EEL 7100 Matrizes de Rede e Fluxo de Potência

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1 EEL 7100 Matrizes de Rede e Fluxo de Potência Antonio Simões Costa UFSC - LABSPOT A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 1 / 26

2 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

3 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

4 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: Boa convergência em problemas de uxo de potência; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

5 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: Boa convergência em problemas de uxo de potência; Facilita a aplicação de esparsidade ) tempos de execução baixos; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

6 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: Boa convergência em problemas de uxo de potência; Facilita a aplicação de esparsidade ) tempos de execução baixos; Fluxo de Potência Desacoplado Rápido: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

7 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: Boa convergência em problemas de uxo de potência; Facilita a aplicação de esparsidade ) tempos de execução baixos; Fluxo de Potência Desacoplado Rápido: Aplicável a redes elétricas com alta relação X /R; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

8 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: Boa convergência em problemas de uxo de potência; Facilita a aplicação de esparsidade ) tempos de execução baixos; Fluxo de Potência Desacoplado Rápido: Aplicável a redes elétricas com alta relação X /R; Não requer refatoração da matriz de coe cientes; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

9 Introdução Fluxo de Potência: aplicativo mais utilizado no apoio à operação de SEPs; Método de Newton: Boa convergência em problemas de uxo de potência; Facilita a aplicação de esparsidade ) tempos de execução baixos; Fluxo de Potência Desacoplado Rápido: Aplicável a redes elétricas com alta relação X /R; Não requer refatoração da matriz de coe cientes; Maior número de iterações, porém menor tempo total de execução. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 26

10 Matrizes de Rede Modelos para Representação da Rede Modelo Barra-Ramo para redes elétricas; Conceito de barra seções de barra de subestações; Representação da conectividade de redes elétricas. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 26

11 Matrizes de Rede Con guração de Redes Elétricas A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 26

12 Matrizes de Rede Matriz de Incidência Ramos-Barras (A) - I Relaciona as tensões nos ramos às tensões nodais: V` = A V barra Dimensão de A : n` N, onde: n` : número de ramos da rede elétrica; N : número de barras da rede. A = [a ij ], tal que: 8 < a ij = : +1, se a barra j é a barra inic. do ramo i; 1, se a barra j é a barra nal. do ramo i; 0, se o ramo i não incidir na barra j. De nição requer orientação dos ramos; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 5 / 26

13 Matrizes de Rede Matriz de Incidência Ramos-Barras (A) - II Orientação dos ramos induzida pela forma como os dados de ramo são lidos nos programas aplicativos. Tipicamente: barra de origem do ramo, barra de destino do ramo, impedância série, susceptância shunt, etc. Exemplo: A = A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 6 / 26

14 Matrizes de Rede Matriz de Admitâncias Primitivas Matriz diagonal contendo as admitâncias que caracterizam cada ramo do grafo que modela a rede elétrica: 2 3 Y prim = 6 4 y`1 y` y`nl Elementos transversais ( shunt ), se existirem, devem ser considerados tanto em A quanto em Y prim. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 26

15 Matriz de Admitância das Barras - I Formulação nodal para a rede elétrica: J barra = Y barra V barra J barra : Vetor de injeções de correntes nas barras; Y barra : Matriz (N N) de impedância das barras; V barra : Vetor das tensões nodais. Mostra-se que: Y barra = A T Y prim A Cada ramo longitudinal i j da rede contribui para 4 posições em Y barra : (i, i), (i, j), (j, i) e (j, j); Um elemento transversal que conecta a barra i à terra contribui apenas para o elemento (i, i) de Y barra ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 26

16 Matriz de Admitância das Barras - II Consideração de elementos transversais ( shunts ) - I Criar barrra adicional (N + 1) para representar nó terra; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 26

17 Matriz de Admitância das Barras - II Consideração de elementos transversais ( shunts ) - I Criar barrra adicional (N + 1) para representar nó terra; Elementos transversais conectados entre barra terminal da LT e nó terra; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 26

18 Matriz de Admitância das Barras - II Consideração de elementos transversais ( shunts ) - I Criar barrra adicional (N + 1) para representar nó terra; Elementos transversais conectados entre barra terminal da LT e nó terra; Matrizes A e Y prim alteradas correspondentemente. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 26

19 Matriz de Admitância das Barras - III Consideração de elementos transversais ( shunts ) - II Alterações na matriz de incidência ramos-barras: A = A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 10 / 26

20 Matriz de Admitância das Barras - III Consideração de elementos transversais ( shunts ) - II Alterações na matriz de incidência ramos-barras: A = Alterações na matriz de admitâncias primitivas: Y prim = diagfy`1, y`2,..., y`nl, y shunt,5 /2, y shunt,5 /2g A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 10 / 26

