y x f x y y x y x a x b

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1 50 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconecida e algumas de suas derivadas. Se a função é de uma só variável, então a equação diferencial se cama equação diferencial ordinária (EDO). Uma equação diferencial ordinária que envolve derivadas até a ordem n é camada de equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n e pode ser escrita na forma: ( n) ( n) f a b ( ) (,, '( ),..., ( )), () Obviamente, uma EDO de ordem, de interesse neste tópico para o desenvolvimento de métodos numéricos à sua resolução é definida por: As EDO s ocorrem com muita frequência na descrição de fenômenos da natureza e em problemas de engenaria. As equações que estabelecem relações entre uma variável que depende de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas (parciais) são denominadas de equações diferenciais parciais. Eemplos: Equação diferencial de ª ordem e lineares ' '( ) f (, ), a b () Equação diferencial de ª ordem e lineares '' Equação diferencial de ª ordem e não-lineares '' ( )' 0 Equação diferencial parcial u u 0, com u u(, ) A solução de () é qualquer função = F() que é definida em [a,b] e tem n derivadas neste intervalo e que satisfaz (), ou sea, é uma função da variável independente que satisfaz a equação. Uma equação diferencial possui uma família de soluções.

2 5 Eemplo: ) ', tem por solução a família de funções : ae, a R ) ''' 0, tem por solução a família de funções : p( ) Como uma equação diferencial não possui solução única, então para individualizar uma solução tem-se que impor condições suplementares. Em geral uma equação de ordem n requer n condições adicionais a fim de ter uma única solução. Então, dada uma equação de ordem n, se a função, assim como suas derivadas até ordem n- são especificadas em um mesmo ponto, tem-se um Problema de Valor Inicial (PVI). Eemplos: '' ' ) (0 ), PVI de ordem ; ' (0 ) 0 ) ', PVI de ordem. (0 ) OBS: Dada uma equção diferencial de ordem n, n, se as condições fornecidas para a busca da solução única não são dadas num mesmo ponto temos um problema de valor de contorno (PVC). Problema de Valor Inicial (P.V.I.) Como nem sempre é possível obter a solução numérica de uma EDO, pode-se usar métodos numéricos para resolvê-la. Trataremos aqui de métodos numéricos para se conseguir os valores de () em pontos distintos daqueles das condições iniciais associadas ao PVI. Um problema de valor inicial (P.V.I.) de ª ordem tem a forma em que a b, R. ' f (, ) ( 0) 0 A solução deste problema é uma função = () contínua e derivável que satisfaz a equação e passa pelo ponto (0,0). Esse problema será resolvido numericamente. O primeiro passo é discretizar o intervalo [a,b], isto é, subdividir o intervalo [a,b] em n subintervalos, definido pelos ponto igualmente espaçados: sendo, 0 b a, 0,...,n e 0 a e n b. n ()

3 5 O conunto I {,..., } obtido desta forma denomina-se de rede ou mala de 0 n [a,b]. A solução numérica n() é a função linear por partes cuo gráfico é uma poligonal com vértices nos pontos (,), em que deve ser calculado utilizando algum método numérico que será abordado a seguir. Solução eata Erro Solução Numérica 0 n Métodos de Passo Simples Definição: Um método para resolver um P.V.I. é denominado de passo simples se cada aproimação k+ é calculado somente a partir da aproimação anterior k. Pode-se formalizá-lo como: k+ = k +.(k,k,) ) Método de Euler Sea o PVI de ordem : ' ( f ( ), ) 0 o () Desea-se determinar aproimações,..., n para as soluções eatas (),..., (n). Procurando : Como não se conece () toma-se como uma aproimação para (). Traçase a tangente T à curva () no ponto (0,(0)) cua equação é dada por: ( ) ( ) '( )( ).

4 5 ( ) = e ( 0) = 0 0 ( 0 ) Fazendo-se = e lembrando que (0) = 0, '( 0 ) f ( 0,( 0 )), () = e, tem-se: 0 f ( 0, 0). O erro cometido na aproimação de () por é ( ) e ou sea a diferença entre a solução numérica e a solução eata. Procurando : Faz-se a mesma coisa a partir de e obtem-se a fórmula: f (, ) Cuo erro é dado por: e ( ). E assim sucessivamente obtem-se: Cuo erro é dado por: f (, ), 0,,..., n e ( ), 0,,...,n Usando Série de Talor: Modo Supõe uma epansão da solução () em série de Talor em torno do ponto : q ( q) q q ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( )... ( ) E ( )!! q!

