Aula 6. Zeros reais de funções Parte 3

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1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 6 Zeros reais de funções Parte 3

3 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Cálculo Numérico 3/47

4 CONSIDERAÇÕES INICIAIS MÉTODO DO PONTO FIXO: Uma das condições de convergência é que onde I é um intervalo centrado na raiz; A convergência do método será mais rápida quanto menor g' for. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: Busca garantir e acelerar a convergência do Método do Ponto Fio, escolhendo para função de iteração: g () tal que g ( ) = 0. g' 1, I, Cálculo Numérico 4/47

5 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O Método de Newton-Raphson é um dos métodos numéricos mais eficientes e conhecidos para a solução de um problema de determinação de raiz. Cálculo Numérico 5/47

6 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Podemos apresentar o método de Newton- Raphson de diferentes formas: Pela busca de uma convergência mais rápida; Com base nos polinômios de Taylor; Através de sua interpretação geométrica. Cálculo Numérico 6/47

7 Interpretação Geométrica O Método de Newton é obtido geometricamente da seguinte forma: Dado o ponto (, f ( )), traça-se a reta T () tangente à curva neste ponto: T f f ' Determina-se o zero de T (), um modelo linear que aproima f () em uma vizinhança de : T Faz-se então: +1 =. 0 f f ' Cálculo Numérico 7/47

8 MÉTODO DE NEWTON f() Análise Gráfica 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. Cálculo Numérico 8/47

9 Cálculo Numérico 9/47 MÉTODO DE NEWTON Então, a função de iteração no método de Newton será dada por: Logo: f f g ' f f ' 1

10 Estudo da convergência TEOREMA: 2 Seja, onde [a, b] contém a raiz = de f () = 0. Suponha que f () 0. Então, eiste um intervalo, contendo a raiz, tal que se recursiva: convergirá para a raiz. f C a, b I I a, b, a sequência { } gerada pela fórmula 0 f 1 f ' Cálculo Numérico 10/47

11 Convergência Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que 0 seja escolhido suficientemente próimo da raiz, pois assim as hipóteses do Teorema de convergência do Método do Ponto Fio serão satisfeitas. Cálculo Numérico 11/47

12 EXEMPLO 1 Comprovaremos neste eemplo que uma escolha cuidadosa da aproimação inicial é, em geral, essencial para o bom desempenho do método de Newton. Considere a função f () = que possui três zeros:, 3 ; 0,1 ; 2,3 I I I 1 1 Seja 0 = 1,5 e e = Cálculo Numérico 12/47

13 EXEMPLO 1 f ( ) f ( ) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , f() < e = 10-3 Cálculo Numérico 13/47

14 EXEMPLO 1 Podemos observar que de início há uma divergência da região onde estão as raízes, mas a partir de 7, os valores aproimam-se cada vez mais de 3. A causa da divergência inicial é que 0 está próimo de 3 que é um zero de f () e esta aproimação inicial gera 1 1,66667 que está próimo de outro zero de f (). Cálculo Numérico 14/47

15 1 0 2 Cálculo Numérico 15/47

16 Critérios de Parada Os critérios de parada são os mesmos dos demais métodos: 1 e 1 e f e Cálculo Numérico 16/47

17 MÉTODO DE NEWTON VANTAGENS: Rapidez no processo de convergência. Cálculo Numérico 17/47

18 MÉTODO DE NEWTON DESVANTAGENS: Necessidade da obtenção de f (), o que pode ser impossível em determinados casos; O cálculo do valor numérico de f () a cada iteração; Difícil implementação. Cálculo Numérico 18/47

19 MÉTODO DA SECANTE Cálculo Numérico 19/47

20 Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f () e calcular seu valor a cada iteração. Uma forma de contornar este problema é substituir a derivada f () pelo quociente das diferenças: f ' f f 1 1 onde e -1 são duas aproimações para a raiz. Cálculo Numérico 20/47

21 f () f ( ) f ( -1 ) +1-1 f f 1 tg f ' 1 f f 1 1 Cálculo Numérico 21/47

22 Cálculo Numérico 22/47 No Método de Newton, a função de iteração era: Agora, no Método da Secante, a função de iteração será: Observe que são necessárias duas aproimações para se iniciar o método. f f g ' f f f f g

23 Interpretação Geométrica f() a iteração 2 a iteração 3 a iteração 4 a iteração Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. Cálculo Numérico 23/47

