Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método de Newton

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1 Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método de Newton Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 24 de setembro de 202 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de 202 / 4

2 Problema Estamos interessados em encontrar x IR n solução do seguinte problema: f (x, x 2,..., x n = 0, f 2 (x, x 2,..., x n = 0,. f n (x, x 2,..., x n = 0, com f i função de IR n em IR. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

3 Sistemas de equações não-lineares Seguindo as idéias do método de Newton para uma única equação, podemos generalizar o método para resolver problemas com n equações. Vamos definir F (x = f (x, x 2,..., x n f 2 (x, x 2,..., x n. f n (x, x 2,..., x n f T (x e J(x = f2 T (x. fn T (x Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

4 Desenvolvimento do método de Newton Usando a expansão de Taylor em torno de x para a função F, de maneira análoga ao que foi feito no caso de uma única equação, podemos escrever x x J( x F ( x. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

5 Desenvolvimento do método de Newton Assim, o método de Newton para resolver sistemas de equações não-lineares consiste em, dada uma aproximação inicial x 0 da solução, calcular a aproximação x k+ = x k J(x k F (x k a cada iteração k 0, até que o critério de convergência seja satisfeito. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

6 Desenvolvimento do método de Newton Para evitar o cálculo de J(x k, geralmente resolve-se o sistema J(x k p k = F (x k em p k. Então, calcula-se x k+ = x k + p k. Para resolver o sistema linear é usada alguma fatoração de J(x k, como, por exemplo, a fatoração LU. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

7 Exemplo Considere o sistema de equações x 2 + y 2 4 = 0, 2x y 2 = 0, que tem solução x = e y = 2( Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

8 Exemplo Lembre-se que F (x = ( x 2 + y 2 4 2x y 2 e J(x = ( 2x 2y 2 2y Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

9 Exemplo A resolução desta equação usando o método de Newton, com aproximação inicial x 0 = (,, é dada por: J(x 0 p 0 = F (x 0 ( x = x 0 + p 0 = ( p 0 p 2 0 ( ( 2 = ( = ( p 0 p 2 0 ( = ( Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

10 Exemplo J(x p = F (x ( ( p p 2 x 2 = x + p = ( p p 2 ( ( ( = ( = ( Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

11 Exemplo A resolução desta equação usando o método de Newton, com aproximação inicial x 0 = (,, é dada por: k x k F (x k 0 ( , ( E+00, E+00 ( , ( E+00, E+00 2 (.236, ( E+00, E+00 3 ( , ( E 05, E 05 4 ( , ( E 0, E 0 Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de 202 / 4

12 Exemplo 2 Considere o problema anterior e tome a aproximação inicial x 0 = ( 5, 5. Ao aplicarmos o método de Newton para resolver o sistema de equações, obtemos o seguinte resultado: k x k F (x k 0 ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

13 Convergência Suponha que F seja continuamente diferenciável em um conjunto convexo aberto D IR n. Seja x D uma solução não-degenerada de F (x = 0 e seja {x k } a sequência gerada pelo método de Newton. Então, quando x k D está suficientemente perto de x, temos que a sequência converge superlinearmente para a solução. Mais ainda, se F for Lipschitz contínua perto de x, a convergência é quadrática. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4

14 Dificuldades na aplicação do método de Newton Apesar de apresentar convergência quadrática, o método de Newton apresenta alguns inconvenientes: A aproximação inicial deve estar próxima da solução para que o método tenha convergência. 2 É necessário calcular a derivada de F em x k em toda iteração k. 3 No caso de sistemas com várias equações, é necessário fatorar a matriz J(x k para toda iteração k. 4 Quando n é grande, pode ser muito custoso calcular e fatorar J(x k. 5 Quando J(x k é singular, o método de Newton pode não estar definido. 6 A raiz em questão pode ser degenerada. Ou seja, J(x pode ser singular. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP sme000 - Cálculo Numérico I 24 de setembro de / 4