5 54 Truncando-se a série no termo de primeiro grau e desprezando o erro tem-se: ( ) ( ) ' ( ) Fazendo-se =+ tem-se: ( ) ( ) ' ( ). Logo: f (, ), 0,,...,n OBS: O método de Euler é um método de Série de Talor de ordem. Modo : Conece-se do cálculo o desenvolvimento em Série de Talor da função (), que supõe-se suficientemente diferenciável: q ( q) q q ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( )... ( ) E ( )!! q! Como =f(,) tem-se: em que ( ) ( ) (,, ) (,, ) f (, ). f (, ).... f (, ) E q! q ' ( q) q é o acréscimo eato de () quando é aumentado de. Cama-se de (,,) de função incremento. Faz-se uma aproimação para (,, ): q ' ( q ) (,, ) f (, ).f (, )....f (, ) (4) q! Toma-se q =, e tem-se: (,, ) f (, ) Estabelece-se então o Método de Euler f (, ), 0,,..., n Logo, o valor da função no passo + é dado em função do valor da função no ponto e do valor de f no ponto (, ). OBS: O método de Euler é um método de Série de Talor de ordem.

6 55 Eemplo: Usando o Método de Euler, encontre uma solução aproimada para o P.V.I.: d d ; (0) no intervalo [0,], sobre 5 subintervalos igualmente espaçados. Tabela de soluções obtidas pelo método de Euler: ' 0,0,0 0,,, 0,,,4 0,,6,66 0,4,58,98 0,5,7, 0,6,94,54 0,7,974,8974 0,8,487,87 0,9,858,758,0,874 4,874 Mudando a variação no incremento de para = 0.5, a partir de 0 =, nos leva à:,5,0,5 5,854 0,4548 8,689 A solução eata da E.D.O. é ( ) e, e pode-se determinar os valores discretos de, confrontando as soluções: 0 0,5,0,5,0,5 (Euler),0,70,874 5,854 0,4548 8,689 (Eata),0,7974,466 6,464,778 8,8650

7 56 Observação: Notamos que os valores encontrados através do método de Euler estão muito distantes dos verdadeiros valores. Isto ocorre, pois, o erro cometido no O intervalo é carregado para o O intervalo. No O intervalo, carregamos o erro do O e o O intervalos e assim por diante. Solução para este problema: Utilizar mais termos da epansão em série de Talor acarretaria numa melor aproimação de (). A aproimação de ordem feita na epansão de Talor para definir o método de Euler também pode ser estendida para ordens maiores. Esta estratégia será usada nos métodos definidos a seguir. Teorema : Limitante para o erro cometido no método de Euler Sea n a solução aproimada do PVI () obtida pelo Método de Euler. Se a solução eata () de () possui uma derivada de segunda ordem no intervalo [0, b], e se nesse intervalo as desigualdades " (, ) L e ( ) Y f forem satisfeitas para constantes positivas L e Y limitadas, o erro r ) do método de Euler, num ponto n 0 n é limitado como segue: Y ( n 0 ) L r n [ e ]. L Observação: Este teorema mostra que o erro tende a zero quando 0. n n ( n Eemplo: Determinar um limite superior para o erro de truncamento, decorrente da aplicação do método de Euler à solução da equação: ', (0), 0. Solução: df Neste caso, f(, ) = ; e L =. d Uma vez que () = e, temos () = e e "( ) e para 0. Para determinar um limite para o erro em =, temos n 0 e Y = e, assim e (0) e r() ( e ) ( e ), 4 () r(), 4. Eercícios: '. Sea o P.V.I.. Usando = 0, e n = 5, aplique o método de Euler para (0) construir uma solução aproimada. Avalie o erro cometido.. Usando o Método de Euler, encontre uma solução aproimada para o P.V.I. / '. (), [,] e = 0,

