Cálculo Numérico BCC760 Raízes de equações algébricas e transcendentes

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1 Cálculo Numérico BCC760 Raízes de equações algébricas e transcendentes Departamento de Computação Página da disciplina

2 Introdução Dada uma função y = f(x), o objetivo deste capítulo é a determinação valores x = tais que f() = 0. Estes valores são chamados de raízes da equação f(x) = 0 ou zeros da função y = f(x). Será tratado o caso em que é um número real. 2

3 Introdução Geometricamente, conforme mostra a figura, estes valores são os pontos de interseção do gráfico de y = f(x) com o eixo das abscissas. y 2 3 x 3

4 Introdução Se y = f(x) é um polinômio quadrático, cúbico ou biquadrado, então os seus zeros podem ser determinados por meio de processos algébricos. Para polinômios de grau superior, estes processos não existem, é necessário, então, utilizar métodos numéricos. Quando y = f(x) é uma função transcendente, para as quais não existe método geral para obter os seus zeros, também é necessária a utilização de métodos numéricos. 4

5 Introdução Os métodos numéricos utilizados são iterativos, portanto, por meio deles é possível obter uma solução, normalmente, aproximada. Faz-se necessário, então definir o que é uma solução (raiz) aproximada. 5

6 Introdução Raiz aproximada Sendo ε uma precisão desejada, diz-se que um ponto x k é uma aproximação para uma raiz ξ, de uma equação f(x) = 0, se satisfizer as condições: (i) f(x k ) < ε (ii) x k ξ < ε Conforme mostrado a seguir, estas duas condições não são equivalentes. 6

7 Introdução Caso Caso 2 f(x k ) < ε x k ξ < ε x k ξ >> ε f(x k ) >> ε f (x) f (x) x k x x k x 7

8 Introdução Raiz múltipla Uma raiz,, de uma equação f(x) = 0, tem multiplicidade m se: f() = f () = f () =... =f m () = 0 e f m () 0 Onde f j (), j =, 2,..., m; é a derivada de ordem j da função y = f(x) calculada no ponto. 8

9 Exemplo 9

10 Introdução Fases na determinação de raízes Fase : Isolamento das raízes É feita a delimitação, a enumeração e a separação das raízes com o objetivo de determinar intervalos que contenham, cada um, uma única raiz. Fase 2: Refinamento São utilizados métodos numéricos, com precisão pré-fixada, para calcular cada raiz. Todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos. 0

11 Fase Isolamento das raízes Teorema (Cauchy-Bolzano) Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b]. (i) Se f(a) f(b) < 0, então a equação f(x) = 0 tem um número ímpar de raízes no intervalo [a, b]. Além disso, se f '(x) preservar o sinal em [a, b] então a raiz é única. Número ímpar de raízes Raiz com multiplicidade ímpar

12 Fase Isolamento das raízes Teorema (Cauchy-Bolzano) Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b]. (ii) Se f(a) f(b) > 0, então a equação f(x) = 0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a, b]. Número par de raízes Raiz com multiplicidade par Não há raiz 2

13 Fase Isolamento das raízes Formas de isolar as raízes Tabelar a função que dá origem à equação e analisar as mudanças de sinal. tabela de pontos [x i, f(x i )], i =, 2,..., n. 3

14 Exemplo Isole as raízes positivas da equação f(x) = x 5 6.x 4 4.x x x - 80 = 0. Sabendo-se que elas são em número de três e estão situadas no intervalo (0, 7) Inicialmente, estabelece-se um passo h = e gera-se uma tabela de pontos. x f(x) Tendo em vista que f() f(2) < 0, f(2) f(3) < 0 e f(6) f(7) < 0 e considerando o Teorema 2., conclui-se que a equação dada tem uma raiz em cada um dos intervalos: (, 2), (2, 3) e (6, 7). 4

15 Fase Isolamento das raízes Formas de isolar as raízes Análise gráfica da função Procedimento I: esboçar o gráfico de y = f(x), com o objetivo de detectar intervalos que contenham, cada um, uma única raiz. Procedimento II: decompor a equação f(x) =0, se possível, na forma equivalente g(x) h(x) = 0, onde os gráficos de y = g(x) e y = h(x) sejam conhecidos e mais simples. Neste caso, as abscissas dos pontos de interseção de y = g(x) e y = h(x) são as raízes de f(x) = 0. 5