21 Matriz de Admitância das Barras - III Consideração de elementos transversais ( shunts ) - II Alterações na matriz de incidência ramos-barras: A = Alterações na matriz de admitâncias primitivas: Y prim = diagfy`1, y`2,..., y`nl, y shunt,5 /2, y shunt,5 /2g Matriz Y barra é então calculada da forma usual (Y barra = A T Y prim A), e posteriormente a linha e a coluna (N + 1) é descartada. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 10 / 26

22 Matriz de Admitância das Barras - IV Mesmo se as impedâncias transversais forem desprezadas, os elementos diagonais de Y barra são não-nulos (supondo que todas as barras têm pelo menos um ramo longitudinal incidente); Um elemento fora da diagonal Y ij será não-nulo sse as barras i e j estão conectadas por um ramo da rede; Em sistemas de potência reais, a grande maioria dos elementos de Y barra é igual a zero, ou seja, Y barra é esparsa. em termos computacionais, é preferível não se utilizar a fórmula Y barra = A T Y prim A e sim utilizar um algoritmo que faz uso das observações acima sobre a estrutura de Y barra. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 11 / 26

23 Algoritmo para montar Ybarra (I) Dados: número de ramos, n`; Admitância série complexa do ramo `, y série (`), ` = 1, n`; Susceptância transversal total do ramo ` (complexa), y shunt (`), ` = 1, n`; Lista de barras iniciais e nais dos ramos, na(`) e nb(`), ` = 1, n`. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 12 / 26

24 Algoritmo para montar Ybarra (II) Y barra (:, :) = 0 para ` = 1 : n` i = na(`) j = nb(`) Y barra (i, i) = Y barra (i, i) + y série (`) + y shunt (`)/2 Y barra (j, j) = Y barra (j, j) + y série (`) + y shunt (`)/2 Y barra (i, j) = Y barra (i, j) y série (`) Y barra (j, i) = Y barra (j, i) y série (`) m A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 26

25 Fluxo de Potência (I) Potências ativa e reativa injetadas nas barras: o que fornece: P i (V, δ) + jq i (V, δ) = V i I i = V i N (Y barra ) ik V k k=1 P i (V, δ) = V i k ɛω i (G ik cos δ ik +B ik sen δ ik )V k Q i (V, δ) = V i k ɛω i (G ik sen δ ik B ik cos δ ik )V k onde: δ ik = δi δ k (Y barra ) ik = Gik + j B ik A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 14 / 26

26 Fluxo de Potência (II) Potências ativas e/ou reativas nas barras são especi cadas; Objetivo do FP: calcular as tensões complexas nas barras para que os resíduos de potência nas barras sejam iguais a zero. Variáveis de barra: P i = P espec i P i (V, δ) Q i = Q Espec i Q i (V, δ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 15 / 26

27 Fluxo de Potência (III) Portanto, temos: 4 variáveis por barra e 2 equações para cada barra. Duas das variáveis devem ser especi cadas para que a solução do sistema seja determinada; Além disso, P i não pode ser especi cada em todas as barras, pois as perdas de transmissão são desconhecidas. Classi cação das barras: Barras PQ: P i e Q i são especi cados; Barras PV : P i e V i são especi cados; Barras V δ, ou de folga: V i e δ i são especi cados. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 26

28 Equações do Problema de Fluxo de Potência Equações para as barras PQ: Equações para as barras PV : P i = P espec i P i (V, δ) = 0 Q i = Q espec i Q i (V, δ) = 0 P i = P espec i P i (V, δ) = 0 Nenhuma equação é necessária para a barra de folga. O método de Newton-Raphson é utilizado para resolver o sistema de equações acima. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 26

29 Método de Newton-Raphson - I Fundamentos - Solução de equação não linear Deseja-se resolver a seguinte equação, onde f é não-linear e x é escalar: f (x) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 18 / 26

30 Método de Newton-Raphson - I Fundamentos - Solução de equação não linear Deseja-se resolver a seguinte equação, onde f é não-linear e x é escalar: f (x) = 0 Função f é expandida em série de Taylor em torno de um ponto x k e posteriormente truncada no termo de 1a. ordem: f (x) f (x k ) + f 0 (x k ) x A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 18 / 26

31 Método de Newton-Raphson - I Fundamentos - Solução de equação não linear Deseja-se resolver a seguinte equação, onde f é não-linear e x é escalar: f (x) = 0 Função f é expandida em série de Taylor em torno de um ponto x k e posteriormente truncada no termo de 1a. ordem: f (x) f (x k ) + f 0 (x k ) x Solução iterativa: x = f (x k ) / f 0 (x k ), x k+1 = x k + x A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 18 / 26

32 Método de Newton-Raphson - II Aplicação à solução de sistemas genéricos de equações não-lineares Deseja-se agora resolver um sistema de n equações não-lineares a n incógnitas: f(x) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 19 / 26

