Logaritmos e a Calculadora

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Judite Ramires Gusmão
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1 Logaritmos e a Calculadora Denise Martinelli PIBID/Matemática Neumar Regiane Machado Albertoni PIBID/Matemática Violeta Maria Estephan professora do DAMAT CURITIBA, a 1 de agosto de 015 Página 1

2 PARTE 1 Eemplo 1: Resolva as equações eponenciais usando a seguinte propriedade: A f() = A g() f() = g(). a) 4 = 8 b) 9 = 7(+1) c) 5 = 5 d). 7 =. 9 Eemplo : Resolva a equação usando a tecla y da calculadora. = 1 Lembre-se: está entre 1 e Então, escolhemos como primeira aproimação = 1+ = 1,5 1,5 = está entre 1,5 e 19 a 1 de agosto de 015 Página

3 1,5, Segunda aproimação = 1,5+ = 1,75 1,75 = está entre 1,5 e 1, 75 1,5, ,75,65... Terceira aproimação = 1,5+1,75 = 1,65 1,65 = está entre 1,5 e 1, 65 1,5, ,65, Quarta aproimação = 1,5+1,65 = 1,565 = está entre 1,565 e 1, 65 1,565, ,65, Quinta aproimação = 1,565+1,65 = 1,5975 = está entre 1,565 e 1, ,565, ,5975, Seta aproimação = 1,565+1,5975 = 19 a 1 de agosto de 015 Página

4 1,57815 = está entre 1,57815 e 1, ,57815, ,5975, Sétima aproimação = 1, ,5975 1, =, é aproimadamente igual a 1, = Eemplo : Para calcular o valor de com maior precisão e menos trabalho foi definido uma operação chamada logaritmo. log a b = b = a, com b > 0, a > 0 e a 1 Então para resolver a equação 10 = aplicamos a definição de logaritmo e obtemos: = 10 = log 10 Na calculadora: = log 10 = log = Isso significa que: 10 0, , por isso muitos chamam o logaritmo de epoente. Eemplo 4: Resolvendo a equação anterior: 10 log = Temos que: = = = log Porém, a calculadora não possui a tecla de logaritmo na base, então precisaremos ver as propriedades de logaritmo antes de resolver essa situação na calculadora. 19 a 1 de agosto de 015 Página 4

5 PROPRIEDADES Eemplo 5: Calcule os resultados de cada operação na calculadora! Anote os resultados. Coluna 1 Coluna log + log = log 6 = log + log 5 = log 10 = log 8 + log = log 16 = log 7 + log = log 1 = a) O que você observa nos resultados das duas colunas? b) Que propriedade dos logaritmos essas igualdades sugerem? log A + log B = log Eemplo 6: Calcule os resultados de cada operação na calculadora! Anote os resultados. Coluna 1 Coluna log log = log = log log 5 = log 5 = log 8 log = log 4 = log 7 log = log 7 = a) O que você observa nos resultados das duas colunas? b) Que propriedade dos logaritmos essas igualdades sugerem? log A log B = log Eemplo 7: Quadro de propriedades operatórias dos logaritmos log A + log B = log A. B log A log B = log A B log A n = n log A 19 a 1 de agosto de 015 Página 5

6 MUDANÇA DE BASE log a b = log b log a Eemplo 8: Usando a propriedade de mudança de base obtenha o resultado na calculadora: a) log 5 = Verifique o resultado obtido calculando uma potência! Lembre-se: log 5 = 5 = b) log 7 15 = Verifique o resultado calculando uma potencia! Lembre-se: log 7 15 = 15 = 7 Eemplo 9: Finalmente, pode-se verificar o resultado obtido anteriormente no Eemplo para na equação =, calculando: = log = log log = = Compare esse resultado com o obtido anteriormente por aproimação no Eemplo. 19 a 1 de agosto de 015 Página 6

7 Eemplo 10: Resolva as equações do item 1 usando logaritmo e a calculadora. Compare os resultados com os obtidos anteriormente no Eemplo 1. a) 4 = 8 b) 5 = 5 BASES DO LOGARITMO E A CALCULADORA Nas calculadoras científicas aparecem apenas logaritmos na base 10 e na base e. O número e é definido tradicionalmente como o limite de uma sequencia numérica: e = lim (1 + 1 n n n ) Essa epressão significa que, fazendo sucessivamente n = 1,,,...,, as potências aproimam-se cada vez mais de e, como mostra a tabela: (1 + 1 n n ) n 1,5, , , , , , , , , , , , , , , , , O logaritmo de da base e é representado por ln(). 19 a 1 de agosto de 015 Página 7

8 SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO LOGARITMOS Eemplo 11: Uma pessoa aplica R$ ,00 em um fundo de renda fia a % ao mês: a) Qual será o saldo no final do primeiro mês? E após meses? E após meses? Juros no final do primeiro mês: % = = O capital aplicado R$ ,00 rende R$ 00,00 em um mês. Ao final de 1 mês a pessoa terá um montante no valor de: R$ ,00 + R$ 00,00 = R$ 10.00,00 Por outro raciocínio o montante pode ser obtido da seguinte forma: = = % = (1 + %) = , = Seguindo esse raciocínio tem-se um montante no final do segundo mês: (1 + %) = ,0 = Ao final de meses a pessoa terá um montante no valor de: R$ ,00 Seguindo o mesmo raciocínio tem-se no final do terceiro mês: (1 + %) = ,0 = 10.61,08 Ao final de meses a pessoa terá um montante no valor de: R$ 10.61,08 19 a 1 de agosto de 015 Página 8

9 b) Usando uma calculadora complete a tabela com o montante ao final de cada mês de aplicação. Mês Cálculo do valor Montante (R$) Inicial ,00 Primeiro (1, 0) 10.00,00 Segundo (1, 0) ,00 Terceiro (1, 0) Quarto (1, 0) 4 Quinto Seto Sétimo Oitavo Nono Seguindo esse raciocínio no final de meses tem-se: (1 + %) Eemplo 1: Considere a aplicação de R$ ,00 a uma taa fia de %. Calcule uma estimativa de quantos meses são necessários para dobrar a quantia aplicada. Inicialmente vamos resolver problema por tentativa, atribuindo valores aleatórios para. Faça igual a 10 meses. Seguindo esse raciocínio no final de 10 meses teremos: (1 + %) 10 = Agora, faça suas aproimações usando a calculadora até determinara quantidade de meses. 19 a 1 de agosto de 015 Página 9

10 Seguindo esse raciocínio no final de 6 meses teremos: (1 + %) 6 = 0.98,87 Seguindo esse raciocínio no final de 5 meses teremos: (1 + %) 5 = ,89 O tempo necessário será de no mínimo 6 meses. Usando ouro raciocínio podemos montar uma equação para resolver o problema. Como a variável está no epoente podemos usar logaritmos para montar a equação. Assim, montamos uma equação eponencial: Aplicando a definição de logaritmos tem-se: = (1 + %) = (1,0) c) Usando logaritmos determine o tempo necessário para o valor inicial de R$ ,00 triplicarmos. Referências IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol.. São Paulo: Atual, 004. LIMA, E.L. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, LIMA, E.L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, 001. SOUZA, J. R. de. Novo olhar: matemática: 1. ed. São Paulo: FTD, a 1 de agosto de 015 Página 10

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