Universidade Tecnológica Federal do Paraná

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1 Cálculo Numérico - Zeros de Funções Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto Universidade Tecnológica Federal do Paraná 13 de março de 2016 D.R.Rossetto Zeros de Funções 1/81

2 Problema Velocidade do pára-quedista v(t) = gm c (1 e ( c m )t ), (1) (Equação para um corpo em queda-livre deduzida da segunda lei de Newton, F=ma.) onde a velocidade v é a variável dependente, o tempo t é a variável independente, g é a constante gravitacional (Relacionada a força gravitacional,f=mg, agindo sob o corpo), c é a constante de arrasto (Relacionada a resistência do ar, F=-cv, agindo sob o corpo), m é a massa. D.R.Rossetto Zeros de Funções 2/81

3 Problema Se os parâmetros g, c e m forem conhecidos a equação (1) pode ser usada para prever a velocidade do pára-quedista como uma função do tempo. Entretanto, como proceder se, por exemplo, tenhamos que determinar o coeficiente de arrasto para que um pára-quedista de uma dada massa atinja uma certa velocidade em um determinado intervalo de tempo??? D.R.Rossetto Zeros de Funções 3/81

4 Exemplo 1 Qual deve ser o coeficiente de arrasto c para que um pára-quedista de massa m = 68, 1 kg tenha uma velocidade de 40 m/s depois de cair em queda livre por t = 10 s? Observação: a aceleração da gravidade é g = 9, 8m/s 2. D.R.Rossetto Zeros de Funções 4/81

5 Exemplo 1 Qual deve ser o coeficiente de arrasto c para que um pára-quedista de massa m = 68, 1 kg tenha uma velocidade de 40 m/s depois de cair em queda livre por t = 10 s? Observação: a aceleração da gravidade é g = 9, 8m/s 2. Este problema pode ser reescrito como o problema de encontrar as raízes da seguinte equação: f (c) = 9, 8(68, 1) (1 e ( c 68,1 )10 ) 40 c D.R.Rossetto Zeros de Funções 5/81

6 Teorema Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0 então existe pelo menos um c (a, b) tal que f (c) = 0. Vamos supor também que f é monótona no intervalo [a, b]. (Porque???) D.R.Rossetto Zeros de Funções 6/81

7 Método da Bissecção D.R.Rossetto Zeros de Funções 7/81

8 Método da Bissecção O intervalo é sempre dividido na metade. Calcula-se o valor da função no ponto médio. A posição da raiz é determinada como sendo o ponto médio do subintervalo no qual a mudança de sinal ocorre. Esse processo é repetido para obter estimativas refinadas. D.R.Rossetto Zeros de Funções 8/81

12 Figura : Método da Bissecção D.R.Rossetto Zeros de Funções 9/81

18 Método da Bissecção Este procedimento é repetido até que a b < ε (precisão). A raiz aproximada é dada por x = a+b 2. D.R.Rossetto Zeros de Funções 15/81

19 Método da Bissecção Este procedimento é repetido até que a b < ε (precisão). A raiz aproximada é dada por x = a+b 2. D.R.Rossetto Zeros de Funções 15/81

20 Voltando para o problema de encontrar uma raiz da função: f (c) = 667, 38 (1 e 0, ) 40 c Tabela : Valor da função c f (c) 4 34, , , , ,401 Logo, existe pelo menos uma raiz no intervalo [12, 16] D.R.Rossetto Zeros de Funções 16/81

21 Voltando para o problema de encontrar uma raiz da função: f (c) = 667, 38 (1 e 0, ) 40 c Tabela : Valor da função c f (c) 4 34, , , , ,401 Logo, existe pelo menos uma raiz no intervalo [12, 16] D.R.Rossetto Zeros de Funções 16/81

22 Voltando para o problema de encontrar uma raiz da função: f (c) = 667, 38 (1 e 0, ) 40 c Tabela : Valor da primeira derivada da função c f (c) 12-2, , , , ,7738 Logo, provavelmente a função é decrescente no intervalo [12, 16] D.R.Rossetto Zeros de Funções 17/81

23 Voltando para o problema de encontrar uma raiz da função: f (c) = 667, 38 (1 e 0, ) 40 c Tabela : Valor da primeira derivada da função c f (c) 12-2, , , , ,7738 Logo, provavelmente a função é decrescente no intervalo [12, 16] D.R.Rossetto Zeros de Funções 17/81