33 Método de Newton-Raphson - II Aplicação à solução de sistemas genéricos de equações não-lineares Deseja-se agora resolver um sistema de n equações não-lineares a n incógnitas: f(x) = 0 A solução pelo método de Newton-Raphson fornece: x k+1 = x k + x, F(x k ) x = f(x k ) onde F(x k ) = h fi x j i x=xk é a matriz Jacobiana de f(x). A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 19 / 26

34 Método de Newton-Raphson - III Solução de sistemas de equações não-lineares em 2 conjuntos de incógnitas Suponha que agora têm-se dois conjuntos de equações não-lineares, funções de dois conjuntos de incóginitas de natureza distinta: f 1 (x 1, x 2 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 20 / 26

35 Método de Newton-Raphson - III Solução de sistemas de equações não-lineares em 2 conjuntos de incógnitas Suponha que agora têm-se dois conjuntos de equações não-lineares, funções de dois conjuntos de incóginitas de natureza distinta: f 1 (x 1, x 2 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 Neste caso, a aplicação do método de N-R fornece " # F 11 (x k 1, xk 2 ) F 12(x k 1, xk 2 ) " x1 F 21 (x k 1, xk 2 ) F 22(x k 1, xk 2 ) = x 2 f 1 (x k 1, xk 2 ) f 2 (x k 1, xk 2 ) # onde F ij (x k 1, xk 2 ) = f i (x 1, x 2 ) x j x1 =x k 1,x 2=x k 2 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 20 / 26

36 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - I Nosso objetivo é resolver o sistema de equações não-lineares composto por A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 26

37 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - I Nosso objetivo é resolver o sistema de equações não-lineares composto por Equações para as barras PQ e PV : P i = P espec i P i (V, δ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 26

38 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - I Nosso objetivo é resolver o sistema de equações não-lineares composto por Equações para as barras PQ e PV : Equações para as barras PQ: P i = P espec i P i (V, δ) = 0 Q i = Q espec i Q i (V, δ) = 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 26

39 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - I Nosso objetivo é resolver o sistema de equações não-lineares composto por Equações para as barras PQ e PV : Equações para as barras PQ: P i = P espec i P i (V, δ) = 0 Q i = Q espec i Q i (V, δ) = 0 Portanto: Equações de pot. ativa! f 1 = 0 Equações de pot. reativa! f 2 = 0 δ, V! x 1, x 2 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 26

40 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - II Consequentemente, o sistema de equações do método de N-R " # F11 F 12 x1 f = 1 (x k 1, xk 2 ) F 21 F 22 x 2 f 2 (x k 1, xk 2 ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 26

41 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - II Consequentemente, o sistema de equações do método de N-R " # F11 F 12 x1 f = 1 (x k 1, xk 2 ) F 21 F 22 x 2 f 2 (x k 1, xk 2 ) pode ser re-escrito como H N δpv e PQ J L ( V/V) PQ = PPV e PQ Q PQ onde H = P PV e PQ δ J = Q PQ δ N = V P PV e PQ V L = V Q PQ V A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 26

42 Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência - II Consequentemente, o sistema de equações do método de N-R " # F11 F 12 x1 f = 1 (x k 1, xk 2 ) F 21 F 22 x 2 f 2 (x k 1, xk 2 ) pode ser re-escrito como H N δpv e PQ J L ( V/V) PQ = PPV e PQ Q PQ onde H = P PV e PQ δ N = V P PV e PQ V J = Q PQ δ L = V Q PQ V Observar: (i) Sinal do vetor independente; (ii) V/V. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 22 / 26

43 Cálculo dos Elementos de H, J, N e L - I Submatriz H : H ii = P i / δ i = Vi 2 B ii k ɛω i V i V k (G ik sen δ ik B ik cos δ ik ) {z } Q calc i H ik = P i / δ k = V i V k (G ik sen δ ik B ik cos δ ik ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 23 / 26

44 Cálculo dos Elementos de H, J, N e L - I Submatriz H : H ii = P i / δ i = Vi 2 B ii k ɛω i V i V k (G ik sen δ ik B ik cos δ ik ) {z } Q calc i Submatriz J : J ii = Q i / δ i = Vi 2 G ii + H ik = P i / δ k = V i V k (G ik sen δ ik B ik cos δ ik ) k ɛω i V i V k (G ik cos δ ik + B ik sen δ ik ) {z } P calc i J ik = Q i / δ k = V i V k (G ik cos δ ik + B ik sen δ ik ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 23 / 26

45 Cálculo dos Elementos de H, J, N e L - II Submatriz N : N ii = V i ( P i / V i ) = Pi calc + Vi 2 G ii N ik = V k ( P i / V k ) = J ik A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 24 / 26

