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1 CAPÍTULO1 EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 1.1 Introdução Neste capítulo estamos interessados em resolver numericamente a equação f(x) = 0, onde f é uma função arbitrária. Quando escrevemos resolver numericamente, entendemos determinar uma aproximação para a solução de f(x) = 0. Não existem métodos analíticos gerais para resolver esse problema de forma explícita, assim os métodos numéricos são as únicas ferramentas disponíveis. Os métodos que apresentaremos serão: Método da bissecção; Método das aproximações sucessivas (ponto fixo); Método de Newton-Raphson; Método da secante. Uma solução de f(x) = 0 é também chamada de raiz de f. Dizemos que α é uma raiz de f(x) de multiplicidade m > 0, se f(α) = 0, f (α) = 0,..., f (m 1) (α) = 0, f (m) (α) = 0. Em todo capítulo, vamos supor que as raízes são simples, a menos que diga o contrário.

2 1. Método da Bissecção 6 1. Método da Bissecção Recordemos do teorema visto em Cálculo I: Teorema 1..1 (Teorema do Valor Intermediário). Seja f : [a, b] R contínua tal que f(a) < 0 < f(b). Então, existe c (a, b) tal que f(c) = 0. Desta forma, o Teorema do Valor Intermediário, garante a existência de uma solução f(x) = 0,nointervalo (a, b)desdeque f : [a, b] Rsejacontínuaesatisfazendo f(a)f(b) < 0. Nessas condições, o método da bissecção, consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio, obtendo subintervalos [a, m] e [m, b] e considerar como intervalo de busca o subintervalo em que f tem sinais opostos nos extremos. Em seguida, repete-se o procedimento. Após um número finito de subdivisões ou encontramos uma solução ou sabemos que a rais encontra-se em algum subintervalo [a k, b k ]. Consideremos f : [a, b] R contínua tal que f(a)f(b) < 0. Seja m o ponto médio de [a, b]. Note que se f(a)f(m) < 0, então o teorema do valor intermediário garante que a raiz se encontra no intervalo [a, m], assim tomamos b = m. Se f(a)f(m) > 0, então, multiplicando essa equação por f(a)f(b)(< 0), teremos, f(a)f(m)f(a)f(b) = [f(a)] f(m)f(b) < 0, isto é, f(m)f(b) < 0. Portanto, a raiz se encontra no intervalo [m, b] e tomamos a = m. No método da bissecção, esse é o teste para decidir quais dos subintervalos devemos considerar no próximo passo. Antes de aplicarmos o método, veremos como ter uma estimativa em qual intervalo estará a raiz e em qual momento devemos parar o procedimento.

3 1. Método da Bissecção 7 Para ter boas aproximações para a(s) raiz(raízes), a análise gráfica da função f(x) é fundamental. Para tanto, é suficiente utilizar um dos seguintes processos: esboçar o gráfico da função f(x) e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo Ox; escreva f(x) = g(x) h(x), esboce o gráfico das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano e encontre α tal que g(α) = h(α), pois e se g(α) = h(α), então f(α) = g(α) h(α) = 0; usar programas que traçam gráficos de funções. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. O método da bissecção geral uma sequência (x k ) que converge para a raiz c de f. que Suponhamos que f(α) = 0 e queremos saber qual o número mínimo k de iterações x k α < ε, para ε suficientemente pequeno. No método da bissecção, o número mínimo de iterações para atingirmos com precisão ε é dado por ( ) b a ln ε k >. ln() ( ) x Exemplo Determinar uma aproximação da raiz para a função f(x) = sin(x) [ ] 1 no intervalo,.

4 1. Método da Bissecção 8 k a k b k m k f(a k )f(m k ) Exemplo 1... Determinar uma aproximação da raiz para a função f(x) = x 3 9x + 3 no intervalo (0, 1) com precisão ε = k a k b k m k f(a k )f(m k )