24 Figura : Exemplo 1 D.R.Rossetto Zeros de Funções 18/81

25 Verifique que f(14,75)=0,059 Substituindo este valor na equação (1), temos v = 40, 059, que é próximo da velocidade desejada. D.R.Rossetto Zeros de Funções 19/81

26 Convergência O método termina quando (b k a k ) < ε. Logo, a quantidade de iterações que devem ser realizadas para garantir a precisão pré definida, ε, é k > log(b a) log(ε) log(2) Você deve saber a origem desta relação!!! D.R.Rossetto Zeros de Funções 20/81

27 Convergência O método termina quando (b k a k ) < ε. Logo, a quantidade de iterações que devem ser realizadas para garantir a precisão pré definida, ε, é k > log(b a) log(ε) log(2) Você deve saber a origem desta relação!!! D.R.Rossetto Zeros de Funções 20/81

28 Observação Este método sempre converge. As iterações são baratas. A convergência pode ser muito lenta. D.R.Rossetto Zeros de Funções 21/81

29 Como seria um pseudo código para este método?!?!?! D.R.Rossetto Zeros de Funções 22/81

30 Algoritmo 1 Método da Bissecção 1: Dados de entrada: a, b, ε. 2: 3: Enquanto (b a) > ε 4: x = a+b 2 5: Se f (a) f (x) > 0 6: a = x 7: Senão 8: b = x 9: Fim 10: Fim 11: Saída: x = a+b 2 D.R.Rossetto Zeros de Funções 23/81

31 Método do Ponto Fixo D.R.Rossetto Zeros de Funções 24/81

32 Definição Um número p é um ponto fixo de uma dada função Φ se Φ(p) = p. (2) p = 2 é ponto fixo de Φ(p) = p p = 1 é ponto fixo de Φ(p) = p 2 D.R.Rossetto Zeros de Funções 25/81

35 Figura : Ponto fixo D.R.Rossetto Zeros de Funções 26/81

36 Encontrar um ponto fixo está relacionado com o problema de encontrar uma raiz. Porque???? D.R.Rossetto Zeros de Funções 27/81

37 Encontrar um ponto fixo está relacionado com o problema de encontrar uma raiz. Porque???? D.R.Rossetto Zeros de Funções 27/81

38 Se for possível escrever (ou seja, se existir uma transformação Φ) tal que f (x) = x Φ(x) Se p é ponto fixo de Φ, então... Se x é raiz de f, então... D.R.Rossetto Zeros de Funções 28/81

41 MPF O MPF consiste em transformar a equação f (x) = 0 em uma equação equivalente x = Φ(x) e a partir de uma aproximação inicial x 0 gerar uma sequência {x k } de aproximações para o ponto fixo de Φ. D.R.Rossetto Zeros de Funções 29/81

42 Exemplos: 1 Φ(x) = x 2 2 pode ser reescrito como f (x) = 0 para f (x) =??? 2 Φ(x) = x pode ser reescrito como f (x) = 0 para f (x) =??? 3 Φ(x) = sen(x) + x pode ser reescrito como f (x) = 0 para f (x) =??? Φ é chamada função de iteração para a equação f (x) = 0. D.R.Rossetto Zeros de Funções 30/81

46 O problema agora é encontrar um ponto fixo de uma função Φ. D.R.Rossetto Zeros de Funções 31/81

47 Exemplo A função de iteração Φ(x) = x 2 2 possui algum ponto fixo? Se sim, determine. D.R.Rossetto Zeros de Funções 32/81

48 D.R.Rossetto Zeros de Funções 33/81

49 Sempre existe??? É único??? D.R.Rossetto Zeros de Funções 34/81

50 Teorema 1 Se Φ C[a, b] e Φ(x) [a, b] para todo x [a, b], então Φ tem pelo menos um ponto fixo em [a, b]. (existência) 2 Além disso, se Φ existir em (a, b) e existir uma constante positiva M < 1 tal que Φ (x) M, para todo x (a, b), então o ponto fixo será único em (a, b). (unicidade) ([a, b] é o intervalo onde há garantia que existe raiz da função f ) D.R.Rossetto Zeros de Funções 35/81

51 Teorema 1 Se Φ C[a, b] e Φ(x) [a, b] para todo x [a, b], então Φ tem pelo menos um ponto fixo em [a, b]. (existência) 2 Além disso, se Φ existir em (a, b) e existir uma constante positiva M < 1 tal que Φ (x) M, para todo x (a, b), então o ponto fixo será único em (a, b). (unicidade) ([a, b] é o intervalo onde há garantia que existe raiz da função f ) D.R.Rossetto Zeros de Funções 35/81

