Um sistema de n equações não lineares a n incógnitas é toda expressão do tipo: [3 x 1. x 2 ) 3 3 ) 2 7] +2(x 2. 2 log(x1 +x 2

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Oswaldo Thomaz Vieira
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1 UFSC INE50 95 INE50 Cálculo Numérico Cap 4 Resolução de sistemas não lineares (Material retirado de: Faires Um sistema de n equações não lineares a n incógnitas é toda epressão do tipo: {f (,, n,, n f n,, n o que é equivalente a: F( X = 0 f onde: F = n] e f n] Eemplos: { +( 3 = 3 3 +( = 7 { 3 cos( 3 = = 7.4 e log( + 3 F( X = +( ( 7] e 3 cos 3 5 ] F( X = e e log( + 3 ] 3] 4. Método de Newton para f( (rel. Suponha que 0 é uma aproimação inicial da raiz de f Queremos a correção h que deve ser adicionada a 0 para obter a raiz: f ( 0 + h Utilizando Série de Taylor, pode se escrever: f ( 0 + h = f ( 0 + hf ' ( 0 + h f ' ' ( 0 + = 0 Ignorando termos de ordem (ou seja, desistindo de chegar à raiz de uma só vez, obtemos: h = f ( 0 f ' ( 0, o que é uma aproimação de h que resolve a equação. A nova aproimação para a raiz é, portanto: = 0 + h, e assim por diante.

2 UFSC INE50 96 Resumindo, o método de Newton produz uma sequência { 0,,, }, a partir da seguinte fórmula: k+ = k f ( k f '( k 4. Método de Newton para F(X com n= Considere um sistema não linear : onde: { f,, F = f ], ou: F( X = 0 ] e 0 = 0 Seja X 0 = 0 uma aproimação inicial da raiz de F = f ] Queremos a correção h = h h ] que deve ser adicionada a X 0 para obter a raiz: F( X 0 + h = 0 Utilizando Série de Taylor a duas variáveis, obtemos: {f 0 +h (, 0 +h = f ( 0, 0 + h + h + = 0 ( 0 +h, 0 +h = ( 0, 0 + h + h + = 0 Novamente, ignorando termos de ordem (desistindo de chegar à raiz de uma só vez, obtemos: ( 0, 0 ( 0, 0 ( 0, 0 0, 0 ] h h ] = f ( 0, 0 ] ( 0, 0 o que é um sistema linear cuja solução produz uma aproimação de h que resolve a equação. Ou, equivalentemente: J (X 0 h = F( X 0 A nova aproimação para a raiz é, então: X = X 0 + h, e assim por diante. Resumindo, o método de Newton produz uma sequência {X 0, X, X, } que pode ser obtida a partir da seguinte fórmula: X k+ = X k J ( X k F (X k

3 UFSC INE Método de Newton para F(X Voltando a um sistema não linear geral n n, dado por: {f (,,n (,, n f n,, n percebemos que podemos generalizar as ideias anteriores. Então, para F( X = 0, tomando se X 0 = 0, 0,, n 0 ] como vetor solução inicial e aplicando o método de Newton, obtemos: X k+ = X k J ( X k F (X k onde J é Matriz Jacobiana de F( X, dada por: n ] J (X k = n n n n n Lembre que: i j = i j k, k,, n k Para evitar o cálculo de inversas, vamos definir: h = X k+ X k e vamos voltar a trabalhar com um sistema linear n n : J (X k h = F( X k (o qual pode ser computado por Eliminação Gaussiana Uma vez computado o vetor h, um novo vetor de aproimações é obtido a partir de: X k+ = X k + h Eemplo: Resolver, pelo Método de Newton, o seguinte sistema : { + e = + = 4 com: X 0 = 0 ]

4 UFSC INE50 98 Temos: F( X = f, (, ] J (X = e ] = + e + 4] Temos que resolver: J (X k h k = F( X k a iteração: e ] h 0 = e ] h (EG h 0 = 0.94] X =.94].0758 h X ] com: erro = h i =.0000 a iteração: ] h = ] h ] (EG h = h ] ] X ( X (] =.7378].0095 com: erro = h i = a iteração: X X (3] =.797].004 com: erro = h i = Solução deste eercício usando um script em Octave:

5 UFSC INE50 99 % Resolvendo o sistema do eemplo: X = ]'; erro = ; while erro > e 0 FF = ep(x( + X( X(^ + X(^ 4] JJ = ep(x( *X( *X(] h = JJ \ FF X = X + h erro = norm(h, pause end Solução deste eercício usando recursos prontos do Octave: X X (3] = ] com: erro 0 7 (default Comandos Octave: >> function y = f( y( = ep(( + ( ; y( = (^ + (^ 4; end >> fsolve("f",, ] fsolve mais completo: >>,fval,info] = fsolve("f",, ], optimset("tolfun",e 0,"TolX",e 0 NOTA: "TolX" especifica a tolerância de término nas incógnitas "TolFun" é uma tolerância para as equações (f. O default é 0-7 para ambos. Ver: NOTA: fval é o valor de f( para as raízes obtidas info pode retornar com um dos valores a seguir: : Convergiu para um ponto da solução. O erro residual relativo é < o especificado por TolFun. : O último passo relativo estava < TolX. 3: O último decréscimo relativo no resíduo foi < TolF. 0: O limite de iterações foi ecedido. 3: O raio da região de confiança ficou ecessivamente pequeno.

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