16 Exemplo Procedimento I Seja a equação f(x) = x 3 9.x + 3 = 0. Conforme mostra a figura 2.3, ela tem três raízes isoladas nos intervalos (-4, -3); (0, ) e (2,3). 6

17 Exemplo Procedimento II 7

18 Fase Isolamento das raízes Estudo especial das Equações Polinomiais Toda as equação da forma: f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 = 0 onde a i i = 0,,..., n; é dita polinomial. Tem-se, ainda, que n é um número natural denominado grau da equação. Uma equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, contando cada raiz de acordo com a sua multiplicidade. Se os coeficientes de uma equação polinomial forem reais, então as suas raízes complexas ocorrerão em pares conjugados. Uma equação polinomial de grau ímpar, com coeficientes reais, tem, no mínimo, uma raiz real. 8

19 Fase Isolamento das raízes - Equações Polinomiais Delimitação das raízes reais Limite Superior das Raízes Positivas (LSRP) Teorema de Lagrange Seja f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 = 0 uma equação algébrica de grau n na qual a n > 0 e a 0 0. Para limite superior das suas raízes positivas, caso existam, pode ser tomado o número: L (n-k) M a n Onde k é o grau do primeiro termo negativo e M o módulo do menor coeficiente negativo. (n-k) é o grau da raíz. 9

20 Exemplo Determine o limite superior das raízes positivas da equação f(x) = x 5-2x 4-7x 3 + 9x 2 +8x 6 = 0. Solução Tem-se que k = 4, M = 7. Sendo assim L = 8 L n - k M a n 20

21 Fase Isolamento das raízes - Equações Polinomiais Delimitação das raízes reais Limite Inferior das Raízes Negativas (LIRN) (i) Toma-se a equação auxiliar f (x) = f(- x) = 0. (ii) Aplica-se o teorema de Lagrange em f (x) = 0 para determinar L, que é o limite superior das suas raízes positivas. (iii) Sendo assim, (- L ) é o limite inferior das raízes negativas de f(x) = 0. 2

22 Exemplo f(x) = x 5-2x 4-7x 3 + 9x 2 +8x 6 = 0. f (x) = f(- x) = (- x) 5 2(- x) 4-7(- x) 3 + 9(- x) 2 +8(- x) 6 = 0 f (x) = - x 5-2x 4 + 7x 3 + 9x 2-8x 6 = 0. De acordo com o teorema de Lagrange a 5 deve ser maior que zero. 22

23 Fase Isolamento das raízes - Equações Polinomiais Regra de Sinais de Descartes Enumeração das raízes reais O número de raízes positivas de uma equação polinomial é igual ao número de variações de sinal na sequência dos seus coeficientes ou é menor por um inteiro par. Para obter o número de raízes negativas, basta trocar x por x e determinar o número de raízes positivas de f( x) = 0, o qual será o número de raízes negativas de f(x) = 0. 23

24 Exemplo 24

25 Fase Isolamento das raízes - Equações Polinomiais Enumeração das raízes reais Sequência de Sturm - Definição Chama-se sequência de Sturm de uma equação polinomial f(x) = 0, de grau n, o conjunto de polinômios f(x), f (x), f 2 (x), f 3 (x),..., f k (x); k n. O primeiro termo é o polinômio que origina a equação, o segundo é a sua primeira derivada, ou seja, f (x) = f '(x) e, de f 2 (x) em diante, cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos dois termos anteriores. A sequência se encerra quando se obtém um resto constante. 25

26 Fase Isolamento das raízes - Equações Polinomiais Enumeração das raízes reais Sequência de Sturm Propriedades (i) Se f(x) = 0 tem raízes múltiplas, então o último termo da sequência é uma constante nula. (ii) Para nenhum valor de x dois termos consecutivos da sequência podem se anular. (iii) Se, para algum valor de x, um termo médio da sequência se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos. 26

27 Fase Isolamento das raízes - Equações Polinomiais Enumeração das raízes reais Teorema de Sturm Seja N() o número de variações de sinal apresentado pela sequência de Sturm quando cada um dos seus termos é avaliado em x =. O número de raízes reais de uma equação polinomial, que não possua raízes múltiplas, em um intervalo (a, b), é igual a N(a) - N(b). 27