5 1.3 O método do ponto fixo 9 Exercício Determinar uma aproximação da raiz para a função f(x) = x ln(x) 1 com precisão ε = Exercício 1... Determine uma aproximação para a solução de f(x) = 0 nos seguintes casos: (a) (x + 1) sin(x) = 0 no intervalo [, 4] com precisão de (b) (x + 1) cos(x) = 0 no intervalo [0, ] com precisão de (c) x 3 x x + 1 = 0 no intervalo [, 3] com precisão de 10 5 Exercício Determine em que pontos do primeiro quadrante os gráficos das funções f e g se cruzam, onde f(x) = x e g(x) = tan(x). Exercício A equação f(x) = exp(x) 3x = 0 tem uma raiz no intervalo [0, 1]. (a) Utilizando seis aplicações do método da Bissecção, encontre essa raiz e determine sua precisão. (b) Quantas aplicações do método seriam necessárias para avaliar a raiz com precisão de 10 4? 1.3 O método do ponto fixo Dizemos que c é um ponto fixo para f, se f(c) = c. Podemos transformar o problema f(x) = 0 em um problema de determinar um ponto fixo. Com efeito, se f(x) = 0, então x + f(x) = x e assim, tomando φ(x) = x + f(x), ficamos com o problema de ponto fixo φ(x) = x. Por outro lado, se temos φ(x) = x, então φ(x) x = 0. Logo, tomando f(x) = φ(x) x ficamos com o problema f(x) = 0. Portanto, os problemas de determinar raiz e determinar ponto fixo são equivalentes. Definição Um método iterativo estacionário de passo s 1 é um método que gera uma sequência (x n ) dada por Se φ muda a cada iteração, isto é, o método é dito não-estacionário. x n+1 = φ(x n s+1, x n s+,..., x n ). x n+1 = φ n+1 (x n s+1, x n s+,..., x n )

6 1.3 O método do ponto fixo 10 Um método estacionário de passo 1 é da forma x n+1 = φ(x n ), n 0. Osmétodositerativosgeramumasequência infinita (x k )queconverge paraasolução, por isso, há a necessidade de critérios de parada. Critérios de Parada: Dada uma tolerância ε > 0, os seguintes critérios são comumente utilizados: 1. f(x k ) < ε;. x k+1 x k < ε; 3. x k+1 x k x k+1 < ε; 4. o método pára após N iterações. O método das aproximações sucessivas ou o método do ponto fixo gera uma sequência (x n ) utilizando a seguinte lei x n+1 = φ(x n ), n 0, onde a aproximação inicial x 0 é dada. Quando saberemos que essa sequência converge? O teorema a seguir, nos dará essa resposta. Teorema Seja φ : [a, b] [a, b] contínua com φ contínua em (a, b). Suponhamos que φ (x) M < 1, para algum M 0 e todo x (a, b). Então, para x 0 (a, b), tem-se: (a) x n+1 = φ(x n ) [a, b], para todo n 0; (b) lim n x n = c, para algum c [a, b]; (c) c é a única solução de x = φ(x) em [a, b]. Exemplo A equação x 3 x 5 = 0 pode ser reescrita como x = x 3 5 ou x = 3 x + 5 ou ainda x = 5. A forma da equação a ser escolhida depende da raiz a ser localizada e x 1 se a função satisfaz às condições do Teorema Exemplo A equação ln x x + = 0 pode ser escrita como nas duas formas abaixo x = φ(x) = ln x +,

7 1.3 O método do ponto fixo 11 x = φ 1 (x) = e x. Observe o gráfico de f(x) = ln x x + : Assim vemos que ln x x + = 0 nos intervalos (0, 1) e (3, 4). Note que φ (x) = 1 x, então φ (x) < 1 em (3, 4); φ 1 (x) = ex, então φ 1 (x) < 1 em (0, 1). (a) φ(x) = ln(x) +, x 0 = 1 (b) φ 1 (x) = e x, x 0 =.5 Veremos a seguir as tabelas que é uma maneira prática de utilizar o método das aproximações sucessivas. Nosso critério de parada será x k+1 x k < ε.