8 57 ) Métodos de Runge-Kutta O algoritmo de Talor de ordem elevada apresenta a grande dificuldade de eigir o cálculo, muitas vezes tedioso de f, f,..., f (q-), o que o torna às vezes até impraticável, mesmo no caso de uma única equação diferencial. Por esta razão estes algoritmos não tem tido boa aceitação. É possível simular o cálculo desta epansão de Talor através de cálculos que envolvam somente a própria f. Este método foi introduzido por Runge e Kutta e leva este nome. O método de Runge-Kutta de s estágios é definido por: k = f (, ) k = f (+c., +.a.k ) k s = f (+c s., +.(a s.k + a s.k + +a s,s-.k s-)) (5) com c i ai. i Define-se RK(,,) por: RK(k,k,) = b.k + b.k bs.ks Deve-se determinar os coeficientes ci, ai, bi. n+ = n +.RK (6) Definição: O método definido por (5) tem ordem q se q é o maior inteiro para o qual se tem: (,,) = (+) () =.RK(,,) + o( q ) (7) Pelo algoritmo de Talor, tem-se (,,) = (+) () =.T(,,) + o( q ) (8) T(,,) = T = q ' ( q) f (, ). f (, ).... f (, ) (9) q! Para f suficientemente diferenciável, (7) terá ordem q se as séries de Talor para (n+) e n+ coincidirem até o termo de q, inclusive, isto é, T(,,) - RK(,,) = o( q ) (0)

9 58.) Métodos de Runge-Kutta de ordem Considere s =, isto é, estágios em (5). Tem-se: Então k f (, ) k f ( c.,. a. k) n+ = n +.(b.k+b.k) () Para obter-se os coeficientes, igualam-se as epressões de RK e T. Desenvolvendo k = f(+c, +ak) por Série de Talor para funções de duas variáveis, tem-se: k f c f a k f o..... ( ) f c f a f f o..... ( ) Por outro lado, T f.( f f. f ) o( ) Deve-se ter T - RK = o( ), então, f.( f f. f ) b. k b.( f c.. f. a. f. f ) o ( ) f.( f f. f ) b. f b.( f c.. f. a. f. f ) o ( ) f ( b b ) f.( b. c. ) f. f.( b.. a) o( ) Considerando-se que o( ) tende a zero quando tende a zero, então temos: b b 0.( b. c) 0.( b. a) 0 b b 0 b. c 0 b. a 0 De onde vem que:

10 59 b b c a. b As escolas mais comuns são: a) b = b 0 c a a epressão () fornece: n n. f ( n, n. f ( n, n)) conecido por Método de Euler Modificado. Eemplo: Utilizando o método de Euler Melorado, calcule o valor do P.V.I. usando = 0, e [0;0,6]. (0) '

11 60 b) Quando consideramos: b b c a a epressão () fornece: n n. f ( n, n) f ( n, n. f ( n, n)) conecido por Método de Euler Melorado ou Aperfeiçoado..) Métodos de Runge-Kutta de ordem Considere s =, isto é, estágios em (6). Tem-se que: Então k f (, ) k f ( c.,. a. k) k f ( c.,.( a. k a. k) n+ = n +.(b.k+b.k+b.k) () Para obter-se os coeficientes, igualam-se as epressões de RK e T considerandose aproimação de ordem nas epressões. Considerando-se (7) com (8) e desenvolvendo-se k e k por Série de Talor para funções de duas ou mais variáveis, tem-se: Comparando-se (7) com (8) e considerando que o( ) tende a zero quando tende a zero, isto é, a nulidade das epressões que acompanam as potências de até ordem, obtemos as condições de ordem, dadas a seguir: b b b ab ab () ab ab bbb 6 Considerando em () a e a como parâmetros livres, determinamos de maneira única os demais parâmetros, obtendo a família de métodos de Runge-Kutta de estágios com ordem. Temos portanto 4 equações a 6 incógnitas; atribuindo valores a variáveis determinamos as outras 4. Novamente temos infinitos métodos de Runge-Kutta de estágios de ordem.

12 6 Também nesse caso, não conseguimos um método de estágios e de ordem 4 a menos que se impona condições sobre f(,). Fazendo-se b 4 ; b 0 b ; a a a.0 ( ). 0 ; a satisfaz a igualdade. 4 Impondo que a temos b b. 4 6 Temos: n n ( n, n, ) [ bk bk bk ] = [ b f ( n, n ) b f ( n a, n [( a b ) k bk ]) [ 4 f (, ) f (, f (, 0 f ( n n n n n n n n n n, )]) Outros métodos de RK de ordem podem ser definidos a partir das equações (), como é o caso do Método Nströn de ordem, desenvolvido quando consideram-se b b e a a em (): n n [ f ( n, n ( n, n)) ( n, n ( n, n ( n, n))]. 4 f 8 f f f f 8.) Método de Runge-Kutta de ordem 4 Considere s = 4, isto é, o desenvolvimento do método RK para 4 estágios. De (6) tem-se que: Tem-se que: k f (, ) k f ( c.,. a. k) k f ( c.,.( a. k a. k) k4 f ( c4.,.( a4. k a4. k a4. k) Então n+ = n +.(b.k+b.k+b.k+b4.k4) (4) Para obter-se os coeficientes, igualam-se as epressões de RK e T considerandose aproimação de ordem 4 nas epressões.