46 Cálculo dos Elementos de H, J, N e L - II Submatriz N : Submatriz L : N ii = V i ( P i / V i ) = Pi calc + Vi 2 G ii N ik = V k ( P i / V k ) = J ik L ii = V i ( Q i / V i ) = Qi calc Vi 2 B ii L ik = V k ( Q k / V j ) = H ik A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 24 / 26

47 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (I) 1 Inicializar contador k = 0 e sugerir valores iniciais para os módulos e ângulos das tensões nodais, V 0 e δ 0 ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 26

48 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (I) 1 Inicializar contador k = 0 e sugerir valores iniciais para os módulos e ângulos das tensões nodais, V 0 e δ 0 ; 2 Calcular os resíduos de potência ativa para as barras PV e PQ e de potência reativa para as barras PQ : P i = P espec i Q i = Q espec i P calc Q calc i (δ (k), V (k) ) i (δ (k), V (k) ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 26

49 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (I) 1 Inicializar contador k = 0 e sugerir valores iniciais para os módulos e ângulos das tensões nodais, V 0 e δ 0 ; 2 Calcular os resíduos de potência ativa para as barras PV e PQ e de potência reativa para as barras PQ : P i = P espec i Q i = Q espec i 3 Veri car convergência: se P calc Q calc i (δ (k), V (k) ) i (δ (k), V (k) ) P i > ε Q i > ε fazer k = k + 1 e ir para passo 4. Se não, a convergência foi alcançada: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 26

50 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (I) 1 Inicializar contador k = 0 e sugerir valores iniciais para os módulos e ângulos das tensões nodais, V 0 e δ 0 ; 2 Calcular os resíduos de potência ativa para as barras PV e PQ e de potência reativa para as barras PQ : P i = P espec i Q i = Q espec i 3 Veri car convergência: se P calc Q calc i (δ (k), V (k) ) i (δ (k), V (k) ) P i > ε Q i > ε fazer k = k + 1 e ir para passo 4. Se não, a convergência foi alcançada: Calcular uxos de potência nos ramos; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 26

51 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (I) 1 Inicializar contador k = 0 e sugerir valores iniciais para os módulos e ângulos das tensões nodais, V 0 e δ 0 ; 2 Calcular os resíduos de potência ativa para as barras PV e PQ e de potência reativa para as barras PQ : P i = P espec i Q i = Q espec i 3 Veri car convergência: se P calc Q calc i (δ (k), V (k) ) i (δ (k), V (k) ) P i > ε Q i > ε fazer k = k + 1 e ir para passo 4. Se não, a convergência foi alcançada: Calcular uxos de potência nos ramos; Imprimir Resultados; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 26

52 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (I) 1 Inicializar contador k = 0 e sugerir valores iniciais para os módulos e ângulos das tensões nodais, V 0 e δ 0 ; 2 Calcular os resíduos de potência ativa para as barras PV e PQ e de potência reativa para as barras PQ : P i = P espec i Q i = Q espec i 3 Veri car convergência: se P calc Q calc i (δ (k), V (k) ) i (δ (k), V (k) ) P i > ε Q i > ε fazer k = k + 1 e ir para passo 4. Se não, a convergência foi alcançada: Calcular uxos de potência nos ramos; Imprimir Resultados; FIM. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 25 / 26

53 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (II) 4. Formar a matriz Jacobiana H J N L A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 26 / 26

54 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (II) 4. Formar a matriz Jacobiana H J N L 5. Resolver o sistema linear H N δpv e PQ J L ( V/V) PQ = PPV e PQ Q PQ A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 26 / 26

55 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (II) 4. Formar a matriz Jacobiana H J N L 5. Resolver o sistema linear H N δpv e PQ J L ( V/V) PQ = PPV e PQ Q PQ 6. Atualizar as tensões nodais: δ (k) = δ (k 1) + δ V (k) = V (k 1) + V A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 26 / 26

56 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (II) 4. Formar a matriz Jacobiana H J N L 5. Resolver o sistema linear H N δpv e PQ J L ( V/V) PQ = PPV e PQ Q PQ 6. Atualizar as tensões nodais: δ (k) = δ (k 1) + δ V (k) = V (k 1) + V 7. Para as barras PV, veri car os limites de geração de potência reativa: se Qi calc está fora dos limites, xar Q i no limite violado e tratar a barra i como barra PQ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 26 / 26

57 Algoritmo do Método de Newton-Raphson (II) 4. Formar a matriz Jacobiana H J N L 5. Resolver o sistema linear H N δpv e PQ J L ( V/V) PQ = PPV e PQ Q PQ 6. Atualizar as tensões nodais: δ (k) = δ (k 1) + δ V (k) = V (k 1) + V 7. Para as barras PV, veri car os limites de geração de potência reativa: se Qi calc está fora dos limites, xar Q i no limite violado e tratar a barra i como barra PQ; 8. Retornar ao passo 2. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 26 / 26

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