52 Para a demonstração deste teorema usamos: Teorema do valor médio D.R.Rossetto Zeros de Funções 36/81

53 Exemplo A função Φ(x) = x2 1 3 possui ponto fixo no intervalo [ 1, 1]? D.R.Rossetto Zeros de Funções 37/81

54 Método do Ponto Fixo Obtém um novo valor de x em função de um velho valor de x da seguinte forma: x k+1 = Φ(x k ), com alguma aproximação inicial x 0. D.R.Rossetto Zeros de Funções 38/81

55 Exemplo 3 Encontre a única raiz de f (x) = x 2 3x 1 no intervalo [ 1, 1]. Use: x 0 = 0, 5 e x 0 = 5. Φ(x) =??? Há garantia que Φ(x) admite ponto fixo??? O chute inicial é adequado? Valor verdadeiro: x = D.R.Rossetto Zeros de Funções 39/81

58 Teorema do Ponto Fixo Seja Φ C[a, b] tal que Φ(x) [a, b] para todo x [a, b]. Além disso, se Φ existir em (a, b) e existir uma constante 0 < M < 1 tal que Φ (x) M, para todo x (a, b). Então, para qualquer x 0 [a, b], a sequência definida por x k+1 = Φ(x k ), converge para o único ponto fixo de Φ em [a, b]. Demonstração: D.R.Rossetto Zeros de Funções 40/81

59 Geometricamente?!?!?!? (A inclinação de y = Φ(x) tem que ser menor do que a inclinação de y = x) D.R.Rossetto Zeros de Funções 41/81

60 Exemplo 4 Encontre a única raiz de f (x) = x 3 + 4x 2 10 no intervalo [1, 2]. Use x 0 = 1, 5. Valor verdadeiro: x = 1, Φ(x) =??? D.R.Rossetto Zeros de Funções 42/81

61 São funções de iteração para este problema: Φ 1 (x) = x x 3 4x Φ 2 (x) = x 3 Φ 3 (x) = x x3 +4x x 2 +8x 10 Φ 4 (x) = x 4x Há garantia que Φ(x) admite ponto fixo??? O chute inicial é adequado? O desempenho independente da escolha da função de iteração? D.R.Rossetto Zeros de Funções 43/81

68 Corolário Se Φ satisfaz as hipótese do teorema do ponto fixo, então limitantes para o erro cometido na aproximações de x utilizando o método do ponto fixo são dados por: 1 x k x M k max{x 0 a, b x 0 }, 2 x k x Mk 1 M x 1 x 0 para todo k 1. D.R.Rossetto Zeros de Funções 44/81

69 Observações As duas taxas relacionam a taxa de convergência com o limitante para a primeira derivada. Quanto menor o valor de M, mais rápida será a convergência. D.R.Rossetto Zeros de Funções 45/81

70 Critérios de Parada x k+1 x k < ε x k+1 x k x k+1 < ε (cuidado!!!) f (x k ) < ε D.R.Rossetto Zeros de Funções 46/81

71 Algoritmo 2 Método do Ponto Fixo 1: Dados de entrada: x 0, ε. 2: x = x 0 3: k = 0 4: Enquanto (Criterio de parada) > ε 5: x = Φ(x) 6: k = k + 1 7: Fim 8: Saída: x = x D.R.Rossetto Zeros de Funções 47/81

72 Método de Newton D.R.Rossetto Zeros de Funções 48/81

73 Método de Newton Dado um ponto x 0, Construa a aproximação linear de f neste ponto, Determine o zero, ou raiz, desta aproximação Tome o novo ponto como sendo este zero. D.R.Rossetto Zeros de Funções 49/81

78 Figura : r(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) D.R.Rossetto Zeros de Funções 50/81

79 A sequência gerada pelo método de Newton é da forma: x k+1 = x k f (x k) f (x k ) D.R.Rossetto Zeros de Funções 51/81

80 Exemplo 4 A função f (x) = x 3 + 4x 2 10 tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. a) Use o método de Newton para encontrar a única raiz. b) Compare o desempenho com o MPF para a seguinte função de iteração Φ 2 (x) = x 3. Valor verdadeiro: x = 1, D.R.Rossetto Zeros de Funções 52/81