28 Exemplo f (x) f f f 2 3 ( x) ( x) ( x) x 3 3x 9 4 3x 2 2x 3 28

29 Exemplo f (x) f f f 2 3 ( x) ( x) ( x) x 3 3x 9 4 3x 2 2x 3 29

30 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma, e só uma, raiz,, da equação f(x) = 0. A ideia básica do Método da Bisseção é reduzir o intervalo [a, b] dividindo-o, de forma sucessiva, ao meio. As iterações são realizadas da forma mostrada a seguir 30

31 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção 4) O processo continua até que (b k a k ) e, então, é x [a k, b k ]., então 0 ) ( ). ( 2 ) x b a a x a x f a f Se b a x então 0 ) ( 2 ) 3 x x f Se b a x 3 b b x a b x x f a f Se b a x, então 0 ) ( ). ( 2 2)

32 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção 3) O processo continua até que (b k a k ) e, então, é x [a k, b k ]. x b a a x a, então 0 ) f (x 0 f (b) 0 f (a) Se 2 b a x ) b b x a,b x então 0 ) f (x 0 ) f (b 0 ) f (a Se 2 b a x 2) 32

33 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Interpretação geométrica y a 3 a 2 a a x 2 x 3 b 3 x b = b 2 b x 33

34 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Função de iteração ak b k 2 x k Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando se obtém um intervalo cujo tamanho é menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida e, então, qualquer ponto nele contido pode ser tomado como uma estimativa para a raiz; ou quando for atingido um número máximo de iterações previamente estabelecido. Critério de convergência, k, 2, 3,... Se y = f(x) for contínua em [a, b] e f(a).f(b) < 0, então o método da Bisseção gera uma sequência que converge para uma raiz de f(x) = 0. 34

35 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Exemplo Seja estimar a raiz de f(x) = x 3 9x + 3 = 0 contida no intervalo (0, ) com precisão = 0,065. Solução Tem-se. que f(0) = 3 e f() = -5. Os resultados obtidos são apresentados a seguir. 35

36 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

37 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

38 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

39 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

40 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

41 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

42 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

43 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

44 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

45 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k )

46 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Resultados obtidos k a k- b k- b k- - a k- x k f(x k ) ******* ******* Note que (b 4 - a 4 ) < Portanto, para a precisão estabelecida, qualquer ponto do intervalo [0,33; 0,375] pode ser tomado como uma estimativa para a raiz. 46

47 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Estimativa do numero de iterações Dada uma precisão e um intervalo inicial [a, b], estimar o número k de iterações para obter b k a k. b k a k b k a 2 k b a k 2 Utilizando logaritmo em qualquer base, tem-se que 2 k b a, k, 2,... k log (b a) log( ) log 2 47

48 Fase 2 Refinamento Método da Bisseção Estimativa do numero de iterações Exemplo Seja estimar o número de iterações necessário para calcular uma raiz de uma equação f(x) = 0, situada no intervalo (2, 3), com precisão 0,0 utilizando o método da bisseção. k log (b a) log( ) log( 2) log (3 2) log( log( 2) 0,0) ,6 Portanto k 7 48

49 Exercício Isole as raízes (com tabelamento h=), sabendo que há 2 negativas e 3 positivas em (-4,0) e (0,8) Calcule a menor raíz positiva com precisão 0,040 em no máximo 6 iterações. 49

50 Exercício 50

51 Exercícios 5

52 Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma, e só uma, raiz,, da equação f(x) = 0. O Método da Falsa Posição consiste em dividir, de forma sucessiva, o intervalo [a, b] no ponto em que a reta que passa por [a, f(a),] e [b, f(b)] intercepta o eixo das abscissas. A figura a seguir ilustra o processo. 52

53 Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Interpretação geométrica y a a a 2 x 2 x b = b 2 b x 53

54 4) O processo continua até precisão pré-fixada., então 0 ) ( ). ( ) x b a a x a x f a f Se então 0 ) ( ) 3 x x f Se 54 b b x a b x x f a f Se, então 0 ) ( ). ( 2) Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição

55 Equação da reta 55

56 Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Função de iteração a.f(b) - b.f(a) x k, k, 2,... f(b) - f(a) Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando se obtém x k, k = 0,, 2,...; tal que f(x k ) seja menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida e, então, x k é tomado como uma estimativa para a raiz; ou quando for atingido um número máximo de iterações previamente estabelecido. Critério de convergência Se y = f(x) for contínua em [a, b] e f(a).f(b) < 0, então o método da Falsa Posição gera uma sequência que converge para uma raiz de f(x) = 0. 56

57 Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Exemplo Seja estimar a raiz de f(x) = x 3 9x + 3 = 0 contida no intervalo (0, ) com precisão = 0,065. Solução k a b x k f(x k ) b-a , ,02 0,375 Portanto, considerando a precisão estabelecida, x 2 = 0,339 é uma estimativa para a raiz. 57

58 Exercício 58

59 Exercício 59

60 Exercício 60

61 Exercício 6

62 Exercício 62

63 Exercício 63

64 Fase 2 Refinamento Método de Newton-Raphson Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] que contém uma, e só uma, raiz da equação f(x) = 0 e que, nele, f (x) e f (x) preservam o sinal e não se anulam. O Método de Newton-Raphson consiste em: atribuir uma estimativa inicial x 0 [a, b] para uma raiz de f(x) = 0; gerar uma sequência de estimativas, {x k }, k =, 2, 3,...; onde cada ponto é a interseção da reta tangente a y = f(x), em [x k-, f(x k- )], com o eixo das abscissas. 64

65 Fase 2 Refinamento Método de Newton-Raphson Interpretação geométrica y x 0, f(x 0 ) x, f(x ) a x 2 x b = x 0 x 65

66 Fase 2 Refinamento Método de Newton-Raphson Função de iteração x k x k - - f(x f (x k - k - ), k ), 2,... Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando é obtido x k, k =, 2,...; tal que x k x k ou f(x k ) é menor ou igual a uma precisão estabelecida e, então, x k é tomado como uma estimativa para a raiz; ou quando for atingido um número máximo de iterações estabelecido. 66

67 Fase 2 Refinamento Método de Newton-Raphson Critério de convergência (condições suficientes) Seja [a, b] um intervalo que contém uma, e somente uma, raiz da equação f(x) = 0. A sequência x k, k =, 2,...; gerada pelo método de Newton-Raphson será convergente se: (i) f (x) e f (x) não se anulam e preservam o sinal no intervalo [a, b] (ii) o valor inicial x 0 [a, b] for tal que f(x 0 ) f (x 0 ) > 0. Em geral, afirma-se que o método gera uma sequência convergente desde que x 0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz. 67

68 Exercício 68

69 Exercício 69

70 Considerações finais Os três métodos podem ser comparados quanto à existência e velocidade de convergência e também quanto ao esforço computacional, de modo a facilitar a escolha do mais adequado para cada situação. 70

71 Considerações finais O método mais simples (exige pouco esforço computacional) e robusto é o da bisseção, que apresenta como grande vantagem o fato de sempre gerar uma sequência convergente. É contudo um método de baixa velocidade de convergência, apresentando como curiosidade o fato de gerar uma sequência que converge para a raiz sempre com a mesma velocidade. Pela sua robustez, é bom como método preliminar para a obtenção de um intervalo de pequeno tamanho, dentro do qual se encontra uma raiz da equação. 7

72 Considerações finais O método da falsa posição também é uma técnica robusta que apresenta a vantagem de gerar uma sequência que sempre converge e, além disto, mais rapidamente do que o método da bisseção. Entretanto, quando a convergência para a raiz só se faz a partir de um dos extremos do intervalo, esta se torna lenta, podendo igualar-se à do método da bisseção. O método de Newton-Raphson é sem dúvida o método que proporciona a maior velocidade convergência. Apresenta, entretanto, algumas desvantagens. 72

73 Considerações finais As condições de convergência são mais restritivas. Obriga o cálculo, em cada iteração, do valor numérico da função e da sua primeira derivada. Se a derivada tiver uma forma analítica complicada, a sua avaliação pode exigir muito esforço computacional. Se o valor da primeira derivada for grande, a convergência será lenta. Para os casos em que a utilização do método de Newton-Raphson se mostrar inviável, pode-se recorrer ao método da Falsa Posição. 73

74 Cálculo Numérico Final do curso. Muito obrigado! 74

75 Exemplo 2 75