CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 6 Zeros reais de funções Parte 3

3 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Cálculo Numérico 3/47

4 CONSIDERAÇÕES INICIAS MÉTODO DO PONTO FIXO: Uma das condições de convergência é que onde I é um intervalo centrado na raiz; A convergência do método será mais rápida quanto menor g' ( ξ ) for. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: Busca garantir e acelerar a convergência do Método do Ponto Fixo, escolhendo para função de iteração: g (x) tal que g ( ξ ) = 0. g' ( x) < 1, x I, Cálculo Numérico 4/47

5 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O Método de Newton-Raphson é um dos métodos numéricos mais eficientes e conhecidos para a solução de um problema de determinação de raiz. Cálculo Numérico 5/47

6 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Podemos apresentar o método de Newton- Raphson de diferentes formas: Pela busca de uma convergência mais rápida; Com base nos polinômios de Taylor; Através de sua interpretação geométrica. Cálculo Numérico 6/47

7 Interpretação Geométrica O Método de Newton é obtido geometricamente da seguinte forma: Dado o ponto (x, f (x )), traça-se a reta T (x) tangente à curva neste ponto: T Determina-se o zero de T (x), um modelo linear que aproxima f (x) em uma vizinhança de x : Faz-se então: x +1 = x. T ( x) = f ( x ) + f '( x )( x x ) ( x) = 0 x = x f f ' ( x ) ( x ) Cálculo Numérico 7/47

8 MÉTODO DE NEWTON q Análise Gráfica f(x) 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração ξ x 0 x 3 x2 x 1 x Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada. Cálculo Numérico 8/47

9 MÉTODO DE NEWTON Então, a função de iteração no método de Newton será dada por: g ( x ) = x f f ' ( x ) ( x ) Logo: x + 1 = x f f ' ( x ) ( x ) Cálculo Numérico 9/47

10 Estudo da convergência TEOREMA: Seja f (x) = 0. Suponha que f (ξ) 0. Então, existe um intervalo que se recursiva: [ a b] 2 f C, x I convergirá para a raiz., onde [a, b] contém a raiz x = ξ de [ a b] I,, contendo a raiz ξ, tal, a sequência {x } gerada pela fórmula 0 f ( x ) x + 1 = x f '( x ) Cálculo Numérico 10/47

11 Convergência Pode-se provar que o Método de Newton-Raphson tem ordem de convergência quadrática. Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que x 0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz ξ, pois assim as hipóteses do Teorema de convergência do Método do Ponto Fixo serão satisfeitas. Cálculo Numérico 11/47

12 EXEMPLO 1 (Convergência Quadrática) Obtenha a raiz quadrada de um número positivo A, usando o método de Newton. Temos que resolver a equação f (x) = x 2 A = 0, pois assim x = ± A teremos. Tomando A = 7, por exemplo, sabemos que: ξ = 2, Cálculo Numérico 12/47

13 EXEMPLO 1 Vamos supor x 0 = 2. Pelo Método de Newton, teremos que: x + 1 A sequência gerada pelo Método será: x 1 = 2,75; = x x 2 = 2, ; x 3 = 2, ; x 4 = 2, ; x 5 = 2, f f ' ( ) 2 x x = x ( ) x 2x Cálculo Numérico 13/47 7 Considerando nove casas decimais x = 2,

14 EXEMPLO 1 Podemos observar que dígitos corretos (sublinhados) começam a surgir após x 2 e, a partir dele, a quantidade de dígitos significativos corretos valores da sequência se aproximam de x. à medida que os Isto ocorre pois o método de Newton tem convergência quadrática. Cálculo Numérico 14/47

15 EXEMPLO 2 Comprovaremos neste exemplo que uma escolha cuidadosa da aproximação inicial é, em geral, essencial para o bom desempenho do método de Newton. Considere a função f (x) = x 3 9x + 3 que possui três zeros: ξ 1 I 1 = 5, 3 [ ]; ξ 2 I 2 = 0,1 [ ]; ξ 3 I 3 = 2,3 [ ] Seja x 0 = 1,5 e ε = Cálculo Numérico 15/47

16 EXEMPLO 2 x f (x ) f (x ) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , f(x) < ε = 10-3 Cálculo Numérico 16/47

17 EXEMPLO Podemos observar que de início há uma divergência da região onde estão as raízes, mas a partir de x 7, os valores aproximam-se cada vez mais de ξ 3. A causa da divergência inicial é que x 0 está próximo de 3 que é um zero de f (x) e esta aproximação inicial gera x1 = 1,66667 que está próximo de outro zero de f (x). Cálculo Numérico 17/47

18 Critério de Parada Os critérios de parada são os mesmos dos demais métodos: x n x n 1 < ε x x n n 1 x n < ε f ( x ) n < ε Cálculo Numérico 18/47

19 MÉTODO DE NEWTON VANTAGENS: q Rapidez no processo de convergência. Cálculo Numérico 19/47

20 MÉTODO DE NEWTON DESVANTAGENS: Necessidade da obtenção de f (x), o que pode ser impossível em determinados casos; O cálculo do valor numérico de f (x) a cada iteração; Difícil implementação. Cálculo Numérico 20/47

21 MÉTODO DA SECANTE Cálculo Numérico 21/47

22 Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f (x) e calcular seu valor a cada iteração. Uma forma de contornar este problema é substituir a derivada f (x) pelo quociente das diferenças: f ' ( x ) f ( x ) f ( x ) x x 1 1 onde x e x -1 são duas aproximações para a raiz. Cálculo Numérico 22/47

23 f (x) f ( x ) f ( x -1 ) α x +1 x -1 x x f ( x ) f ( x ) 1 tgα = f '( x ) x x 1 f ( x ) f ( x ) x x 1 1 Cálculo Numérico 23/47