81 Exemplo 4 A função f (x) = x 3 + 4x 2 10 tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. a) Use o método de Newton para encontrar a única raiz. b) Compare o desempenho com o MPF para a seguinte função de iteração Φ 2 (x) = x 3. Valor verdadeiro: x = 1, D.R.Rossetto Zeros de Funções 52/81

82 Exemplo 3 A função f (x) = x 3 x 1 tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. a) Use o método de Newton para encontrar a única raiz usando x 0 = 0. b) Compare o desempenho com o MPF para a seguinte função de iteração Φ(x) = 3 x + 1 usando x 0 = 1. Valor verdadeiro: x = 1, 3 D.R.Rossetto Zeros de Funções 53/81

83 Exemplo 3 A função f (x) = x 3 x 1 tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. a) Use o método de Newton para encontrar a única raiz usando x 0 = 0. b) Compare o desempenho com o MPF para a seguinte função de iteração Φ(x) = 3 x + 1 usando x 0 = 1. Valor verdadeiro: x = 1, 3 D.R.Rossetto Zeros de Funções 53/81

84 Considere Φ N (x) = x f (x) f (x) Se existe um número p tal que Φ N (p) = p, então... Se existe um número p tal que f (p) = 0, então... Este método também é um método de ponto fixo!!! D.R.Rossetto Zeros de Funções 54/81

87 Teorema Sejam f ( ), f ( ) e f ( ) contínuas num intervalo I que contém a raíz x. Vamos supor que f ( x) 0, então, existe um δ > 0, tal que o método de Newton gera uma sequência {x k } que converge para x para qualquer aproximação x 0 [ x δ, x + δ] I. Demonstração: Φ N satisfaz as hipóteses do teorema do ponto fixo? Φ N (x) = f (x)f (x) f (x) é nula em x (lembrando que f ( x) = 0). D.R.Rossetto Zeros de Funções 55/81

88 Teorema Sejam f ( ), f ( ) e f ( ) contínuas num intervalo I que contém a raíz x. Vamos supor que f ( x) 0, então, existe um δ > 0, tal que o método de Newton gera uma sequência {x k } que converge para x para qualquer aproximação x 0 [ x δ, x + δ] I. Demonstração: Φ N satisfaz as hipóteses do teorema do ponto fixo? Φ N (x) = f (x)f (x) f (x) é nula em x (lembrando que f ( x) = 0). D.R.Rossetto Zeros de Funções 55/81

89 Observações Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que x 0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz x. Como escolher o uma aproximação inicial perto da raiz??? D.R.Rossetto Zeros de Funções 56/81

90 Observações Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que x 0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz x. Como escolher o uma aproximação inicial perto da raiz??? D.R.Rossetto Zeros de Funções 56/81

91 Algoritmo 3 Método de Newton 1: Dados de entrada: x 0, ε. 2: x = x 0 3: k = 0 4: Enquanto (Criterio de parada) > ε 5: x = x f (x) f (x) 6: k = k + 1 7: Fim 8: Saída: x = x D.R.Rossetto Zeros de Funções 57/81

92 O método pode gerar uma sequência: decrescente, crescente, oscilante O tipo de sequência está muito vinculado à concavidade da função próxima a raiz. D.R.Rossetto Zeros de Funções 58/81

93 O método pode gerar uma sequência: decrescente, crescente, oscilante O tipo de sequência está muito vinculado à concavidade da função próxima a raiz. D.R.Rossetto Zeros de Funções 58/81

94 Teorema da convexidade Seja f : [a, b] [a, b] com f C 2 [a, b]. Suponha que 1 f (a).f (b) < 0, 2 f (x) 0 para todo x [a, b], 3 f não troca de sinal em [a, b]. Então, a sequência gerada pelo método de Newton x k+1 = x k f (x k) f (x k ) converge para a única raiz de f em [a, b], se x 0 [a, b] for escolhido convenientemente. D.R.Rossetto Zeros de Funções 59/81

99 Escolha conveniente para o chute inicial 1 x 0 = a se Φ N (a) [a, b], ou 2 x 0 = b caso contrário. D.R.Rossetto Zeros de Funções 60/81

100 Exemplo 5 Encontre a raiz da função f (x) = e x x. D.R.Rossetto Zeros de Funções 61/81

101 Observações Newton é altamente eficiente. Uma desvantagem é a necessidade de conhecer a valor da derivada de f em cada aproximação. D.R.Rossetto Zeros de Funções 62/81