13 6 Para obter-se todos os coeficientes para o método RK, consideram-se as equações (7) e (8) desenvolvidas até a ordem 4. Desenvolvendo-se k, k, k4 por Série de Talor para funções de duas ou mais variáveis e igualando-se as epressões de RK e T. Considerando-se de (6) que: a c a c a a c a a tem-se o seguinte sistema a ser resolvido para a determinação dos coeficientes do método: b b b b4 c. b c. b c4. b4 c. b c. b c4. b4 c. b c. b c4. b4 (5) 4 c. a. b c. a4 c. a4 6 c. c. a. b b4.( c. a4 c. a4) 8 c. a. b b4.( c. a4 c. a4) c. a4. a4. b4 4 resultante da equação T - RK = o( 4 ). (4): Resolvendo-se o sistema (5) obtemos os seguintes valores para os coeficientes de b = /6; b = /; b = / e b4 = /6; c = a = /; c = /; a =0; a = /; c4 = ; a4 = 0; a4 = 0 e a4 =. O Método de Runge-Kutta de ordem 4 clássico é então definido por: n n. k. k. k k4 ; 6 em que k, k, k, k4 são dados por:

14 6 k f ( n, n) k f ( n, n k) k f ( n, n k) k4 f ( n, n k)

15 64 Eercícios Calcule (0. 4) usando o Método de Euler com =0.0 para o PVI: '. (0) Calcule () para '=4 ; (0)=0 aplicando o Método de Euler com =0.. Sea o PVI: '. () Estime (.) pelo Método de Euler com =0., =0.0 e = Dado o PVI: usando a) o Método de Euler. ' 0.04, estime o valor de (), com =0.5, =0.5 e =0. (0) 000 b) o Método de Euler Melorado (Runge-Kutta de a ordem). c) o Método de Runge-Kutta de ordem 4. 5 Dado o PVI: com =0.5 e =0.. ' ( ) (0), obtena () e () aplicando o Método de Heun 6 Dado o PVI abaio, considere =0.5, =0.5, =0.5 e =0.. ' 4 (0) a) Encontre uma aproimação para (5) usando o Método de Euler Melorado, para cada. b) Compare seus resultados com a solução eata, dada por ()= Justifique. c) Você espera o mesmo resultado do item (b) usando o Método de Euler? Justifique. 7 Dado o PVI: ' cos( ), estime o valor de (), com =0.5, =0.5 e =0., (0) usando o Método de Euler, de Euler Modificado (Runge-Kutta de a ordem), e de Heun (Runge-Kutta de a ordem). 8 Dado o PVI '= ; (0)=0, determine uma aproimação para (6). Resolva por Runge-Kutta de a ordem com = e, por Runge-Kutta de 4 a ordem com =4. 9 Dado o PVI abaio, considere =0. e 0..

16 65 ' ( ) () 0.5 a) Encontre uma aproimação para (.6) usando o Método de Euler Modificado, para cada. b) Encontre uma aproimação para (.6) usando o Método de Runge-Kutta de 4 a ordem, para cada. c) Compare os resultados obtidos com a solução eata, dada por ()= Considere o PVI: ' (0) a) Encontre a solução aproimada usando o Método de Euler com =0.5 e =0.5, considerando [0,]. b) Idem, usando Euler Melorado. c) Sabendo que a solução analítica do problema é ()= e, coloque num mesmo gráfico a solução analítica e as soluções numéricas encontradas nos itens anteriores. Compare seus resultados. Considere o PVI: '. (0) a) Calcule aproimações para (), usando o Método de Euler com = 0. e =0.5. b) Repita o item (a), usando agora o Método de Euler Modificado. Calcule (0.) para '=-; (0) =, aplicando o Método de Heun com = 0. (Solução analítica: ()=e - ). Calcule () para '=- + + ; (0) =, aplicando o Método de Runge-Kutta de a ordem com =0. (Solução analítica: ()=e ). 4 Calcule () para '=5 4 ; (0)=0, aplicando o Método de Euler e Euler Melorado com =0.. Compare os resultados obtidos com a solução eata.