24 EXEMPLO 3 Considere f () = , 0 = 0; 1 = 1 e e = Aplique o Método da Secante. -1 f ( -1 ) f ( ) +1 f ( +1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , f() < e = Cálculo Numérico 24/47

25 EXEMPLO 3 Considere f () = , 0 = 0; 1 = 1 e e = Aplique o Método da Secante. -1 f ( -1 ) f ( ) +1 f ( +1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , = 4-3 = 0,00569 > e Cálculo Numérico 25/47

26 EXEMPLO 3 Considere f () = , 0 = 0; 1 = 1 e e = Aplique o Método da Secante. -1 f ( -1 ) f ( ) +1 f ( +1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , , , , , , = 5-4 = 0, < e Cálculo Numérico 26/47

27 Convergência Visto que o método da secante é uma aproimação para o método de Newton, as condições para a convergência do método são praticamente as mesmas. Acrescenta-se ainda que o método pode divergir se f ( ) ~ f ( -1 ). Cálculo Numérico 27/47

28 MÉTODO DA SECANTE Vantagens: Rapidez no processo de convergência; Cálculos mais convenientes que no método de Newton; Desempenho elevado. Cálculo Numérico 28/47

29 MÉTODO DA SECANTE Desvantagens: Se o cálculo de f () não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson; Se o gráfico da função for a um dos eios e/ou o eio das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante ; Difícil implementação. Cálculo Numérico 29/47

30 MÉTODO DA SECANTE y NÃO CONVERGE!!!! 0 1 f () Cálculo Numérico 30/47

31 MÉTODO DA SECANTE y f () NÃO CONVERGE!!!! 0 1 Cálculo Numérico 31/47

32 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Cálculo Numérico 32/47

33 Critérios de Comparação Cálculo Numérico 33/47

34 Garantias de Convergência Bissecção e Falsa Posição Convergência garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b], tal que f(a) f(b)<0. Ponto Fio, Newton-Raphson e Secante Condições mais restritivas de convergência; Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados. Cálculo Numérico 34/47

35 Rapidez de Convergência Número de Iterações Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergência de um método. Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de eecução do programa. Tempo gasto na eecução de uma iteração Variável de método para método. Cálculo Numérico 35/47

36 Esforço Computacional Indicadores: Número de operações efetuadas a cada iteração; Compleidade das operações; Número de decisões lógicas; Número de avaliações de função a cada iteração; Número total de iterações. Cálculo Numérico 36/47

37 Esforço Computacional Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método: Bissecção Cálculos mais simples por iteração Newton Cálculos mais elaborados Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria das vezes, muito maior do que o número de iterações efetuadas no método de Newton. Cálculo Numérico 37/47

38 Método Ideal Condições a serem satisfeitas pelo Método Ideal: Convergência assegurada; Ordem de convergência alta; Cálculos por iteração simples. Cálculo Numérico 38/47

39 Escolha do Melhor Método Newton-Raphson Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f (). Secante Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f (), uma vez que não é necessária a obtenção de f (). Cálculo Numérico 39/47

40 Critério de Parada Critério de Parada Detalhe importante na escolha do método. Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a raiz Bissecção. Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com aproimações para a raiz eata). Cálculo Numérico 40/47

41 Observações Importantes Situações nas quais se deve evitar o uso do Método da Secante: Tendência da curva ao paralelelismo a qualquer um dos eios Tendência da função à tangência ao eio das abscissas em um ou mais pontos. Cálculo Numérico 41/47

42 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Escolha do método Diretamente relacionada com a equação cuja solução é desejada. Comportamento da função na região da raiz eata; Dificuldades com o cálculo de f () ; Critério de parada, etc. Cálculo Numérico 42/47

43 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Eemplo: f log1, 0,1 ; e 10 7 Dados Iniciais Erro em Bissecção [2, 3] 2, , , Falsa Posição [2, 3] 2, , , Ponto Fio 0 = 2,5 2, , , Newton 0 = 2,5 2, , , Secante 0 = 2,3 1 = 2,7 f 2, , , g 1,3 log 1 Cálculo Numérico 43/47

44 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Eemplo: f 3 1, 1,2 ; e 10 6 Dados Iniciais Erro em Bissecção [1, 2] 1, , , Falsa Posição [1, 2] 1, , , Ponto Fio 0 = 1,0 1, , , Newton 0 = 0,0 1, , , Secante 0 = 0,0 1 = 0,5 f 1, , , g Cálculo Numérico 44/47

45 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, iii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Maron, c1997. vi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 45/47