24 No Método de Newton, a função de iteração era: g ( x) = x f f ' ( x ) ( x ) Agora, no Método da Secante, a função de iteração será: x + 1 = g ( x ) = x 1 f f ( x ) x f ( x ) 1 ( x ) f ( x ) 1 Observe que são necessárias duas aproximações para se iniciar o método. Cálculo Numérico 24/47

25 Interpretação Geométrica f(x) x x 0 x 3 1 x 2 ξ x 4 x 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração 4 a iteração Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada. Cálculo Numérico 25/47

26 EXEMPLO 3 Considere f (x) = x 3 9x + 3, x 0 = 0; x 1 = 1 e ε = Aplique o Método da Secante. x -1 f (x -1 ) x f (x ) x +1 f (x +1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , f(x) < ε = Cálculo Numérico 26/47

27 EXEMPLO 3 Considere f (x) = x 3 9x + 3, x 0 = 0; x 1 = 1 e ε = Aplique o Método da Secante. x -1 f (x -1 ) x f (x ) x +1 f (x +1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , x +1 -x = x 4 -x 3 = 0,00569 > ε Cálculo Numérico 27/47

28 EXEMPLO 3 Considere f (x) = x 3 9x + 3, x 0 = 0; x 1 = 1 e ε = Aplique o Método da Secante. x -1 f (x -1 ) x f (x ) x +1 f (x +1 ) ,375-0, ,375-0, , , ,375-0, , , , , , , , , , x 5 x 4 x 5 = 7, < ε x +1 -x = x 5 -x 4 = 0, < ε Cálculo Numérico 28/47

29 Convergência Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton, as condições para a convergência do método são praticamente as mesmas. Acrescenta-se ainda que o método pode divergir se f (x ) ~ f (x -1 ). A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como o método de Newton, mas também não é apenas linear. Prova-se que p = 1, para o Método da Secante. Cálculo Numérico 29/47

30 MÉTODO DA SECANTE Vantagens: Rapidez no processo de convergência; Cálculos mais convenientes que no método de Newton; Desempenho elevado. Cálculo Numérico 30/47

31 MÉTODO DA SECANTE Desvantagens: Se o cálculo de f (x) não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson; Se o gráfico da função for a um dos eixos e/ou o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante ; Difícil implementação. Cálculo Numérico 31/47

32 MÉTODO DA SECANTE y NÃO CONVERGE!!!! ξ x 0 x 1 x f (x) Cálculo Numérico 32/47

33 MÉTODO DA SECANTE y f (x) NÃO CONVERGE!!!! x 0 ξ x 1 x Cálculo Numérico 33/47

34 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Cálculo Numérico 34/47

35 Critérios de Comparação Cálculo Numérico 35/47

36 Garantias de Convergência Bissecção e Falsa Posição q Convergência garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b], tal que f(a) f(b)<0. Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante q Condições mais restritivas de convergência; q Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados. Cálculo Numérico 36/47

37 Rapidez de Convergência Número de Iterações ð Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergência de um método. Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de execução do programa. Tempo gasto na execução de uma iteração ð Variável de método para método. Cálculo Numérico 37/47

38 Esforço Computacional Indicadores: Número de operações efetuadas a cada iteração; Complexidade das operações; Número de decisões lógicas; Número de avaliações de função a cada iteração; Número total de iterações. Cálculo Numérico 38/47

39 Esforço Computacional Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método: Bissecção ð Cálculos mais simples por iteração Newton ð Cálculos mais elaborados Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria das vezes, muito maior do que o número de iterações efetuadas no método de Newton. Cálculo Numérico 39/47

40 Método Ideal Condições a serem satisfeitas pelo Método Ideal: Convergência assegurada; Ordem de convergência alta; Cálculos por iteração simples. Cálculo Numérico 40/47

41 Escolha do Melhor Método Newton-Raphson ð Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f (x). Secante ð Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f (x), uma vez que não é necessária a obtenção de f (x). Cálculo Numérico 41/47

42 Critério de Parada Critério de Parada ð Detalhe importante na escolha do método. Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a raiz ð Bissecção. Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz ð Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com aproximações x para a raiz exata). Cálculo Numérico 42/47

43 Observações Importantes Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de Newton-Raphson e da Secante Tendência da curva ao paralelelismo a qualquer um dos eixos Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos. Cálculo Numérico 43/47

44 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Escolha do método ð Diretamente relacionada com a equação cuja solução é desejada. Comportamento da função na região da raiz exata; Dificuldades com o cálculo de f (x) ; Critério de parada, etc. Cálculo Numérico 44/47

45 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Exemplo: f ( x) = x log( x) 1, ξ [ 0,1]; ε =10 7 Dados Iniciais Erro em x Bissecção [2, 3] 2, , , Falsa Posição [2, 3] 2, , , Ponto Fixo x 0 = 2,5 2, , , Newton x 0 = 2,5 2, , , Secante x 0 = 2,3 x 1 = 2,7 x f x ( ) 2, , , g x ( ) = x 1,3 ( x log x 1) Cálculo Numérico 45/47

46 COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Exemplo: f ( x) = x 3 x 1, ξ [ 1, 2]; ε =10 6 Dados Iniciais Erro em x Bissecção [1, 2] 1, , , Falsa Posição [1, 2] 1, , , Ponto Fixo x 0 = 1,0 1, , , Newton x 0 = 0,0 1, , , Secante x 0 = 0,0 x 1 = 0,5 x f x ( ) 1, , , g( x) = ( x +1) 1 3 Cálculo Numérico 46/47

47 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, xiii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Maron, c1997. xvi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 47/47