O método de Newton-Raphson é o mais utilizado para se encontrar raízes de equações. Sua fórmula, apresentada abaixo, será deduzida: 14/37

15 Newton-Raphson Podemos resolver o mesmo problema de antes através de Newton-Raphson, e partiremos do mesmo ponto inicial x=0. Para tal precisamos da derivada da função, que é trivial: 15/37

16 Newton-Raphson Uma derivação ad-hoc pode ser utilizada para compreender o andamento do processo. O erro de uma iteração é proporcional ao quadrado do erro da iteração anterior. Este comportamento chama-se de convergência quadrática. A velocidade da convergência deste método é uma das razões de sua vasta utilização. Apesar de ser normalmente muito eficiente, existem situações onde seu desempenho é pífio. Situações de múltiplas raízes costumam ser problemáticas; mas também existem casos de raiz única onde dificuldades surgem. 16/37

17 Newton-Raphson Um caso problemático, por exemplo, é o de determinar a raiz positiva da função abaixo utilizando NR com uma estimativa inicial de x=0.5. A fórmula de recorrência torna-se: Sabemos, intuitivamente, que a raiz será 1. Porém o processo iterativo nos fornece: 17/37

18 Newton-Raphson 18/37

19 Newton-Raphson 19/37

20 Newton-Raphson 20/37

21 Newton-Raphson O arquivo newtraph.m contém a implementação do método. Verificar função sugerida para HP. 21/37

22 Métodos Secantes Um dos problemas na utilização do método de Newton-Raphson é o do cálculo da derivada. Apesar de ser fácil para polinômios, existem funções cujas derivadas são difíceis ou inconvenientes de se calcular. Nestes casos a derivada pode ser aproximada por um método de diferença finita para trás. Esta aproximação pode ser substituída na equação de Newton-Raphson para fornecer a seguinte equação: Que é a equação do quê chamamos de Método da Secante. 22/37

23 Métodos Secantes Uma aproximação alternativa inclui uma perturbação ínfima da variável independente para estimar f'(x). Substituindo na equação de Newton-Raphson obtemos: Que é chamado de Método da Secante Modificada. Ele nos fornece uma boa maneira de obter a eficiência de Newton-Raphson sem ter que se preocupar com o cálculo da derivada. 23/37

24 Secante Modificada - Exemplo Utilizaremos o método da Secante Modificada para determinar a massa do saltador de bungee-jump com um coeficiente de arrasto de 0.25 kg/m para se obter uma velocidade de 36 m/s após 4 s de queda livre. Consideraremos a aceleração da gravidade como sendo 9.81 m/s², uma estimativa inicial de 50kg e um valor de 10^-6 para a perturbação. Primeira Iteração 24/37

25 Secante Modificada - Exemplo Segunda Iteração O processo iterativo Prossegue: 25/37

26 Método da Secante Modificada Um valor adequado para perturbação não é automático. Se o delta for muito pequeno o método pode perder-se por erros de arredondamento causados pelo cancelamento subtrativo no denominador da equação. Se o delta for muito grande, a técnica pode tornar-se ineficiente e divergir. 26/37

27 Método de Brent O método de Brent é um método que procura unir o melhor de dois mundos: a confiança e a certeza dos métodos intervalados com a velocidade dos métodos abertos. Ele procura aplicar um método aberto e alterna para um método intervalado caso necessário. O método intervalado utilizado é o da Bisseção, enquanto dois métodos abertos são utilizados. O primeiro método aberto utilizado é o Método da Secante. O outro método é o da Interpolação Quadrática Reversa, que será explicado a seguir. 27/37

28 Interpolação Quadrática Reversa Este método é parecido com o Método da Secante. O método da secante é baseado numa linha reta entre duas estimativas. A interseção desta linha com o eixo x representa a nova estimativa de raiz. Por esta razão, às vezes ele é chamado de método da interpolação linear. Suponha que dispuséssemos de três pontos. Neste caso podemos determinar uma função quadrática que possua estes pontos. Assim como o método da secante, a interseção da parábola com o eixo x representa a nova estimativa da raiz. 28/37

29 Interpolação Quadrática Reversa 29/37

30 Interpolação Quadrática Reversa Caso os três pontos sejam designados como A função g(y) que passa pelos três pontos é escrita como: 30/37

31 Interpolação Quadrática Reversa Veremos nas aulas sobre Interpolação Polinomial que este é um Polinômio de Lagrange. A raiz corresponde a y=0, que nos fornece: Note que se os valores de y não forem distintos a função deixa de existir pois teremos um denominador cujo valor é zero. Durante o Algoritmo de Brent, quando isso ocorrer, passa-se a utilizar o Método da Secante com dois valores de y distintos. 31/37

32 Método de Brent A ideia geral por trás do Método de Brent é utilizar um método aberto sempre que possível. Caso seja gerado um resultado inaceitável (como um valor para raiz que caia fora do intervalo), o algoritmo passa a adotar o conservativo método da Bisseção. Apesar de ser mais demorado, o valor gerado para a raiz sempre estará dentro do intervalo. Este processo é repetido até que a raiz esteja dentro de um intervalo de tolerância aceitável. Daí então o algoritmo passa a adotar um método aberto para convergir mais rapidamente. O arquivo fzerosimp.m contém uma simplificação do algoritmo de Brent. 32/37

33 Funções do MATLAB A função fzero tem por objetivo determinar a raiz real de uma equação. Seu uso dá-se através da forma: fzero(funcao,x0) Onde funcao é o nome da função sendo avaliada e x0 é a estimativa inicial. A função também pode ser utilizada com o fornecimento de um intervalo: fzero(funcao, [x0 x1]) tal que x0 e x1 são o intervalo que contém uma mudança de sinal. Caso não haja mudança de sinal no intervalo mencionado, o MATLAB retornará uma mensagem de erro. 33/37

34 Funções do MATLAB Sabemos que, em geral, um polinômio de ordem n possuirá n raízes. Polinômios possuem diversas aplicações na engenharia em ciência. Como vimos anteriormente, eles são extensivamente utilizados em ajuste de curvas. Porém suas aplicações mais poderosas envolvem a caracterização de sistemas dinâmicos em especial, sistemas lineares. Exemplos incluem reatores, aparelhos mecânicos, estruturas e circuitos elétricos. Ao lidarmos com problemas envolvendo polinômios normalmente precisamos determinar todas as raízes. Infelizmente técnicas como a Bisseção ou Newton-Raphson não nos ajudam para isso. Entretanto o MATLAB tem uma função para tal: x = roots(c) Onde x é um vetor coluna contendo as raízes e c é um vetor linha contendo os coeficientes do polinômio. 34/37

35 Funções do MATLAB O cálculo das várias raízes é feito através de métodos envolvendo autovalores e autovetores. Veremos como calcular ambos em breve, e veremos agora como transformar um problema de raízes de polinômio num problema de autovalores e autovetores. Seja o seguinte polinômio dado: Podemos dividir todos os termos por a1 e rearranjar da seguinte forma: 35/37

36 Funções do MATLAB A partir disto uma matriz especial pode ser construída com os coeficientes do lado direito da igualdade. A matriz em questão chama-se de matriz companheira. Ela possui a propriedade especial de que seus autovalores são as raízes do polinômio. 36/37

37 Informações Exercícios: /37