8 1.3 O método do ponto fixo 1 φ(x) = ln(x) +, ε = 10 4 k x k x k+1 = φ(x k ) x k+1 x k φ 1 (x) = e x, ε = 10 5 k x k x k+1 = φ(x k ) x k+1 x k Exercício Descubra onde y = x 3 x + 1 intercepta a parábola y = x e determine a(s) interseção(ções) utilizando o método das aproximações sucessivas e da secante. Exercício Determine a raiz quadrada de 0, 5 com quatro casas decimais escrevendo f(x) = x 0, 5 e resolvendo x = φ(x) = x +x 0, 5 pelo método das aproximações sucessivas com x 0 = 0, 6. A raiz quadrada positiva poderia ser determinada por esse método com a mesma função φ(x)? Explique. Exercício Use o método das aproximações sucessivas para determinar a menor raiz positiva, com 5 casa decimais exatas. (a) x 5 x 1 = 0

9 1.4 Método de Newton-Raphson 13 (b) x cos(x) = 0 (c) e x x x + = Método de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson é um dos métodos mais eficientes para a solução numérica de f(x) = 0. Suponha que f tenha uma raiz simples no intervalo [a, b] e que f seja de classe C em [a, b]. Dado x n (a, b), usando o desenvolvimento de Taylor, podemos escrever f(x) = f(x n ) f (x n )(x x n ) + 1! f (ξ n )(x x n ), onde ξ (x, ξ n ). Se α é a solução, então f(α) = f(x n ) f (x n )(α x n ) + 1! f (ξ n )(α x n ), onde ξ (α, ξ n ). Supondo que x n esteja suficientemente próximo de α, podemos desprezar o resto 1! f (ξ n )(α x n ), de onde temos uma aproximação para α desde que f (x n ) 0. α x n f(x n) f (x n ), Assim temos o método de Newton-Raphson que nos dá x n+1 como uma aproximação para a raiz α por x n+1 = x n f(x n) f (x n ), n 0. NotequeométododeNewton-Raphsonéométodoiterativodepasso 1equeparaser iniciado necessitamos da aproximação inicial x 0. Exemplo Vamos determinar uma aproximação para a solução da equação 4 cos(x) e x = 0. Note que seu gráfico é

10 1.4 Método de Newton-Raphson 14 Observe que f(x) = 4 cos(x) e x = 0 para algum ponto no intervalo [0, 1]. Além disso, f (x) = 4 sin(x) e x. Abaixo temos uma interpretação geométrica de como é o método. Estamos usando a função f dada com x 0 = 0, 1. Observe que a reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (x k, f(x k )) cruza o eixo Ox no ponto x k+1. De fato, x n+1 = x n f(x n) f (x n ) f(x n) f (x n ) = x n x n+1 f (x n ) = f(x n) x n x n+1. Usaremos a tabela abaixo para ver a aproximação dada por x n+1 = x n f(x n) f (x n ), n 0.

11 1.5 Método da secante 15 f(x) = 4 cos(x) e x, ε = k x k f(x k ) f (x k ) x k+1 x k Exercício Use o método de Newton-Raphson para determinar uma aproximação para a solução de f(x) = 0 nos seguintes casos: (a) (x + 1) sin(x) = 0 no intervalo [, 4] com 5 dígitos significativos. (b) (x + 1) cos(x) = 0 no intervalo [0, ] com 5 dígitos significativos. (c) x 3 x x + 1 = 0 no intervalo [, 3] com 5 dígitos significativos. Exercício Determine em que pontos do primeiro quadrante os gráficos da funções f e g coincidem, com f(x) = x e g(x) = tan(x). Use o método de Newton-Raphson para determinar a menor solução positiva. 1.5 Método da secante O método de Newton-Raphson tem o inconveniente de necessitar da derivada da função. O método da secante é obtido do método de Newton substituindo f (x k ) por uma aproximação: f (x k ) f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1. Resultando que é o método da secante. x k+1 = f(x k)x k 1 f(x k 1 )x k, k 1. f(x k ) f(x k 1 ) Exemplo Utilize o método da secante para obter uma aproximação para a menor solução positiva x tan(x) 1 = 0. Vamos considerar x 0 = 0, 75 e x 1 = 1, 0.

12 1.5 Método da secante 16 k x k 1 x k f(x k 1 ) f(x k ) 1 0, , , , Exercício Repita o exemplo anterior com x 0 = 3, 75 e x 1 = 4, 0. Exercício Use o método das secantes para determinar a raiz da equação x 3 x + x 5 = 0 localizada no intervalo [,.5]. Exercício Use o método das secantes para determinar a raiz da equação x +x 6 = 0 localizada com x 0 = 1, 5 e x 1 = 1, 7.

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