102 Método da Secante D.R.Rossetto Zeros de Funções 63/81

103 Método da Secante Dados dois ponto x 0, x 1, Construa a reta secante nestes pontos, Determine o zero, ou raiz, desta reta, Tome o novo ponto como sendo este zero. D.R.Rossetto Zeros de Funções 64/81

108 ( ) Figura : r(x) = f (x 1 ) + f (x1) f (x 0) x 1 x 0 (x x 1 ) D.R.Rossetto Zeros de Funções 65/81

109 A sequência gerada pelo método da Secante é da forma: x k+1 x k x k+2 = x k+1 f (x k+1 ) f (x k+1 ) f (x k ) D.R.Rossetto Zeros de Funções 66/81

110 Desta forma estamos usando Secante Newton f (x k+1 ) f (x k+1) f (x k ) x k+1 x k As condições para a convergência são praticamente as mesmas D.R.Rossetto Zeros de Funções 67/81

111 Desta forma estamos usando Secante Newton f (x k+1 ) f (x k+1) f (x k ) x k+1 x k As condições para a convergência são praticamente as mesmas D.R.Rossetto Zeros de Funções 67/81

112 Exemplo 4 A função f (x) = x 3 + 4x 2 10 tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. a) Use o método da Secante com x 0 = o para encontrar a única raiz. b) Use o método da Secante com x 0 = 1 para encontrar a única raiz. Valor verdadeiro: x = 1, D.R.Rossetto Zeros de Funções 68/81

113 Exemplo 4 A função f (x) = x 3 + 4x 2 10 tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. a) Use o método da Secante com x 0 = o para encontrar a única raiz. b) Use o método da Secante com x 0 = 1 para encontrar a única raiz. Valor verdadeiro: x = 1, D.R.Rossetto Zeros de Funções 68/81

114 Exemplo 5 Encontre a raiz da função f (x) = e x x. D.R.Rossetto Zeros de Funções 69/81

115 Figura : f (x) = e x x D.R.Rossetto Zeros de Funções 70/81

116 Figura : Comparação D.R.Rossetto Zeros de Funções 71/81

117 Ordem de convergência D.R.Rossetto Zeros de Funções 72/81

118 Mede a velocidade com que as iterações produzidas por um método aproximam-se da solução exata. D.R.Rossetto Zeros de Funções 73/81

119 Definição Seja {x k } uma sequência gerada por um método numérico que converge para x e E k = x k x o erro cometido na iteração k. Se existirem um número p 1 e uma constante C > 0 tais que: lim k E k+1 E k p = C então p é chamado de ordem de convergência desse método e C é a constante assintótica de erro. D.R.Rossetto Zeros de Funções 74/81

120 Se a sequência é convergente E k 0 quando k. Podemos escrever E k+1 C E k p. O que acontece quanto maior for p? D.R.Rossetto Zeros de Funções 75/81

121 Na demonstração do teorema do ponto fixo vimos que E k+1 Φ (ξ) E k. Tomando o limite, podemos mostrar que lim k E k+1 E k = Φ (ξ) = C. Sabemos que para haver convergência C < 1. D.R.Rossetto Zeros de Funções 76/81

122 Como p = 1 a convergência do MPF é pelo menos linear, A convergência será mais rápida quanto menor for Φ (ξ). D.R.Rossetto Zeros de Funções 77/81

123 A expansão de f em série de Taylor em torno do ponto x k f (x) = f (x k ) + f (x k )(x x k ) + f (ξ) 2 (x x k) 2, onde ξ está entre x e x k. No método de Newton x k+1 é tal que f (x k+1 ) = f (x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) = 0. Destes fatos segue o seguinte resultado: D.R.Rossetto Zeros de Funções 78/81

124 Teorema A ordem de convergência do método de Newton é p = 2, ou seja, a convergência é quadrática. O erro é aproximadamente proporcional ao quadrado do erro anterior. O número de casas decimais corretas aproximadamente dobra a cada iteração. D.R.Rossetto Zeros de Funções 79/81

127 Teorema A ordem de convergência do método das secantes é p = 1, 618. D.R.Rossetto Zeros de Funções 80/81

128 Bibliografia BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas Análise Numérica Tradução da 8. ed. São Paulo, SP: Cengage Learning, CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos para Engenharia Tradução da 5. ed. São Paulo, SP: McGraw-Hill, RUGGIERO, Marcia A. G.; LOPES, Vera L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, CUMINATO, José A. Cálculo Numérico ICMC/USP D.R.Rossetto Zeros de Funções 81/81